数学理·河北省邯郸市曲周一中2017届高三上学期9月质检数学试卷（理科） Word版含解析

数学理·河北省邯郸市曲周一中2017届高三上学期9月质检数学试卷（理科） Word版含解析

‎2016-2017学年河北省邯郸市曲周一中高三（上）9月质检数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若集合P={x|1≤log2x＜2}，Q={1，2，3}，则P∩Q=（　　）‎ A．{1，2} B．{1} C．{2，3} D．{1，2，3}‎ ‎2．复数z=在复平面上对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．设a∈R，则“a=4是“直线l1：ax+8y﹣3=0与直线l2：2x+ay﹣a=0平行”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．下列函数中为偶函数又在（0，+∞）上是增函数的是（　　）‎ A． B．y=x2+2|x| C．y=|lnx| D．y=2﹣x ‎5．执行所示的程序框图，如果输入a=3，那么输出的n的值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎6．将函数y=4sin（4x+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，所得函数图象的一个对称中心为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知x，y满足约束条件，则下列目标函数中，在点（4，1）处取得最大值的是（　　）‎ A．z=x﹣y B．z=﹣3x+y C．z=x+y D．z=3x﹣y ‎8．若函数f（x）=﹣x2+x+1在区间（，3）上单调递减，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（，） B．（，+∞） C．[，+∞） D．[2，+∞）‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x3（x＞0）和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知F1，F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=5：12：13，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足（1）f（x）＞0；（2）f（x）＜f′（x）＜2f（x）（其中f′（x）是f（x）的导函数，e是自然对数的底数），则的范围为（　　）‎ A．（，） B．（，） C．（e，2e） D．（e，e3）‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．在（x+）8的展开式中x4的系数是　　．‎ ‎14．设向量=（4，m），=（1，﹣2），且⊥，则|+2|=　　．‎ ‎15．正项等比数列{an}满足：a3=a2+2a1，若存在am，an，使得am•an=64a，则+的最小值为　　．‎ ‎16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AC=5，则直三棱柱内切球的表面积的最大值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sin2=sinC+1．‎ ‎（Ⅰ）求角C的大小；‎ ‎（Ⅱ）若a=，c=1，求△ABC的面积．‎ ‎18．已知等差数列{an}满足：a5=3，前3项和S3为．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和．‎ ‎19．我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水尤为突出，某市为了制定合理的节水方案，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量，整理得到如图的频率分布直方图．‎ ‎（1）求图中a的值并估计样本的众数；‎ ‎（2）该市计划对居民生活用水试行阶梯水价，即每位居民月用水量不超过ω吨的按2元/吨收费，超过ω吨不超过2ω吨的部分按4元/吨收费，超过2ω吨的部分按照10元/吨收费．‎ ‎①用样本估计总体，为使75%以上居民在该月的用水价格不超过4元/吨，ω至少定为多少？‎ ‎②假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当ω=2时，估计该市居民该月的人均水费．‎ ‎20．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E，F分别为DC，AB的中点，将△DAE沿AE知折起，使得二面角D﹣AE﹣B的大小为120°．‎ ‎（1）求证：平面DCF⊥平面DCE；‎ ‎（2）求二面角E﹣DC﹣A的余弦值．‎ ‎21．平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率e=，过点F且垂直于x轴的直线被圆截得的弦长为1．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）记椭圆C的上、下顶点分别为A，B，设过点M（m，﹣2）（m≠0）的直线MA，MB与椭圆C分别交于点P，Q，求证：直线PQ必过一定点，并求该定点的坐标．‎ ‎22．已知函数f（x）=ax2﹣alnx+x．‎ ‎（1）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）若a＜0，设g（x）=f（x）﹣x，h（x）=﹣2xlnx+2x，若对任意x1，x2∈[1，+∞）（x1≠x2），|g（x2）﹣g（x1）|≥|h（x2）﹣h（x1）|恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省邯郸市曲周一中高三（上）9月质检数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若集合P={x|1≤log2x＜2}，Q={1，2，3}，则P∩Q=（　　）‎ A．