2017-2018学年重庆市铜梁县第一中学高二10月月考数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年重庆市铜梁县第一中学高二10月月考数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年重庆市铜梁县第一中学高二10月月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．若三点、、共线，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】, 三点共线 即 ‎, ‎ 故答案选 ‎2．与已知直线平行，且不过第一象限的一条直线的方程是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】直线化为一般式为,所以与直线平行的直线应为项和项中的直线，但项中直线的截距为正，直线过第一象限，不符合条件。‎ 故答案选 ‎3．已知、是两个不同的平面， 、是两条不同的直线，下列命题中不正确的是（ ）‎ A. 若∥， ，则 B. 若∥， ，则∥‎ C. 若， ，则∥‎ D. 若，则 ‎【答案】B ‎【解析】在中，则直线垂直面内任意一条直线， ∥，则直线垂直面内任意一条直线，故，故A正确 在中，若∥， ，则与相交、平行或异面都有可能，故不正确 在中，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故正确 故选 ‎4．设变量满足约束条件，则目标函数 ‎＝2+4的最大值为（ ）‎ A. 10 B. 12 C. 13 D. 14‎ ‎【答案】C ‎【解析】【考点】简单线性规划的应用．‎ 专题：计算题；数形结合．‎ 分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=2x+4y过区域内某个顶点时，z最大值即可．‎ 解答：解析：先画出约束条件 的可行域，如图，‎ 得到当x=，y=时目标函数z=2x+4y有最大值为，Zmax=2×+4×=13．‎ 故选C．‎ 点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．‎ ‎5．若直线 ( )‎ A. B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】两条直线和相互垂直，‎ 解得 故答案选 ‎6．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体，，故选B．‎ ‎【考点】圆锥的体积公式．‎ 视频 ‎7．某四面体三视图为如图所示的三个直角三角形，则该四面体四个面的面积中最大的是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图 四个面的面积分别为：8，6，，10，显然面积的最大值为10，故选C ‎8．8．球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是 (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：设正方体棱长为a。因为，球的直径是其内接正方体的对角线，所以， ，球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是： ，故选C。‎ ‎【考点】球、正方体的几何特征，面积计算。‎ 点评：简单题，注意球的直径是其内接正方体的对角线。‎ ‎9．则|PQ|的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】与是平行线，‎ 即与是平行线，‎ 的最小值 故答案选 ‎10．若实数x、y满足，则的取值范围是 ( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由满足的约束条件画出可行域，如图：‎ 目标函数表示区域内的动点与定点连线的斜率 由图可知是的最小值，故的取值范围是 故答案选 点睛：线性规划转化为几何意义， 转化为可行域内的点到点连线的斜率，先画出可行域，然后计算出斜率范围。‎ ‎11．右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：‎ ‎①// ；‎ ‎②与成角；‎ ‎③成异面直线且；‎ ‎④所成角为．‎ 其中正确的个数是 ( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知与不平行，故①错误；连接、将平移到，则与成角，故②正确；同理成角，故③错误； 所成角不为，故④错误，综上可得只有②正确，故选A ‎12．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等， 在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意不妨令棱长为，如图 在底面内的射影为的中心，故 由勾股定理得 过作平面，则为与底面所成角，且 如图作于中点 与底面所成角的正弦值 故答案选 点睛：本题考查直线与平面所成的角，要先过点作垂线构造出线面角，然后计算出各边长度，在直角三角形中解三角形。‎ 二、填空题 ‎13．直线的倾斜角为_________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】直线化为 直线的倾斜角的正切值为 直线的倾斜角为 ‎14．已知球的体积是，则球的表面积为_________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】球的体积为，‎ 球的半径 球的表面积 ‎15．实数x、y满足，若z=kx+y的最大值为13，则实数k=_______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由得直线的截距最大，对应的也取得最大值，‎ 即平面区域在直线的下方，且 平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大为 即 由,解得 即 此时 故答案为 ‎16．