2019-2020学年安徽省省级示范高中高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年安徽省省级示范高中高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年安徽省省级示范高中高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A．， B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】联立两个集合中的方程,通过解方程,可得到两个集合交集的元素,即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知,是点集,故也是点集.‎ ‎ ，得，‎ ‎ ‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 研究集合问题,看元素应满足的属性,即分辨集合的是点集,还是数集.研究两集合的关系时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.‎ ‎2．已知全集，集合，，则为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求解集合的并集，然后结合数轴求解补集.‎ ‎【详解】‎ 因为，，‎ 所以或.‎ 如图，‎ 或．故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的并集和补集的运算，集合的混合运算通常利用数轴来求解 ‎3．已知，，则的非空子集的个数为（ ）‎ A．8 B．7 C．6 D．无数个 ‎【答案】B ‎【解析】集合中的元素是在条件下的值域,即可求得.‎ 集合中的元素是的定义域.分别求得集合,集合,即可求得.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 中的元素是的定义域,‎ ‎ 解得:‎ ‎ ，‎ 根据非空子集个数计算公式: ‎ ‎ 的非空子集个数为.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 研究集合问题,看元素应满足的属性,在集合中有函数时,分辨集合的元素是自变量,还是因变量,结合集合中的约束来求解集合.‎ ‎4．下列关于关系中为函数的是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎0‎ ‎5‎ ‎-6‎ ‎11‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数的定义进行逐个选项验证可得.‎ ‎【详解】‎ 对于选项A，无解，所以不能构成函数；‎ 对于选项B，对于一个，有两个与之对应，与函数定义不符；‎ 对于选项C，对于，有两个与之对应，与函数定义不符；‎ 对于选项D，完全符合函数的定义；故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的概念，明确函数概念的三个要素是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.‎ ‎5．已知函数，对任意实数，都满足，则、、的大小关系为（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】解法一:由题意可得是二次函数,根据,可求得的对称轴为,根据二次函数对称轴为,可求得参数 ,由此可以求得、、,即可求得答案.‎ 解法二:根据,可求得的对称轴为,由题意可得是开口向上的二次函数,由二次函数图像特点可知:当越小,对应的越小.即可比较、、.‎ ‎【详解】‎ 解法一: 的对称轴为 ‎ 的对称轴为 根据二次函数对称轴为 ‎ ‎ 即 ‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ 解法二: 的对称轴为 ‎ 的对称轴为 是开口向上的二次函数 ‎ 当越小,对应的越小 当时;‎ 当时;‎ 当时;‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数对称轴判别式即: 的对称轴为,能解读出函数的对称是解本题的关键.‎ ‎6．已知函数在上的最大值为，最小值为，则为（ ）‎ A．0 B．5 C．10 D．20‎ ‎【答案】C ‎【解析】令 ()满足:且定义域关于原点对称,故是奇函数,故,进而可得:最大值为,最小值为,即可求得.‎ ‎【详解】‎ 令 ()‎ ‎ 可得: ‎ ‎ 是奇函数 ‎ 根据奇函数图像关于原点对称 ‎ ‎ 由题意可知:，‎ 故选: C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了奇函数关于原点对称的性质,在解题时将函数分解为一个奇函数加上一个常数,掌握奇函数关于原点对称即:是解本题的关键.‎ ‎7．已知函数有最小值，则函数的单调性为（ ）‎ A．单调递增 B．单调递减 C．无单调性 D．不确定 ‎【答案】A ‎【解析】先根据函数有最小值，确定 的范围，再结合复合函数单调性求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，且有最小值，‎ 所以．‎ 因为均为增函数，所以为增函数.故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合函数的单调性的判定，复合函数单调性一般遵循“同增异减”的规则，侧重考查逻辑推理的核心素养.‎ ‎8．已知函数（且）的图像可能为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解法一:分别画出和两种情况图像.检验那个选项符合即可.‎ 解法二: 根据和两种情况讨论求解,求解时可以采用特殊值法,即当,不妨取,则,可以观察在和下的取值范围,观察选项即可得出答案. 当时,也按照的方法处理.‎ ‎【详解】‎ 解法一:当时的图像为 ‎ 故C正确.‎ 当时的图像为:‎ 解法二: 当,不妨取,则 ‎,取值范围是:‎ ‎,取值范围是:.‎ ‎, ‎ 结合着3个条件可知选项:C符合题意.‎ 当,不妨取,则 ‎,取值范围是:‎ ‎,取值范围是:.‎ ‎, ‎ 没有选项同时符合这3个条件.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数图像,与绝对值函数图像.