{1，2} B．{1} C．{2，3} D．{1，2，3}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出P中不等式的解集，确定P，找出两集合的交集即可．‎ ‎【解答】解：P={x|1≤log2x＜2}=[2，4），Q={1，2，3}，‎ 则P∩Q={2，3}，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．复数z=在复平面上对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．‎ ‎【解答】解：z===在复平面上对应的点位于第四象限．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．设a∈R，则“a=4是“直线l1：ax+8y﹣3=0与直线l2：2x+ay﹣a=0平行”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】通过讨论a，结合直线平行的条件求出直线平行的充要条件，通过比较其和a=4的关系，判断即可．‎ ‎【解答】解：当a=4时，两直线分别为4x+8y﹣3=0和2x+4y﹣4=0，满足两直线平行．‎ 当a=0时，两直线分别8y﹣3=0和2x=0，不满足两直线平行．‎ ‎∴a≠0，若两直线平行，则﹣=﹣，‎ 解得a2=16，则a=±4，‎ 即“a=4是“直线l1：ax+8y﹣3=0与直线l2：2x+ay﹣a=0平行”充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．下列函数中为偶函数又在（0，+∞）上是增函数的是（　　）‎ A． B．y=x2+2|x| C．y=|lnx| D．y=2﹣x ‎【考点】函数奇偶性的判断．‎ ‎【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．‎ ‎【解答】解：A.是偶函数，当x＞0时， =（）x是减函数，不满足条件．‎ B．y=x2+2|x|是偶函数，当x＞0时，y=x2+2|x|=x2+2x是增函数，满足条件．‎ C．y=|lnx|的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．‎ D．y=2﹣x在（0，+∞）上是减函数，且函数为非奇非偶函数，不满足条件．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．执行所示的程序框图，如果输入a=3，那么输出的n的值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据程序框图，依次计算运行的P、Q的值，直到条件P≤Q不满足，判断此时的n值，可得答案．‎ ‎【解答】解：由程序框图得：程序第一次运行P=0+30=1，Q=2×1+1=3，n=1；‎ 第二次运行P=1+31=4，Q=2×3+1=7．n=2；‎ 第三次运行P=4+32=13，Q=2×7+1=15，n=3；‎ 第四次运行P=13+33=40，Q=2×15+1=31，n=4，‎ 不满足P≤Q，程序运行终止，输出n=4．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．将函数y=4sin（4x+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，所得函数图象的一个对称中心为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦函数的图象．‎ ‎【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得所得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一个对称中心．‎ ‎【解答】解：将函数y=4sin（4x+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，可得y=4sin（2x+）的图象，‎ 再向右平移个单位，所得函数y=4sin[2（x﹣）+]═4sin（2x﹣）图象，‎ 令2x﹣=kπ，求得x=+，k∈Z，故所得图象的一个对称中心为（，0），‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．已知x，y满足约束条件，则下列目标函数中，在点（4，1）处取得最大值的是（　　）‎ A．z=x﹣y B．z=﹣3x+y C．z=x+y D．z=3x﹣y ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，‎ A．由z=x﹣y得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，由图象知当直线y=x﹣z经过C时直线的截距最小，此时最大，‎ 此时在A（4，1）处不是最大值，不满足条件．‎ B．由z=﹣3x+y得y=3x+z，平移直线y=3x+z，由图象知当直线y=3x+z经过A时直线的截距最小，此时z最小，‎ 不满足条件．‎ C．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象知当直线y=﹣x+z经过C时直线的截距最小，此时z最小，‎ 此时在A（4，1）处不是最大值，不满足条件．‎ D．由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z，由图象知当直线y=3x﹣z经过A时直线的截距最小，此时z最大，‎ 满足条件．‎ ‎，‎ 故选：D ‎　‎ ‎8．