湖南省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练：导数及其应用

湖南省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练：导数及其应用

湖南省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练 导数及其应用 一、选择、填空题 ‎1、（常德市2019届高三上学期检测）函数的部分图象大致为 ‎ ‎2、（衡阳八中2019届高三上学期第二次月考）函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是(　　　)‎ ‎3、（怀化市2019届高三统一模拟（二））已知函数，若方程在区间上恰有两个不相等的实根，则实数a的取值范围为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4、（邵阳市2019届高三10月大联考）已知函数的导函数为，若，，则不等式的解集为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5、（五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考）设是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A. B.　　C. D.‎ ‎6、（湘潭市2019届高三下学期第二次模拟）已知是函数的极值点，则（ ）‎ A. B. 1 C. D. 2‎ ‎7、（湘潭市2019届高三下学期第二次模拟）已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则__________．‎ ‎8、（长郡中学2019届高三第六次月考）已知是函数的导函数，且对任意实数都有 (e是自然对数的底数），，若不等式 的解集中恰有两个整数，则实数k的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎9、（株洲市2019届高三教学质量统一检测（一））如图，边长为1正方形ABCD，射线从出发，绕着点 顺时针方向旋转至，在旋转的过程中，记，所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积为，则函数的图像是 ( )‎ ‎10、（湖南师大附中2019届高三月考试卷（六））设函数f(x)的导数为f′(x)，‎ 且f(x)＝x3＋f′x2－x，f(x)，则f′(1)＝__　__‎ ‎11、（湖南湖北八市十二校（湖南师范大学附属中学、衡阳八中等）2019届高三第二次调研联考）‎ 已知函数，要使函数的零点个数最多，则k的取值范围是 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎12、（衡阳县2018届高三12月联考）若曲线在轴的交点处的切线经过点，则数列的前项和 ．‎ ‎13、（长郡中学2018届高三下学期第一次模拟）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ 参考答案：‎ ‎1、A 2、D ‎ ‎3、‎ ‎4、A 5、C　　　6、B 7、 ‎ ‎8、‎ ‎ 9、D 10、0　　　11、B 12、　　　13、A 二、解答题 ‎1、（常德市2019届高三上学期检测）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若为曲线上两点， ‎ ‎ 求证：.‎ ‎2、（衡阳八中2019届高三上学期第二次月考）已知，，‎ ‎（Ⅰ）若，求的极值；‎ ‎（Ⅱ）若函数的两个零点为，记，证明：．‎ ‎3、（怀化市2019届高三统一模拟（二））已知函数。‎ ‎(1)当a=1且时，求函数的单调区间;‎ ‎(2)当时，若函数的两个极值点分别为、，证明。‎ ‎4、（三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考） 设函数，曲线在点（0, )处的切线方程为：.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若当时，,求的取值范围.‎ ‎5、（邵阳市2019届高三10月大联考）已知函数，其中.‎ ‎(1)讨论函数的单调性；‎ ‎(2)已知，，是函数图象上的两点，证明：存在，使得.‎ ‎6、（五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考）已知函数.‎ ‎（1）当时，求证：恒成立；‎ ‎（2）若关于的方程至少有两个不相等的实数根，求实数的最小值.‎ ‎7、（湘潭市2019届高三下学期第二次模拟）设函数，.‎ ‎（1）证明：.‎ ‎（2）若恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）证明：当时，.‎ ‎8、（益阳市2019届高三上学期期末考试）已知函数.‎ ‎(1)当x>l时，比较与的大小；‎ ‎(2)若有两个极值点，求证: .‎ ‎9、（永州市2019届高三上学期第二次模拟）已知函数（其中，为自然对数的底数，）.‎ ‎（1）若，求函数的单调区间；‎ ‎（2）证明：当时，函数有两个零点，且.‎ ‎10、（岳阳市2019届高三教学质量检测（一模））设函数。‎ 当a= l时，求函数的图象在点(1，)处的切线方程；‎ 若函数存在两个极值点、 (<),‎ ‎①求实数a的范围；‎ ‎②证明：>.‎ ‎11、（长郡中学2019届高三第六次月考）设函数.‎ 若直线和函数的图象相切，求的值；‎ 当>0时，若存在正实数,使对任意都有恒成立，求的取值范围.‎ ‎12、（雅礼中学2019届高三第五次月考）已知函数为自然对数的底数）‎ ‎（1）若函数在（，1）上有零点，求实数a的取值范围 ‎（2）当x≥1时，不等式≤恒成立，求实数a的取值范围 ‎13、（株洲市2019届高三教学质量统一检测（一））已知函数,其中为大于零的常数 ‎（Ⅰ）讨论的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若存在两个极值点 ，且不等式 恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎14、（湖南师大附中2019届高三月考试卷（六））设函数f(x)＝－aln x－，a∈R.