2017-2018学年陕西省西安市长安区第一中学高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年陕西省西安市长安区第一中学高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版）

长安一中2017-2018学年度高二第二学期期末考试 数学试题（理科）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集是实数集,集合,,则图中阴影部分所表示的集合是 （ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎2.下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ ）‎ ①在复平面内，复数对应的点位于第二象限 ②复数的虚部是-2 ‎ ‎ ③复数是纯虚数 ④ ‎ A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④‎ ‎3．设,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知向量a＝(1，－)，b＝(1，2)且a⊥b，则等于(　　)‎ A．－1 B．‎0 C. D. ‎5.在中，角A、Ｂ、Ｃ所对的边分别是、、，若，，则等于（ ）‎ A． 　 　B．　　 Ｃ．　　　Ｄ． ‎ ‎6．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）‎ A.18 B‎.24 C.30 D.36‎ ‎7. 若下框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是( ) ‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎8.若某几何体的三视图(单位：)如图所示，则该几何体的 体积等于(　　 )‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎9.下列说法中，正确的是（ ）‎ A．命题“若，则”的逆命题是真命题 B．命题“存在”的否定是：“任意” ‎ C．命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题 D．“”是“函数是偶函数”的充分不必要条件 ‎10．右图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(，)图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y＝sin x(x∈R)的图像上所有的点 (　　 )‎ ‎.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.‎ ‎.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.‎ ‎.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.‎ ‎.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.‎ ‎11.已知定义在上的函数对任意都满足，且当时，，则函数的零点个数为( )‎ ‎ A．2 B．‎3 C.4 D．5‎ ‎12.定义在上的函数满足：则不等式 ‎（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.函数的定义域为，则函数的定义域是________‎ ‎14.已知，则的展开式中的常数项为 .‎ ‎15.函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中则得最小值为 .‎ ‎16．已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17. （本小题共12分）设数列 9， ‎ ‎（1）求证：是等比数列；‎ ‎(2)若数列满足,‎ 求数列的前项和；‎ ‎18.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求锐二面角的余弦值. ‎ ‎19.某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取名学生的笔试成绩（被抽取学生的 成绩均不低于分,且不高于分），按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.‎ （1） 请先求出、、、的值，再在答题纸上补全频率分布直方图；‎ ‎（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6‎ 名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？‎ ‎（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，‎ 第4组中有ξ名学生被考官A面试，求ξ的分布列和数学期望.‎ 组号 分组 频数 频率 第1组 ‎5‎ ‎0.050‎ 第2组 第3组 ‎30‎ 第4组 ‎20‎ ‎0.200‎ 第5组 ‎10‎ ‎0.100‎ ‎20.（本小题共12分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点.‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.‎ ‎21. （本小题共12分）已知函数 ‎（Ⅰ）求在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若存在，满足成立，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）当时，恒成立，求的取值范围.‎ 选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.作答时请写清题号．‎ ‎22．(本小题满分10分)选修4—4：极坐标系与参数方程．‎ 在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为 (t为参数)．曲线C2: ‎ ‎，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，若点P的极坐标为()．‎ ‎(I)求曲线C2的极坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)若C1与C2相交于M、N两点，求的值.‎ ‎23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知．‎ ‎(I)当m=0时，求不等式的解集；‎ ‎(Ⅱ)对于任意实数，不等式成立，求m的取值范围．‎ ‎2017-2018学年度高二第二学期期末考试 数学试题（理科）答案 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. CCABB CDBBA BA 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 14. 15. 2 16.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17.（本小题共12分）解：（1）依题意，，故， ‎ ‎ 当 ①‎ ‎ 又 ② ‎ ‎②－①整理得：，故是等比数列， ‎ ‎ （2）由（1）知，且，，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）连结，∵是等腰直角三角形斜边的中点，∴.‎ 又三棱柱为直三棱柱，‎ ‎∴面面，‎ ‎∴面，. ‎ 设，则.‎ ‎∴，∴. ‎ 又，∴ 平面.‎ ‎（Ⅱ）以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系如图，设，‎ 则，‎ ‎，.‎ 由（Ⅰ）知，平面，‎ ‎∴可取平面的法向量.‎ 设平面的法向量为，‎ 由 ‎∴可取. ‎ 设锐二面角的大小为，‎ 则.[]‎ ‎∴所求锐二面角的余弦值为. ‎ ‎19. （本小题共12分）【解】：（1）由第1组的数据可得，第2组的频率=‎ ‎，第2组的频数为=人, ‎ 第3组的频率为=, ‎ 频率分布直方图如右: ‎ ‎（2）因为第3、4、5组共有60名学生,‎ 所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:人,… 6分 第4组:人, …7分 第5组:人, …8分 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.‎ ‎（3）由题意知变量ξ的可能取值是0，1，2‎ 该变量符合超几何分布，‎ ‎∴ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴分布列是 ‎∴ ‎20. （本小题共12分）解：（Ⅰ）抛物线的焦点为，准线方程为，‎ ‎ ∴ ① ‎ 又椭圆截抛物线的准线所得弦长为，‎ ‎ ∴ 得上交点为，∴ ②‎ 由①代入②得，解得或（舍去），‎ 从而 ‎ ‎∴ 该椭圆的方程为该椭圆的方程为 ‎（Ⅱ）∵ 倾斜角为的直线过点，‎ ‎∴ 直线的方程为，即，‎ 由（Ⅰ）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，则得 ‎ ，解得，即，‎ 又满足，故点在抛物线上.所以抛物线上存在一点，使得与关于直线对称.‎ ‎21. （本小题共12分）‎ 解：(Ⅰ) ‎ ‎ 在处的切线方程为： ‎ ‎ 即 ‎ ‎ (Ⅱ) 即 令 ‎ ‎ 时， ，时， ‎ ‎ 在上减，在上增 ‎ 又时， 的最大值在区间端点处取到. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在上最大值为，‎ 故的取值范围是：<. ‎ ‎（Ⅲ）由已知得时恒成立，设 ‎ 由(Ⅱ)知，当且仅当时等号成立，‎ 故从而当 即时，，为增函数，又 于是当时， 即 时符合题意。 ‎ 由可得，从而当时，‎ 故当时，，为减函数，又，‎ 于是当时， 即 故，不符合题意.综上可得的取值范围为 ‎ ‎ ‎