若函数f（x）=﹣x2+x+1在区间（，3）上单调递减，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（，） B．（，+∞） C．[，+∞） D．[2，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出函数f（x）的导数，问题转化为a≥x+在（，3）恒成立，令g（x）=x+，x∈（，3），根据函数的单调性求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+x+1，‎ ‎∴f′（x）=x2﹣ax+1，‎ 若函数f（x）在区间（，3）上递减，‎ 故x2﹣ax+1≤0在（，3）恒成立，‎ 即a≥x+在（，3）恒成立，‎ 令g（x）=x+，x∈（，3），‎ g′（x）=，‎ 令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：x＜1，‎ ‎∴g（x）在（，1）递减，在（1，3）递增，‎ 而g（）=，g（3）=，‎ 故a≥‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可知：该几何体是由左右两部分组成的，左边是半圆锥，右边是一个圆柱．根据数据即可得出．‎ ‎【解答】解：由三视图可知：该几何体是由左右两部分组成的，左边是半圆锥，右边是一个圆柱．‎ ‎∴该几何体的表面积=++π×12+2π×1×2+=+1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x3（x＞0）和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．‎ ‎【解答】解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，‎ 由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）=1，‎ 满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：‎ S（A）==（﹣）=．‎ 所以P（A）=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．已知F1，F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=5：12：13，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设|AF1|=t，|AB|=5x，结合|AB|：|BF2|：|AF2|=5：12：13，得到△ABF2为直角三角形，结合勾股定理建立方程关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：设|AF1|=t，|AB|=5x，则|BF2|=12x，|AF2|=13x，‎ 根据双曲线的定义，得|AF2|﹣|AF1|=|BF1|﹣|BF2|=2a，‎ 即13x﹣t=（5x+t）﹣12x=2a，解得t=10x，x=a，‎ 即|AF1|=a，|AF2|=a，‎ ‎∵|AB|：|BF2|：|AF2|=5：12：13，∴得△ABF2是以B为直角的Rt△，‎ 则|BF1|=t+5x=10x+5x=15x=15×a=10a，‎ ‎|BF2|=12x=12×a=8a，‎ 则|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2，‎ 即100a2+64a2=4c2，‎ 即164a2=4c2，‎ 则41a2=c2，‎ 即c=a，‎ 因此，该双曲线的离心率e==．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足（1）f（x）＞0；（2）f（x）＜f′（x）＜2f（x）（其中f′（x）是f（x）的导函数，e是自然对数的底数），则的范围为（　　）‎ A．（，） B．（，） C．（e，2e） D．（e，e3）‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据题给定条件，设构造函数g（x）=与h（x）=，再利用导数判断在（1，2）上函数的单调性．‎ ‎【解答】解：设g（x）=，则g'（x）=＞0‎ ‎∴g（x） 在（0，+∞）上单调递增，所以g（1）＜g（2），即＜⇒＜；‎ 令h（x）=，则h'（x）=‎ ‎∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，所以h（1）＞h（2），即＞⇒＞‎ 综上，＜且 ＞．‎ 故选：B ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．在（x+）8的展开式中x4的系数是　7　．‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求得r的值，可得展开式中x4的系数．‎ ‎【解答】解：∵（x+）8的展开式的通项公式为Tr+1=••，令8﹣=4，可得r=3，‎ 故展开式中x4的系数为•=7，‎ 故答案为：7．‎ ‎　‎ ‎14．设向量=（4，m），=（1，﹣2），且⊥，则|+2|=　　．‎ ‎【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模．‎ ‎【分析】利用向量坐标运算性质、向量垂直与数量积的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：∵⊥，∴•=4﹣2m=0，解得m=2．‎ ‎∴=（4，2），‎ ‎∴+2=（6，﹣2），‎ ‎∴|+2|==2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．正项等比数列{an}满足：a3=a2+2a1，若存在am，an，使得am•an=64a，则+的最小值为　2　．