‎ ‎(1)若函数f(x)在区间(e＝2.718 28…为自然对数的底数)上有唯一的零点，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若在[1，e](e＝2.718 28…为自然对数的底数)上存在一点x0，使得f<－－x0－成立，求实数a的取值范围．‎ ‎15、（湖南湖北八市十二校（湖南师范大学附属中学、衡阳八中等）2019届高三第二次调研联考）‎ 知函数.‎ ‎（1）当=1时，求的单调区间；[‎ ‎（2）设函数，若=2是的唯一极值点，求.‎ 参考答案：‎ ‎1、解：（Ⅰ） ；.....2分 当 时， ， 在 上单调递增； ‎ 当 时，令 ，得 ，令 ，得 ；‎ 所以，当 时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；‎ 当 时， 的单调递增区间为，‎ ‎ 的单调递减区间为 ............5分 ‎（Ⅱ）要证 即证 即证 ；‎ 即证； ............7分 ‎ 令，构造函数，‎ 则,‎ 所以 在上单调递增; ............9分 ‎，即成立，所以成立，........11分 所以 成立. ............12分 ‎2、解：（Ⅰ）‎ 令得：‎ 当时，，即在上单调递增，‎ 当时，，即在上单调递减，‎ ‎，不存在．‎ ‎（Ⅱ）函数的两个零点为，不妨设，‎ ‎，‎ ‎ ‎ 即 又，，‎ ‎，‎ ‎．‎ 令，则 在上单调递减，故，‎ ‎，即，‎ 又，．‎ ‎3、‎ ‎4、‎ ‎5、(1)解：因为，‎ 所以.‎ 当时，恒成立，所以在上单调递减.‎ 当时，令，得.‎ 当时，，在上单调递减.‎ 当时，，在上单调递增.‎ ‎(2)证明：，.‎ 令，‎ 则，‎ ‎，‎ 令，则，‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增.‎ 故当时，，即.‎ 从而，，‎ 又，，‎ 所以，.‎ 因为函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在，‎ 使得，即存在使得.‎ ‎6、解：（1）证明：当时，，，‎ 令，所以当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减.‎ 故，所以.‎ ‎（2）至少有两个根，‎ 记，所以，‎ 记，所以，‎ 令舍）‎ 所以当，，单调递减，时，，‎ 单调递增，所以的最小值为 ‎，‎ 又，所以时，，‎ 又当时，，因此必存在唯一的 ‎，使得.‎ 因此时，，单调递増，，，单调递减，时，，单调递増，画出的大致图象，如图所示 因此当时，与至少有两个交点，‎ 所以的最小值为.‎ ‎7、（1）证明：令函数，，‎ ‎，‎ 所以为单调递增函数，，‎ 故.‎ ‎（2），即为，‎ 令，即恒成立，‎ ‎，‎ 令，即，得.‎ 当，即时，在上单调递增，‎ ‎，‎ 所以当时，在上恒成立；‎ 当，即时，在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以，‎ 所以不恒成立.‎ 综上所述：的取值范围为.‎ ‎（3）证明：由（1）知，‎ 令，，，‎ ‎，即，‎ 故有，‎ ‎，‎ ‎…‎ ‎，‎ 上述各式相加可得.‎ 因为，‎ ‎，，‎ 所以.‎ ‎8、‎ ‎ ‎ ‎9、(1)‎ 令得或 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为 ‎（2）当时，恒成立，‎ 所以在递减，在递增 则为函数极小值点 又因为对于恒成立 对于恒成立 对于恒成立 所以当时，有一个零点，当时，有一个零点 即，‎ 且，‎ 所以 下面再证明即证 由得 又在上递减，于是只需证明，‎ 即证明 将代入得 令 则 因为为上的减函数，且 所以在上恒成立 于是为上的减函数，即 所以，即成立 综上所述，‎ ‎10、‎ ‎11、‎ ‎12、‎ ‎13、【解析】‎ ‎（Ⅰ） -----------------------------------1分 ‎（1）当时，在在上单调递增 --------------------------2分 ‎（2）当时，设方程的两根为 则 在上单调递增，上单调递减 ------------------------------5分 ‎（Ⅱ）由（（Ⅰ））可知，且 由 所以 -----------------------------------6分 设 令 当时，‎ 故在上单调递减，所以 综上所述，时，恒成立。-----------------------------------12分 ‎14、【解析】(1)f′(x)＝x－＝，其中x∈[1，e]，‎ ‎①当a≤1时，f′(x)≥0恒成立，f(x)单调递增，又∵f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，e]上有唯一的零点，符合题意．‎ ‎②当a≥e2时，f′(x)≤0恒成立，f(x)单调递减，又∵f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，e]上有唯一的零点，符合题意.3分 ‎③当10，f(x)单调递增，‎ ‎∴当f(e)<0时符合题意，即－a－<0，‎ ‎∴a>时，函数f(x)在区间[1，]上有唯一的零点；‎ ‎∴a的取值范围是.6分 ‎(2)在[1，e]上存在一点x0，使得f<－－x0－成立，等价于x0＋－aln x0＋<0在[1，e]上有解，即函数g(x)＝x＋－aln x＋在上的最小值小于零．‎ g′＝1－－－＝＝，8分 ‎①当a＋1≥e时，即a≥e－1时，g在上单调递减，所以g的最小值为g，由g＝e＋－a<0可得a>，∵>e－1，∴a>； ‎ ‎②当a＋1≤1时，即a≤0时，g在上单调递增，所以g的最小值为g ‎，由g＝1＋1＋a<0可得a<－2；10分 ‎③当12，所以g<0不成立．‎ 综上所述：可得所求a的取值范围是(－∞，－2)∪.12分 ‎15、‎ ‎2‎