2019衡水名师原创理科数学专题卷：专题十四《计数原理》

2019衡水名师原创理科数学专题卷：专题十四《计数原理》

‎2019衡水名师原创理科数学专题卷 专题十四 计数原理 考点45：排列与组合（1-6题，13,14题，17-19题）‎ 考点46：二项式定理（7-12题，15,16题，20-22题）‎ 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1．【来源】安徽省淮北市第一中学2017届高三下学期第二次周测 考点45 中难 甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是，为遵守当地某月日至日天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 【2017课标II，理6】 考点45 中难 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎3. 【来源】四川省资阳市2017届高三4月模拟考试 考点45 中难 将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是（ ）‎ A. 40 B. 60 C. 80 D. 100‎ ‎4.【来源】江西省南昌市十所省重点中学命制2017届高三第二次模拟突破冲刺 考点45中难 春天来了，某学校组织学生外出踏青.4位男生和3位女生站成一排合影留念，男生甲和乙要求站在一起，3位女生不全站在一起，则不同的站法种数是（ ）‎ A. 964 B. 1080 C. 1152 D. 1296‎ ‎5. 【来源】福建省2017届高三4月单科质量检测 考点45 中难 ‎5名学生进行知识竞赛.笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”.根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是（ ）‎ A. 54 B. 72 C. 78 D. 96‎ ‎6. 【来源】广西桂林市、崇左市、百色市2017届高三下学期第一次联合模拟 考点45 难 如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是（ ）‎ A. 6 B. 10 C. 12 D. 24‎ 7. ‎【2017课标1，理6】考点46 易 展开式中的系数为 A．15 B．20 C．30 D．35‎ ‎8. 【来源】山西省三区八校2017届高三第二次模拟考 考点46 易 若,且,则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 【来源】重庆市第一中学2017-2018学年高二3月月考 考点46 易 二项式的展开式的二项式系数和为（ ）‎ A. 1 B. -1 C. D. 0‎ ‎10.【来源】广东省揭阳市2017届高三第一次模拟考试 考点46 中难 在的展开式中，x项的系数为( )‎ A. －4 B. －2 C. 2 D. 4‎ ‎11. 【来源】黑龙江省牡丹江市第一高级中学2017-2018学年高二4月月考 考点46 中难 的展开式中，系数最小的项为 （ ）‎ A. 第6项 B. 第7项 C. 第8项 D. 第9项 ‎12. 【来源】湖南省湘潭市2017第三次高考模拟 考点46 中难 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若， ，则的值可以是（ ）‎ A. 2011 B. 2012 C. 2013 D. 2014‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）‎ ‎13.【2017天津，理14】 考点45 易 用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）‎ ‎14.【来源】湖北省六校联合体2017届高三4月联考 考点45中难 把编号为1，2，3，4，5，6，7的7张电影票分给甲、乙、丙、丁、戊五个人，每人至少一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同分法种数为__________．‎ 15. ‎【2017山东，理11】考点46 易 已知的展开式中含有项的系数是，则 .‎ ‎16. 【来源】安徽省合肥市2017届高三第二次教学质量检测 考点46 中难 在的展开式中，常数项为__________．‎ 三、解答题（本题共6小题，共70分。）‎ ‎17. （本题满分10分）‎ ‎【来源】2015-2016学年福建省南安一中高二下期中 考点45 中难 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数．‎ ‎（Ⅰ）可以组成多少个不同的四位数？‎ ‎（Ⅱ）若四位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则这样的四位数有多少个？‎ ‎（Ⅲ）将（Ⅰ）中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么？‎ ‎18.（本题满分12分）‎ ‎【来源】2015-2016学年江苏连云港东海县二中高二下期中 考点45 中难 ‎（用数字作答）从5本不同的故事书和4本不同的数学书中选出4本，送给4位同学，每人1本，问：‎ ‎（1）如果故事书和数学书各选2本，共有多少种不同的送法？‎ ‎（2）如果故事书甲和数学书乙必须送出，共有多少种不同的送法？‎ ‎（3）如果选出的4本书中至少有3本故事书，共有多少种不同的送法？‎ ‎19.（本题满分122015-2016学年江苏省泰州中学高二下二次质检 考点45 中难 ‎4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内． ‎ ‎（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？