已知在直线： 上，点，则的最小值为_______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设点关于直线的对称点 得解得 则 点睛：判定两点与直线的位置关系，要求最小值，先求点关于直线的对称点，对称点的求法根据其中点在已知直线上，斜率乘积得，然后根据两点之间的距离公式求得最小值。‎ 三、解答题 ‎17．已知直线经过直线与直线的交点．求解下列问题（最后结果表示为一般式方程）：‎ ‎⑴若直线与直线平行，求直线的方程；‎ ‎⑵若直线与直线垂直，求直线的方程．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：先求出两直线的交点坐标，（1）根据直线平行设直线方程 ‎，代入点坐标求得直线方程 (2) 根据直线垂直设直线方程 代入点坐标求得直线方程 解析：由解得交点为（1,4）,‎ ‎（1）设直线方程为： ，将（1,4）带入方程，得。‎ 所以直线方程为。‎ ‎（2）设直线方程为： ，将（1,4）带入方程，得.‎ 所以直线方程为。‎ ‎18．如图,在四棱锥中,底面是边长为的菱形,且, , 分别为的中点.‎ ‎(1)证明: ；‎ ‎(2)求异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析(2) ‎ ‎【解析】试题分析： 连接利用三角形的中位线的性质，证明,再利用线面平行的判定定理，可知平面 ‎（2）通过平行找出异面直线所成角，运用余弦定理求异面直线与所成角的余弦值 解析：连接 ‎（2）连接 底面是边长为的菱形,且, ,‎ ‎ . ‎ ‎.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形。‎ ‎（Ⅰ）若，证明：直线平面；‎ ‎（Ⅱ）设， 分别是线段， 的中点，在线段上是否存在一点，使直线平面？请证明你的结论。‎ ‎【答案】（1）证明详见解析；（2）存在，M为线段AB的中点时，直线平面.‎ ‎【解析】试题分析：（1）证直线垂直平面，就是证直线垂直平面内的两条相交直线.已经有了，那么再在平面内找一条直线与BC垂直.据题意易得， 平面ABC，所以.由此得平面.（2）首先连结，取的中点O.考虑到， 分别是线段， 的中点，故在线段上取中点，易得.从而得直线平面.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为四边形和都是矩形，‎ 所以.‎ 因为AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，‎ 所以平面ABC.‎ 因为直线平面ABC内，所以.‎ 又由已知， 为平面内的两条相交直线，‎ 所以， 平面.‎ ‎（2）取线段AB的中点M，连接，设O为的交点.‎ 由已知，O为的中点.‎ 连接MD，OE，则MD，OE分别为的中位线.‎ 所以， ，‎ 连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则.‎ 因为直线平面， 平面，‎ 所以直线平面.‎ 即线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使得直线平面.‎ ‎【考点定位】空间直线与平面的位置关系.‎ 视频 ‎20．（本小题满分12分）在长方体中，底面是正方形， 是中点，点是棱上任意一点．‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）若求的长 ‎【答案】（1）见解析；（2）；‎ ‎【解析】试题分析：欲证，由于只需证明，下面围绕和展开证明即可；‎ 第二步借助勾股定理列方程求得即可。‎ 试题解析：（1）证明：连结,,由底面是正方形知⊥‎ ‎∵⊥平面， 平面∴⊥‎ 由于∩= ，所以⊥平面 再由知⊥‎ ‎（2）设的长为，连结,‎ 在中， , ,∴‎ 中, ， ‎ ‎∴‎ 中, , ， ‎ 又∵⊥∴‎ ‎∴4++=，∴‎ 故的长为 ‎【考点】1．线面平行的判定；2．利用法向量求二面角；‎ ‎21．如图， 中， ， ， ， ， , ．‎ ‎（1）若与平面成角，求此时与平面所成的角的正弦值；‎ ‎（2）求长的最小值．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由， 与平面成角，求得的长， ，给出线面角，求出各边长度即可求出与平面所成的角的正弦值（2）要求长的最小值，只要最小即可，即当时最小 解析： ‎ ‎。‎ ‎。‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎,‎ 即为所求角的正弦值。‎ ‎ , ‎ 要让最小，只要最小即可，即当时最小，‎ ‎.‎ 点睛：要求线面角的正弦值，先构造出线面角，这就需要找出过点垂直于面的线，在解三角形，根据已知条件求出各边长；在第（2）问中要求最小值就要转化到最小，点到线最小时作垂线即可。‎ ‎22．已知直线： .‎ ‎(1)求证：无论为何实数，直线恒过一定点；‎ ‎ (2)若直线过点， 且与轴负半轴、轴负半轴围成三角形面积最小，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1)无论为何实数，直线恒过一定点,(2) ‎ ‎【解析】试题分析： 直线化为 ‎,联立，解出即可得出结论。‎ 设直线的方程为, ,可得,由基本不等式可得。‎ 解析：（1）证明： ： 。‎ 则 所以无论为何实数，直线恒过一定点。‎ ‎（2）由题知直线的斜率，设直线： ，‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 即： ‎ 点睛：直线恒过定点在求解过程中先整理直线解析式，根据性质联立方程组即可求出直线恒过定点坐标，欲求面积最小值，给出面积表达式，利用基本不等式求解。‎