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】求出公比为2，利用等比数列{an}中存在两项am，an，使得aman=64a12，可得2m+n﹣2=26，化为m+n=8．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵正项等比数列{an}满足：a3=a2+2a1，‎ ‎∴q2﹣q﹣2=0，‎ ‎∴公比为q=2，‎ ‎∵等比数列{an}中存在两项am，an，使得aman=64a12，a1≠0，‎ ‎∴2m+n﹣2=26，‎ ‎∴m+n=8．‎ ‎∴+=（m+n）（+）=（10++）≥（10+6）=2，当且仅当n=3m=6时取等号．‎ ‎∴+的最小值为2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AC=5，则直三棱柱内切球的表面积的最大值为　25（3﹣3）π　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】棱柱底面三角形的内切圆即为球的大圆，求出直三棱柱内切球的半径的最大值，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设棱柱的内切球的半径为r，则Rt△ABC的内切圆为球的大圆，‎ 设AB=a，BC=b，则a2+b2=25，‎ 由等面积可得，‎ ‎∴r=．‎ 设a=5cosα，b=5sinα，则r=，‎ 设t=cosα+sinα，（|t|≤），r=（t﹣1），‎ ‎∴rmax=（﹣1），‎ ‎∴直三棱柱内切球的表面积的最大值为25（3﹣3）π．‎ 故答案为：25（3﹣3）π．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sin2=sinC+1．‎ ‎（Ⅰ）求角C的大小；‎ ‎（Ⅱ）若a=，c=1，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得cosC=sinC，结合范围C∈（0，π），即可求得C的值．‎ ‎（Ⅱ）由正弦定理可求sinA=1，进而可得A=，B=C=，利用三角形面积公式即可得解．‎ ‎【解答】（本题满分为10分）‎ 解：（Ⅰ）∵2sin2=sinC+1，‎ 在△ABC中，A+B+C=π，‎ ‎∴2cos2=sinC+1，可得：cosC=sinC，…‎ ‎∵C∈（0，π），‎ ‎∴C=．…‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理： =，‎ ‎∴sinA=1，A=，B=C=，…‎ ‎∴S△ABC=bc=．…‎ ‎　‎ ‎18．已知等差数列{an}满足：a5=3，前3项和S3为．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{an}的通项公式．‎ ‎（2）令==2（），利用裂项求和法能求出数列{}的前n项和．‎ ‎【解答】解：（1）在等差数列{an}中设首项为a1，公差为d，‎ ‎∵a5=3，前3项和S3为，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴an=．‎ ‎（2）令==2（），‎ ‎∴数列{}的前n项和：‎ Tn=2（）‎ ‎=2（）‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎19．我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水尤为突出，某市为了制定合理的节水方案，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量，整理得到如图的频率分布直方图．‎ ‎（1）求图中a的值并估计样本的众数；‎ ‎（2）该市计划对居民生活用水试行阶梯水价，即每位居民月用水量不超过ω吨的按2元/吨收费，超过ω吨不超过2ω吨的部分按4元/吨收费，超过2ω吨的部分按照10元/吨收费．‎ ‎①用样本估计总体，为使75%以上居民在该月的用水价格不超过4元/吨，ω至少定为多少？‎ ‎②假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当ω=2时，估计该市居民该月的人均水费．‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】（1）由频率和为1，求出a的值，根据众数的定义得出众数的值；‎ ‎（2）①根据题意得出月用水量在[0，2.5]内的频率为0.75，从而得出ω的值；‎ ‎②ω=2时，计算居民月用水量对应的该月人均水费即可．‎ ‎【解答】解：（1）由频率分布直方图可知每段内的频率是：‎ ‎[0，0.5]：0.04；（0.5，1]：0.08；（1，1.5]：0.15；‎ ‎ （1.5，2]：0.22； （2，2.5]：0.26； （2.5，3]：0.5a；‎ ‎（3，3.5]：0.06；（3.5，4]：0.04； （4.4.5]：0.02；‎ 则由0.04+0.08+0.15+0.22+0.26+0.5a+0.06+0.04+0.02=1，‎ 解得a=0.26，…‎ 众数为[2，2.5]的中点值2.25；…‎ ‎（2）①由（1）可知月用水量在[0，2.5]内的频率为 ‎0.04+0.08+0.15+0.22+0.26=0.75，‎ ‎∴ω的值至少为1.25；…‎ ‎②若ω=2，‎ 当居民月用水量在[0，2]时，居民该月的人均水费为：‎ ‎（0.04×0.5+0.08×1+0.15×1.5+0.22×2）×2=1.53；…‎ 当居民月用水量在（2，2.5]时，居民该月的人均水费为：（2×2+0.5×4）×0.26=1.56，‎ 当居民月用水量在（2.5，3]时，居民该月的人均水费为：（2×2+1×4）×0.13=1.04，‎ 当居民月用水量在（3，3.5]时，居民该月的人均水费为：（2×2+1.5×4）×0.06=0.6，‎ 当居民月用水量在（3.5，4]时，居民该月的人均水费为：（2×2+2×4）×0.04=0.48；…‎ 当居民月用水量在（4，4.5]时，居民该月的人均水费为：（2×2+2×4+0.5×10）×0.02=0.34；…‎ ‎∴居民月人均水费为1.53+1.56+1.04+0.6+0.48+0.34=5.55元．