‎ ‎（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？‎ ‎（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？‎ ‎20．（本题满分12分）‎ ‎【来源】河北省保定市高二年级第二学期期中联考 考点46 中难 已知展开式的二项式系数和为512，‎ 且 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值；‎ ‎（3）求被6整除的余数.‎ ‎21. （本题满分12分）‎ ‎ 【来源】2015-2016学年江苏省泰兴中学高二下学期期中 考点46 中难 已知，‎ ‎（1）若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；‎ ‎（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．‎ ‎22. （本题满分12分）‎ ‎【来源】2017-2018学年河北枣强中学高二上月考 考点46 中难 在的展开式中．‎ ‎（1）求二项式系数最大的项；‎ ‎（2）求系数的绝对值最大的项；‎ ‎（3）求系数最小的项．‎ 参考答案 ‎1【答案】D ‎【解析】日至日，分别为，有天奇数日， 天偶数日，‎ 第一步安排奇数日出行，每天都有种选择，共有种，‎ 第一步安排偶数日出行分两类，第一类，先选天安排甲的车，另外一天安排其他车，有种，第二类，不安排甲的车，每天都有种选择，共有种，共计，根据分布计数原理，不同的用车方案种数共有.故选D.‎ ‎2．【答案】D 【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有种方法。 故选D。‎ ‎3．【答案】A 【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有 种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是： 种.‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】男生甲和乙要求站在一起共有种，其中男生甲和乙要求站在一起且女生全站在一起有种，∴符合题意的站法共有种.‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】由题得甲不是第一，乙不是最后，先排乙，乙得第一，有种，乙没得第一有3种再排甲也有3种，余下得有种，故有种，所以一共有24+54=78种 ‎6．【答案】B ‎【解析】将左边的集装箱从上往下分别记为1,2,3,右边的集装箱从上往下分别记为4,5.分两种情况讨论: 若先取1,则有12345,12453,14523,14235,14523,12435,共6种情况;‎ 若先取4,则有45123,41235,41523,41253,共4种情况,故共有6+4=10种情况.‎ ‎7．【答案】C ‎ ‎【解析】因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，选C.‎ ‎8．【答案】B 【解析】,故选B.‎ ‎9．【答案】C ‎【解析】由二项式系数和的性质可知，展开式的二项式系数和为 ‎ .‎ ‎10．【答案】D 【解析】因为，‎ 所以的展开式中，x项的系数为,故选D.‎ ‎11．【答案】C 【解析】由题设可知展开式中的通项公式为，其系数为，当为奇数时展开式中项的系数最小，则，即第8项的系数最小，应选答案C。‎ ‎12．【答案】A ‎【解析】‎ 因为，所以被10除得的余数为 1，而2011被10除得的余数是1，故选A．‎ ‎13．【答案】 【解析】 ‎ ‎14.【答案】1200 【解析】‎ ‎15．【答案】 【解析】由二项式定理的通项公式，令得：，解得．‎ ‎16．【答案】 【解析】由二项展开式的通项公式得： ，显然时可能有常数项，当时， ，有常数项，当， 的展开式中含，故常数项为，当，常数项为1，所以展开式中的常数项．‎ ‎17．【答案】（Ⅰ）300（Ⅱ）100（Ⅲ）2301‎ ‎【解析】（1）．（2）． ‎ ‎（3）千位是1的四位数有=60个，千位是2，百位是0或者1的四位数有2个，则第85项是2301．‎ ‎18．【答案】（1） 1440;（2）504；（3）1080‎ ‎【解析】（1）共有种不同的送法（2）共有种不同的送法 ‎（3）共有种不同的送法 ‎19．【答案】（1）144（2）144（3）84‎ ‎【解析】（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步计数原理，共有（种）‎ ‎（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．‎ ‎（3）确定2 个空盒有种方法．‎ ‎4个球放进2个盒子可分成两类，第一类有序不均匀分组有种方法；第二类有序均匀分组有种方法，故共有（种）放法．‎ ‎20.【答案】,2,5 ‎ ‎【解析】（1）由二项式系数和为512知，……1分 ‎ 所以……………4分 ‎（2）令 令得 所以………8分 ‎（3）‎ 因为能被6整除，所以-19被6整除后余数为5.………12分 ‎21.【答案】（1）70（2）（2x）10‎ ‎【解析】（1）通项Tr＋1＝n－r·（2x）r＝22r－nxr，（此题可以用组合数表示结果）‎ 由题意知，，成等差数列，∴＝，∴n＝14或7. ‎ 当n＝14时，第8项的二项式系数最大，该项的系数为22×7－14＝3 432；‎ 当n＝7时，第4、5项的二项式系数相等且最大，‎ 其系数分别为22×3－7=，22×4－7=70.‎ ‎（2）由题意知＝79，∴n＝12或n＝－13（舍）． ‎ ‎∴Tr＋1＝22r－12xr. 由得 ∴r＝10.‎ ‎∴展开式中系数最大的项为T11＝22×10－12·x10＝（2x）10.‎ ‎22．【答案】（1）；（2）；（3）．‎ ‎【解析】（1）．‎ ‎（2）即，，从而，故系数的绝对值最大的项是第项和第项．,‎ ‎（3）系数最小的项为第项．‎