高中数学必修2同步练习：圆与方程 习题课

高中数学必修2同步练习：圆与方程 习题课

必修二　圆与方程 习题课 一、选择题 ‎1、已知曲线C：(x－1)2＋y2＝1，点A(－1,0)及点B(2，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C拦住，则a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ B．(－∞，－)∪(，＋∞)‎ C．(，＋∞)‎ D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)‎ ‎2、方程＝k(x－2)＋3有两个不等实根，则k的取值范围为(　　)‎ A． B． C． D． ‎3、直线l与直线3x＋4y－15＝0垂直，与圆x2＋y2－18x＋45＝0相切，则直线l的方程是(　　)‎ A．4x－3y－6＝0‎ B．4x－3y－66＝0‎ C．4x－3y－6＝0或4x－3y－66＝0‎ D．4x－3y－15＝0‎ ‎4、若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，则直线x＋ay＋b＝0一定不经过(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎5、直线x－y＝0绕原点按逆时针方向旋转30°所得直线与圆x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系是(　　)‎ A．相交且过圆心 B．相交但不过圆心 C．相切 D．相离 ‎6、以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为(　　)‎ A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2‎ B．(x－1)2＋(y－1)2＝2‎ C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8‎ D．(x－1)2＋(y－1)2＝8‎ ‎7、圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　)‎ A．(1，－2)，5 B．(1，－2)， C．(－1,2)，5 D．(－1,2)， 二、填空题 ‎8、集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是________．‎ ‎9、一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程为________．‎ ‎10、过点M(0,4)，且被圆(x－1)2＋y2＝4截得的线段长为2的直线方程为____________．‎ 三、解答题 ‎11、已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值．‎ ‎12、已知圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0及直线l：(‎2m＋1)x＋(m＋1)y＝‎7m＋4(m∈R)．‎ ‎(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；‎ ‎(2)求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程．‎ ‎13、有一圆C与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的标准方程．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、B 解析　视线即切线，切线与直线x＝2交点以下部分和以上部分即为视线看得见的部分，圆的切线方程为y＝±(x＋1)．当x＝2时，y＝±，所以a∈(－∞，－)∪(，＋∞)，故选B．‎ ‎2、A　[‎ 在同一平面直角坐标系中分别画出y＝(就是x2＋y2＝4，y≥0)和y＝k(x－2)＋3的图象．如图所示，问题就转化为两条曲线有两个交点的问题，需kPA0．∴y＝－x－不过第四象限．]‎ ‎5、C　[直线旋转后为y＝x，圆心(2,0)到该直线距离d＝r．∴选C．]‎ ‎6、B　[线段AB两端点为(0,2)、(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径r＝，∴选B．]‎ ‎7、D 二、填空题 ‎8、3或7‎ 解析　这是以集合为载体考查两圆位置关系．‎ ‎∵A∩B中有且仅有一个元素，‎ ‎∴两圆x2＋y2＝4与(x－3)2＋(y－4)2＝r2相切，‎ O(0,0)，C(3,4)，|OC|＝5，r1＝2，r2＝r，‎ 故2＋r＝5，或r－2＝5，∴r＝3或7．‎ ‎9、4‎ 解析　点A关于x轴的对称点A′(－1，－1)，转化为求A′(－1，－1)到圆上的点的距离的最小值问题，其最小值为－1＝4．‎ ‎10、x＝0或15x＋8y－32＝0‎ 解析　设直线方程为x＝0或kx－y＋4＝0．当直线方程为x＝0时，弦长为2符合题意；当直线方程为kx－y＋4＝0时，d＝＝＝1，解得k＝－，因此直线方程为15x＋8y－32＝0．‎ 三、解答题 ‎11、解　方法一　从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或向右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRt△PAC＝|PA|·|AC|＝|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|＝＝3，‎ 从而|PA|＝＝2．‎ ‎∴(S四边形PACB)min＝2××|PA|×|AC|＝2．‎ 方法二　利用等价转化的思想，设点P坐标为(x，y)，则 ‎|PC|＝，由勾股定理及|AC|＝1，得 ‎|PA|＝＝，从而S四边形PACB＝2S△PAC＝2·|PA|·|AC|＝|PA|＝，从而欲求S四边形PACB的最小值，只需求|PA|的最小值，只需求|PC|2＝(x－1)2＋(y－1)2的最小值，即定点C(1,1)与直线上动点P(x，y)距离的平方的最小值，它也就是点C(1,1)到直线3x＋4y＋8＝0的距离的平方，这个最小值d2＝()2＝9，‎ ‎∴(S四边形PACB)min＝＝2．‎ ‎12、(1)证明　把直线l的方程改写成(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0，‎ 由方程组，解得，‎ 所以直线l总过定点(3,1)．‎ 圆C的方程可写成(x－1)2＋(y－2)2＝25，所以圆C的圆心为(1,2)，半径为5．‎ 定点(3,1)到圆心(1,2)的距离为＝<5，即点(3,1)在圆内．所以过点(3,1)的直线总与圆相交，即不论m取什么实数，直线l与圆C总相交．‎ ‎(2)解　设直线与圆交于A、B两点．当直线l过定点M(3,1)且垂直于过点M的圆C的半径时，l被截得的弦长|AB|最短．‎ 因为|AB|＝2 ‎＝2＝2＝4，此时kAB＝－＝2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0．‎ 故直线l被圆C截得的弦长最小值为4，此时直线l的方程为2x－y－5＝0．‎ ‎13、解　设所求圆的圆心为O，则OA⊥l，又设直线OA与圆的另一交点为P．所以直线OA的斜率为－．故直线OA的方程为y－6＝－(x－3)，即3x＋4y－33＝0．又因为kAB＝＝－2，从而由平面几何知识可知kPB＝，则直线PB的方程为x－2y－1＝0．‎ 解方程组得 即点P的坐标为(7,3)．因为圆心为AP的中点，‎ 半径为OA＝，‎ 故所求圆的标准方程为(x－5)2＋2＝．‎