黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2019届高三9月月考数学（理）试题

黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2019届高三9月月考数学（理）试题

哈师大青冈实验中学2018——2019学年度9月份考试 高三学年数学（理科）试题 一、 选择题（每小题5分，共计60分）‎ ‎1.设集合，，则中整数元素的个数为（ ）‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ 2. 下面是关于复数的四个命题::，，的共轭复数为，的虚部为，其中真命题为 ( )‎ ‎　 A． B． C． D．‎ ‎3．“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4.已知：，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还升，升，升，1斗为‎10升；则下列判断正确的是（ ）‎ A．依次成公比为2的等比数列，且 ‎ B．依次成公比为2的等比数列，且 ‎ C．依次成公比为的等比数列，且 ‎ D．依次成公比为的等比数列，且 ‎6.执行如图所示的程序框图，如果输入，那么输出的值为 ( )‎ A. 16 B. ‎256 C. D. ‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点P在△COD的内部（不含边界）．若 ,则实数对（x，y）可以是（　　）‎ A. ‎ B. ‎ C. D. ‎ ‎9.给定方程：，给出下列4个结论：‎ ‎①该方程没有小于0的实数解；‎ ‎②该方程有无数个实数解；‎ ‎③该方程在内有且只有一个实数根；‎ ‎④若是方程的实数根，则.‎ 其中正确结论的个数是（ ）‎ A．1 B．‎2 C． 3 D． 4‎ ‎10.在中， ，点是所在平面内一点，则当取得最小值时， ( )‎ A. 9 B. C. D. ‎ ‎11.已知函数满足下面三个条件：，‚，在上具有单调性。那么的取值共有（ ）‎ A． 个 B． 个 C． 个 D．个 ‎12. 若存在两个正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 一、 填空题（每小题5分，共计20分）‎ ‎ 13.已知函数的最小正周期为，则 .‎ ‎14.已知，为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足 ‎，则的最小值为 ．‎ ‎15.若直线l是曲线y＝ex-2的切线，也是曲线y＝ex －1的切线，则直线l的方程为________.‎ ‎16.以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：‎ ‎①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；‎ ‎②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；‎ ‎③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∉B；‎ ‎④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x>－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.‎ 其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)‎ 一、 解答题（写出必要的步骤或证明过程，只给出结论不得分）‎ ‎17.（10分）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点.‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程及弦的长；‎ ‎（2）动点在圆上（不与，重合），试求的面积的最大值.‎ ‎18.（12分）在锐角中，内角的对边分别是，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2） 设， 的面积为2，求的值.‎ ‎19.(12分)已知向量a＝(2sin(ωx＋)，2)，b＝(2cosωx,0) (ω>0)，函数f(x)＝a·b ‎ ‎ 的图象与直线y＝－2＋的相邻两个交点之间的距离为π.‎ ‎ (1)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间；‎ ‎ (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)在[0，m](m>0) 上至少含有10个零点，求m的最小值．‎ ‎20.某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：）频数分布表如表1、表2.‎ 表1：男生身高频数分布表 表2：女生身高频数分布表 ‎（1）求该校高一女生的人数；‎ ‎（2）估计该校学生身高在的概率；‎ ‎（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设表示身高在学生的人数，求的分布列及数学期望.‎ ‎21．（12分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，底面，，，，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）是侧棱上一点，记（），是否存在实数，使平面与平面所成的二面角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎22. 已知函数.‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）设函数有两个极值点且,若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎参考答案（理科数学）‎ 一、 选择题1-5 BCAAD 6-10 DADCB 11--12 DD 二、 填空题 ‎ 13、 14、 15.x-2y-1+ln2=0 16.ƒ④‎ ‎17.解：（1）由得，‎ 所以，所以圆的直角坐标方程为.‎ 将直线的参数方程代入圆，并整理得，‎ 解得，.‎ 所以直线被圆截得的弦长为.‎ ‎（2）直线的普通方程为.‎ 圆的参数方程为（为参数），‎ 可设曲线上的动点，则点到直线的距离，当时，取最大值，且的最大值为.‎ 所以，‎ 即的面积的最大值为.‎ ‎18.（12分）解：（1）因为，‎ 所以，所以，‎ 所以 又因为为锐角三角形，所以，所以 ‎（2）因为，所以 又因为，所以，所以，‎ 故 ‎19.(12分)解　(1)函数f(x)＝a·b＝4sin(ωx＋)cosωx ‎ ＝ [4×(－)sinωx＋4×cosωx]cosωx ‎ ＝2cos2ωx－sin2ωx＝(1＋cos2ωx)－sin2ωx＝2cos(2ωx＋)＋，.................4分 ‎ 由题意得T＝π，∴＝π，∴ω＝1，故f(x)＝2cos(2x＋)＋.‎ ‎ 令2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z)，‎ ‎ ∴y＝2cos(2x＋)＋的单调递增区间为[kπ－，kπ－](k∈Z)．‎ ‎ 当k＝1时，函数的单调递增区间为[，]．‎ ‎ 当k＝2时，函数的单调递增区间为[，]．‎ ‎ ∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为[，]，[，]．.............8分 ‎ (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)＝2cos2x＋的图象．‎ ‎ 令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋，k∈Z，………………10分 ‎∴函数g(x)在每个周期内恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，m](m>0)上至少含有10个 ‎ 零点，则m不小于第10个零点的横坐标即可，∴m的最小值为4π＋＝.........12分 ‎20.（12分）解：（1）设高一女学生人数为，由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40，30，则，解得.‎ 即高一女学生人数为300.‎ ‎（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在的人数为，样本容量为70.‎ 所以样本中该校学生身高在的概率为.‎ 因此，可估计该校学生身高在的概率为.‎ ‎（3）由题意可得的可能取值为0，1，2.‎ 由表格可知，女生身高在的概率为，男生身高在的概率为.‎ 所以，，.‎ 所以的分布列为：‎ 所以.‎ ‎21.（12分）（Ⅰ）证明：由已知，得，‎ ‎∵，，‎ 又，∴．‎ 又底面，平面，‎ 则，‎ ‎∵平面，平面，且，‎ ‎∴平面．‎ ‎∵平面，∴平面平面．‎ ‎（Ⅱ）解：以为坐标原点，过点作垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图3所示．‎ 则，‎ 因为在平行四边形中，，‎ 则，∴．‎ 又，知．‎ 设平面的法向量为，‎ 则即 取，则．‎ 设平面的法向量为，‎ 则即 取，则．‎ 若平面与平面所成的二面角为，‎ 则，即，‎ 化简得，即，‎ 解得（舍去）或．‎ 于是，存在，使平面与平面所成的二面角为． 22.（12分） 解：（1），‎ 令或，‎ ‎ 的单调增区间为；单调减区间为.‎ ‎（2），因为函数有两个极值点，所以是方程的两个根，即，所以是方程的两个根，‎ 所以有， ‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ 令，则，设，‎ ‎∴， ‎ ‎∴在上单减，∴，‎ 故. ‎