…‎ ‎　‎ ‎20．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E，F分别为DC，AB的中点，将△DAE沿AE知折起，使得二面角D﹣AE﹣B的大小为120°．‎ ‎（1）求证：平面DCF⊥平面DCE；‎ ‎（2）求二面角E﹣DC﹣A的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）由已知AE⊥DE，AE⊥CE，则AE⊥面DCE，由此能证明平面DCF⊥平面DCE．‎ ‎（2）作EM⊥DC，连接AM，则AM⊥DC，∠AME即为所求二面角的平面角，由此能求出二面角E﹣DC﹣A的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）由已知AE⊥DE，AE⊥CE，DE∩CE=E，‎ ‎∴AE⊥面DCE，…‎ 又AE∥CF，∴CF⊥面DCE，CF⊂面DCF，‎ ‎∴平面DCF⊥平面DCE．…‎ 解：（2）∵AE⊥面DCE，‎ 作EM⊥DC，连接AM，则AM⊥DC，‎ ‎∴∠AME即为所求二面角的平面角，…‎ ‎∵AE⊥DE，AE⊥CE，∴∠DCE=120°，∴DC=，…‎ 在Et△AME中，AE=，ME=，‎ ‎∴cos∠AME=．‎ ‎∴二面角E﹣DC﹣A的余弦值为．…‎ ‎　‎ ‎21．平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率e=，过点F且垂直于x轴的直线被圆截得的弦长为1．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）记椭圆C的上、下顶点分别为A，B，设过点M（m，﹣2）（m≠0）的直线MA，MB与椭圆C分别交于点P，Q，求证：直线PQ必过一定点，并求该定点的坐标．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由离心率e=，可得a2=4b2，由过点F 垂直于x轴的直线被椭圆所截得弦长为1，可得=1，解出即可得出．‎ ‎（2）点M（m，﹣2），A（0，1），B（0，﹣1）．直线MA方程为：y=﹣x+1，直线MB方程为：y=﹣x﹣1．‎ 分别与椭圆=1联立方程组，可得： =0， =0，解得xP，xQ，可得yP，yQ．P，Q坐标．可得直线PQ方程，即可证明．‎ ‎【解答】（1）解：由离心率e=，可得a2=4b2，‎ ‎∵过点F 垂直于x轴的直线被椭圆所截得弦长为1，∴=1，‎ 解得b=1，a=4，‎ ‎∴椭圆C方程为=1．‎ ‎（2）证明：点M（m，﹣2），A（0，1），B（0，﹣1）．‎ 直线MA方程为：y=﹣x+1，‎ 直线MB方程为：y=﹣x﹣1．‎ 分别与椭圆=1联立方程组，可得： =0， =0，‎ 解得xP=，xQ=，‎ 可得：yP=﹣xP+1=，同理可得yQ=．‎ ‎∴P，Q．‎ 直线PQ的斜率k=，‎ 则直线PQ方程为：y﹣=．‎ 化简可得直线PQ的方程为：y═x﹣．‎ ‎∴直线PQ恒过定点．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=ax2﹣alnx+x．‎ ‎（1）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）若a＜0，设g（x）=f（x）﹣x，h（x）=﹣2xlnx+2x，若对任意x1，x2∈[1，+∞）（x1≠x2），|g（x2）﹣g（x1）|≥|h（x2）﹣h（x1）|恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，令F（x）=g（x）﹣h（x）=ax2﹣alnx+2xlnx﹣2x，求出函数的导数，令G（x）=ax﹣+2lnx，根据函数的单调性求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）=ax﹣+1=，‎ 令t（x）=ax2+x﹣a，当a＞0时，令g（x）=0，‎ 解得：x1=＞0，x2=＜0，‎ 所以f（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，+∞）上单调递增．‎ ‎（2）g′（x）=ax﹣=，‎ 因为a＜0，当x≥1时，g′（x）≤0，g（x）在[1，+∞）单调减；‎ h′（x）=﹣2lnx，当x≥1时，h′（x）≤0，h（x）在[1，+∞）单调减．‎ 因为对任意x1，x2∈[1，+∞），|g（x2）﹣g（x1）|≥|h（x2）﹣h（x1）|，‎ 不防设x1＜x2，则由两函数的单调性可得：‎ g（x1）﹣g（x2）≥h（x1）﹣h（x2），‎ 所以：g（x1）﹣h（x1）≥g（x2）﹣h（x2）对任意x1＜x2∈[1，+∞）恒成立；‎ 令F（x）=g（x）﹣h（x）=ax2﹣alnx+2xlnx﹣2x，‎ 则F（x1）≥F（x2）对任意x1＜x2∈[1，+∞）恒成立；‎ 即：y=F（x）在x∈[1，+∞）上单调减，‎ 即：F′（x）=ax﹣+2lnx≤0在x∈[1，+∞）上恒成立，‎ 令G（x）=ax﹣+2lnx，G′（x）=，‎ 当a≤﹣1时，ax2+2x+a≤0在x∈[1，+∞）恒成立，所以G′（x）≤0，‎ G（x）在[1，+∞）单调减，‎ 所以G（x）≤G（1）=0，满足题意，‎ 当﹣1＜a＜0时，G（x）有两个极值点x1，x2且x1=＞1，x2=＜1，‎ 所以在（1，x1）上，G（x）单调增，即：G（x）＞G（1）=0对任意x∈（1，x1）上恒成立，不满足题意，舍！‎ 综上所述：当a≤﹣1时，不等式|g（x2）﹣g（x1）|≥|h（x2）﹣h（x1）|在x1，x2∈[1，+∞）恒成立．‎ ‎　‎ ‎2016年12月17日