处理加上绝对值函数图像时,要掌握先画原函数图像,在将函数在轴下方的图像对称到轴上方, 轴下方图像去掉,这是解决此题的关键.合理使用特殊值法可以简化计算.‎ ‎9．幂函数在上是增函数，则　( )‎ A． B．2 C．或2 D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据幂函数的定义，令m2﹣m﹣1＝1，求出m的值，再判断m是否满足幂函数在x∈（0，+∞）上为增函数即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵幂函数，‎ ‎∴m2﹣m﹣1＝1，‎ 解得m＝2，或m＝﹣1；‎ 又x∈（0，+∞）时f（x）为增函数，‎ ‎∴当m＝2时，m2+m﹣3＝3，幂函数为y＝x3，满足题意；‎ 当m＝﹣1时，m2+m﹣3＝﹣3，幂函数为y＝x﹣3，不满足题意；‎ 综上，幂函数y＝x3．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的m值．‎ ‎10．已知函数，若函数有三个不同的零点，则的范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】有三个不同的零点等价于函数与函数的图像有三个不同的交点,画出函数的图像,然后结合图像求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 如图所示.‎ 当时, 函数与函数图像有三个不同的交点 当时, 函数与函数图像有三个不同的交点 注意当,函数与函数图像有四个不同的交点 故舍去.‎ ‎ 的范围为: 或.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题将求零点转为与图像交点问题, 在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解是解本题的关键.已知函数有零点求参数值取值范围常用的方法有:直接法,分离参数法,数形结合法.本题采用了数形结合法.‎ ‎11．定义在上的偶函数满足，且当时，，则的值为（ ）‎ A．－1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用偶函数满足求出函数的周期,然后化简,通过函数的奇偶性求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 定义在上的偶函数 则 ‎ 可得的周期为.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的周期性,需要掌握的周期为,当所求的变量不在所给的函数定义域内,利用函数的周期和奇偶性化简到定义域内,这是解此类型题的关键.‎ ‎12．已知函数在上单调递增，，，，，，则，，，‎ 的大小关系为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为是以对称轴开口向上的二次函数,由二次函数图像性质可得:‎ 当越小,对应的越小.在结合在上单调递增,即可比较，，，的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 设 可得: 是以对称轴开口向上的二次函数.‎ 根据二次函数图像性质可得: 当越小,对应的越小 又因为 可得 即可得出: ‎ 根据对数函数性质可知: ‎ 进而得到: ‎ 又因为在上单调递增,所以.‎ 故选: A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复合函数值的比较大小,先根据外层是增函数,那么内层函数的值越大则复合函数的值也越大.内层函数是个二次函数,在比较二次函数值的大小可结合图像来比较函数值的大小.‎ 二、填空题 ‎13．已知函数的定义域为，则函数的定义城为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据同一个函数括号内的范围必须相同,可得: 或,解出的范围即可得到的定义城.‎ ‎【详解】‎ ‎ 函数定义域为 根据同一个函数括号内的范围必须相同 ‎ 或，即或，‎ 根据:增函数.‎ ‎ ‎ ‎ 即:‎ 又 ‎ ‎ 即: ‎ ‎ 函数的定义域为.‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了抽象函数的定义域问题,注意函数定义域指的是范围,再者抽象函数题目中同一个函数括号内的范围必须相同,这是连接两个函数的桥梁.‎ ‎14．已知函数满足，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由解出代入到,即可求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎ 则 故 ‎ .‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求函数的值,理解函数概念是解本题的关键.‎ ‎15．已知函数，对任意实数都满足.当时，，则，函数的解析式为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据任意实数都满足,由函数的性质可得和,即函数的周期,当则,代入,即可求得上的表达式, 当则,将代入,即可求得上的表达式.‎ ‎【详解】‎ ‎ 即可改写为: ‎ 设 得:‎ ‎ ‎ 可得: 则函数的周期,即可改写为: ‎ 设得:‎ 由于时，，‎ 任取则，‎ 所以.‎ 任取，则，‎ 而 (可将中变为即可得到此式)‎ ‎ ‎ 所以函数解析式为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查周期性,先利用周期性将自变量变换到较小的数,再根据题目函数性质,将自变量变换到已知函数表达式的定义域中进行求解.‎ ‎16．已知函数，若，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】讨论,,由指数、对数的单调,通过解不等式即可得到所求的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ 根据: 是单调增函数故 即. ‎ 当时，‎ ‎ 故 ‎ 根据: 是单调增函数 ‎ 即 综上，实数的取值范围是.‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数的应用,其中解答中熟练应用分段函数的解析式,结合分段函数的分段条件,分类讨论求解是解答的关键.‎ 三、解答题 ‎17．已知是定义域为的奇函数，当时，.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若函数在区间上单调，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2)答案见解析 ‎【解析】(1)根据是定义域为的奇函数,当则,将代入 根据奇函数性质,求出函数的解析式,即可求得的解析式.‎ ‎(2) 函数在区间上单调,画出图像,结合图像来求解的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，‎ 则任取时，则 ‎ ‎ 又 是定义域为的奇函数可得: ‎ ‎ 即: ‎ ‎ ‎ ‎（2）由（1）知 画出图像:‎ 根据图像可知:‎ 当，即时，函数在区间单调递减；‎ 当，且，即时，函数在区间单调递增；‎ 当时，函数在区间单调递减.‎ 综上所述: 当时, 函数在区间单调递减；‎ ‎ 当时, 函数在区间单调递增;‎ 当时，函数在区间单调递减.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数奇偶性的应用和由单调性求参数范围,利用奇偶性求函数值和解析式主要应用奇偶性定义和图像的对称性来求解.‎ ‎18．已知函数，在上单调递增，求的范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可知是定义域在上的分段函数,要保证在上单调递增,需要保证单调递增,也单调递增.还要保证在分界点上.‎ ‎【详解】‎ ‎ 当时，单调递增，‎ ‎，即，①‎ 当时，单调递增，‎ ‎，即，②‎ 在分界点上:即时,‎ ‎ ，解得或，③‎ 取①②③的交集得的取值范围为.‎ 综上所述: 的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 在求解分段函数的单调性时,即要保证每段函数上单调,也要保证在分界点上单调,通过联立不等式组来求解参数范围.‎ ‎19．已知函数，其中且，求函数的定义域.‎ ‎【答案】答案见解析 ‎【解析】求是复合函数定义域,要保证有意义,即, 保证对数的真数大于零,即,求解此不等式即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 根据对数的真数大于零可得:‎ ‎，则，‎ 即 当时恒成立，‎ 所以当时:解集为，‎ 即函数的定义域为，‎ 时，的两根为:‎ ‎，，‎ ‎，‎ 又 且，即，所以.‎ ‎ 不等式解集为，即，‎ 所以函数的定义域为，‎ 综上所述，当时，函数的定义域为；‎ 当时，函数的定义域为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了含有参数的对数形复合函数定义域,在求解时要将内部函数转化为分数不等式,结合表达的特点就参数进行讨论,这是解题关键.‎ ‎20．已知奇函数定义域为对任意不同两数，都有，若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据是奇函数,所以有, 将其代入可得可知是减函数.进而可求即可得到实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎ 函数在上是奇函数 得: ‎ ‎ .‎ 由于对于任意不同两数，都有，‎ 所以对于任意不同两数，都有.‎ 若，则，若，则.‎ 所以函数在上单调递减.‎ ‎ ‎ ‎ 得 所以.‎ 得的取值范围为.‎ 综上所述: .‎ ‎【点睛】‎ 解决该试题的关键是对于已知中函数为奇函数,能将已知的不等式翻译为变量差与对应的函数值的差,回归到函数的单调性定义上判定和证明,同时利用第一问的结论,去掉抽象函数的符号,转换为求解指数不等式的问题.‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）若函数的最小值为，求的解析式；‎ ‎（2）函数，在（1）的条件下，对任意时，都存在，使，求实数的范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）结合二次函数的最值情况，根据对称轴和最小值可以建立方程组求解；‎ ‎（2）把所求问题转化为求解函数的最值问题，结合二次函数区间最值可求.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题得解得．‎ 所以；‎ ‎（2）当时，，‎ 当时，，‎ 由于对任意时，都存在，，‎ 所以，所以，即．‎ 所以的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次函数的解析式求解和最值问题，二次函数解析式一般是利用待定系数法求解，最值问题一般考虑对称轴和区间的位置关系来处理，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎22．已知，（且）.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当，恒成立.求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)答案见解析 (2) ‎ ‎【解析】（1）根据在是单调增函数,在是减函数,分为和两种情况讨论,即可得到的单调性.‎ ‎（2）要即保证:‎ ‎,根据上问求得为增函数,即,要保证此式很成立只需()小于的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，‎ ‎ 函数单调递增，单调递减，‎ ‎ 函数，单调递增.‎ 当时，‎ 函数单调递减，函数单调递增，‎ 函数，单调递增.‎ 函数，（且）在其定义域上单调递增.‎ ‎（2）令，，则.‎ ‎，‎ 由（1）知函数为递增函数，‎ 所以，当时等号成立.‎ 要使得恒成立，即 恒成立，‎ 只需，即，得.‎ 综上所述:的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性和函数不等式恒成立问题.在处理函数不等式恒成立,先判断函数的单调性,将函数值的比较大小转化为自变量的比较大小,使问题转化为不等式恒成立的问题,这是解本题的关键.‎