河北省衡水中学2016届高三下学期一模考试数学（理）试题

河北省衡水中学2016届高三下学期一模考试数学（理）试题

‎2015-2016学年度下学期高三年级一模考试 理数试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.设命题甲：的解集是实数集；命题乙：，则命题甲是命题乙成立的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2.设且，若复数（为虚数单位）是实数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.等差数列中，是一个与无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.中三边上的高依次为，则为（ ）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不存在这样的三角形 ‎6.已知是椭圆的右焦点，是上一点，，当周长最小时，其面积为（ ）‎ A．4 B．8 C． D．‎ ‎7.已知等式，定义映射 ‎，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且，则异面直线与所成角的正切值是（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ 9. 某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（百分制）如下表所示：‎ 若数学成绩90分（含90分）以上为优秀，物理成绩85（含85分）以上为优秀.有多少把握认为学生的学生成绩与物理成绩有关系（ ）‎ A． B． C． D．‎ 参考数据公式：①独立性检验临界值表 ②独立性检验随机变量的值的计算公式：‎ ‎10.在一个棱长为4的正方体内，你认为最多放入的直径为1的球的个数为（ ）‎ A．64 B．65 C．66 D．67‎ ‎11.定义：分子为1且分母为正整数的分数成为单位分数，我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和.如：，依次类推可得：，其中.设，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知，直线与函数的图像在处相切，设，若在区间上，不等式恒成立，则实数（ ）‎ A．有最小值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值 ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，执行如图所示的程序框图，输出的值是 .‎ ‎14.在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上，且，则 .‎ ‎15.如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点顺时针旋转后，构成一个斜坐标平面.在此斜坐标平面中，点的坐标定义如下：过点作两坐标轴的平分线，分别交两轴于两点，则在轴上表示的数为，在轴上表示的数为.那么以原点为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方程为 .‎ ‎16.已知的面积为，内角所对的边分别为，且成等比数列，，则的最小值为 .‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题满分12分）设等比数列的前项和为，已知，，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎18（本小题满分12分）如图，四边形是直角梯形，，又，直线与直线所成的角为.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值；‎ ‎（3）求点到平面的距离.‎ ‎19.（本小题满分12分）电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择.某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）.小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择（各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖）.‎ ‎（1）小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？‎ ‎（2）小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数的分布列，并计算其数学期望和方差.‎ ‎20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，其短轴的下端点在抛物线的准线上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为坐标原点，是直线上的动点，为椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆相交于两点，与椭圆相交于两点，如图所示.‎ ①若，求圆的方程；‎ ②设与四边形的面积分别为，若，求的取值范围.‎ ‎21.（本小题满分12分）设为实数，函数.‎ ‎（1）当时，求在上的最大值；‎ ‎（2）设函数当有两个极值点时，总有，求实数的值（为的导函数）.‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，内接于直径为的圆，过点作圆的切线交的延长线于点的平分线分别交和圆于点，若.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线（为参数），（为参数）.‎ ‎（1）化的方程为普通方程，并说明他们分别表示什么曲线；‎ ‎（2）若上的点对应的参数为为上的动点，求的中点到直线（为参数）距离的最小值.‎ ‎24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的最大值；‎ ‎（2）解关于的不等式.‎ 参考答案及解析 一、选择题 ‎1-5 CABCC 6-10 ACCBC 11-12 CD 二、填空题 ‎13. 6 14. 15. 16.‎ ‎（2）当时，，当时，‎ ‎，两式相减，得 ‎18.(1)‎ 平面，平面，‎ ‎（2）在平面内，过点作的垂线，并建立空间直角坐标系，如图所示 设 ‎，且 设平面的一个法向量为 则由，‎ 平面的一个法向量为 显然，二面角为锐二面角，‎ 所以二面角的余弦值为 ‎（3）点到平面的距离 ‎.‎ ‎19.（1）若三瓶口味均不一样，有 若其中两瓶口味不一样，，有，若三瓶口味一样，有8种，‎ 所以小王共有56+56+8=120种选择方式 ‎（2）可能的取值为0,1,2,3‎ 由于各种口味的高级口香糖均不超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，有8种不同口味 所以小王随机点击一次获得草莓味口香糖的概率为 故随机变量服从二项分布，即 ‎，‎ ‎，‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 期数学期望 方差 ‎20.（1）椭圆短轴下端点在抛物线的准线上，‎ ‎，‎ 所以椭圆的方程为 ‎（2）①由（1），知，设，则的圆心坐标为 的方程为，当时，所在直线方程为，此时，与题意不符，不成立，.‎ 可设直线所在直线方程为，即 又圆的半径 由，得 解得 圆的方程为或 ②当，由①，知的方程为 由消去，得 则 当且仅当，即时取等号 又，当时，直线的方程为 ‎，‎ ‎，‎ 综上，‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎21.（1）当时，‎ 则，令，则 显然在区间内是减函数，又，在区间内，总有 在区间内是减函数，又当时，，‎ ‎，此时单调递增；‎ 当时，‎ ‎，此时单调递减；‎ 在区间内的极大值也即最大值是 ‎（2）由题意，知，则 根据题意，方程有两个不同的实根 ‎，即，且 ‎，由 其中，得 所以上式化为 又，所以不等式可化为，对任意的恒成立.‎ ①当，不等式恒成立，；‎ ②当时，恒成立，‎ 令函数 显然是内的减函数，当，‎ ③时，恒成立，即 由②，当，，即 综上所述，.‎ ‎22.（1）是圆的切线，，又是公共角，‎ ‎；‎ ‎（2）由切割线定理，得，又 又是的平分线，‎ 由相交弦定理，得.‎ ‎23.（1）‎ 为圆心是，半径是1的圆，为中心是坐标原点，焦点在轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.‎ ‎（2）当时，，故 的普通方程为，到的距离 所以当时，取得最小值.‎ ‎24.（1）当时，‎ 所以当，函数取得最大值2.‎ ‎（2）由，得 两边平方，得 即 得，‎ 所以当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当，不等式的解集为.‎