专题6-4 数列求和（练）-2018年高考数学（理）一轮复习讲练测

专题6-4 数列求和（练）-2018年高考数学（理）一轮复习讲练测

全品教学网 2018 年高考数学讲练测【新课标版理】【练】【来.源：全, 品…中&高*考*网】第六章 数列 第 04 节 数列求和 A 基础巩固训练 1．在等差数列 中， = ,则数列 的前 11 项和 =（ ）． A．24 B．48 C．66 D．132 【答案】D 2．【河南省郑州市第一中学 2017-2018 上期高三理科数学一轮复习】已知正项等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 的最小值为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】C 【 解 析 】 由 题 意 可 得 ： ， 由 可 得 ， 由等比数列的性质可得： 成等比数列， 则： ，综上可得： ， 当且仅当 时等号成立. 综上可得，则 的最小值为 20. 本题选择 C 选项. 3．【南宁二中、柳州高中 2018 届高三 9 月份两校联考】已知数列 2008，2009，1，-2008，… { }na 9a 12 1 62 a + { }na 11S { }na n nS 8 42 5S S− = 9 10 11 12a a a a+ + + 9 10 11 12 12 8a a a a S S+ + + = − 8 42 5S S− = 8 4 4 5S S S− = + 4 8 4 12 8, ,S S S S S− − ( ) ( )2 4 12 8 8 4S S S S S− = − ( )2 4 9 10 11 12 12 8 4 4 4 4 4 5 25 2510 2 10 20Sa a a a S S S SS S S ++ + + = − = = + + ≥ × + = 4 5S = 9 10 11 12a a a a+ + + 若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 2018 项之和 __________. 【答案】4017【来.源：全,品…中&高*考*网】 4．【浙江省丽水市 2017 届高三下学期质量水平测试】已知数列 的相邻两项 是 关于 的方程 的两实根，且 . （1）求 的值； （2）求证：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式. 【答案】（1） ， ， （2）证明见解析， 【解析】试题分析： (1)由题中所给的递推关系可得 ， ， . (2) 由 题 意 可 得 数 列 是 首 项 为 ， 公 比 为 -1 的 等 比 数 列 . 则 . 试题解析： （1）解：∵ 是关于 的方程 的两实根， ∴ ，因为 ，所以 ， ， . （2）∵ ， 2018S = { }na 1,n na a + x ( )2 *2 0n nx x b n N− + = ∈ 1 1a = 2 3 4, ,a a a 1 23 n na − ×   { }na 2 1a = 3 3a = 4 5a = ( )1 2 13 nn na  = − −  2 1a = 3 3a = 4 5a = 1 23 n na − ×   1 3 ( )1 2 13 nn na  = − −  1,n na a + x ( )2 *2 0n nx x b n N− + = ∈ 1 1 2{ n n n n n n a a b a a + + + = = 1 1a = 2 1a = 3 3a = 4 5a = 1 1 1 11 1 22 2 2 33 3 11 1 12 2 23 3 3 nn n n nn n n n n n n n aa a a a a + + +  − − ×− × − − ×   = = = − − × − × − × 故数列 是首项为 ，公比为-1 的等比数列. 所以 ，即 . 5 ．【安 徽 省 蚌 埠 市 第 二 中 学 2018 届 高 三 7 月 月 考 】 已 知 数 列 满 足 ， . (1)求数列 的通项公式； (2)证明： . 【答案】（1） ；(2)证明过程见解析 试题解析：（1）∵ . ∴ ，∴ 是以 为首项，2 为公比的等比数列. ∴ ，即 .【来.源：全,品…中&高*考*网】 (2)证明：∵ ， ， ∴ . 1 23 n na − ×   1 2 1 3 3a − = ( ) 11 12 13 3 nn na −− × = × − ( )1 2 13 nn na  = − −  B 能力提升训练 1．已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且 ，则使得 为整数的正整数 的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 2．【河南省洛阳市 2018 届高三上学期尖子生第一次联考】已知数列 满足 ，其中 ，若 对 恒成立，则 实数 的取值范围为__________． 【答案】 【解析】由 得： ，令 ，则 的 奇数项和偶数项分别成首项为 ，且公差为 的等差数列，所以 ， , ，故 ， ， ，因为 对 恒成立，所以 恒成立，同时 恒成立，即 恒成立， 当 时， ，而 时 ，所以 即可，当 时， 恒成立，综上 ，故填 ． { }na { }nb n n Α n Β 7 45 3 n n n n Α +=Β + n n a b n 3 4 5 6 { }na ( ) ( )2 2 2 2n nna n a n nλ+ − + = + 1 21, 2a a= = 1n na a +< *n N∀ ∈ λ [ )0,+∞ ( ) ( )2 2 2 2n nna n a n nλ+ − + = + 2 2 n na a n n λ+ − =+ n n ab n = { }nb 1 λ ( )2 1 1 1kb k λ− = + − ( )2 1+ 1kb k λ= − *k N∈ ( )( )2 1 2 1 2 1 1ka k k k λ− = − + − − ( )2 2 2 1ka k k k λ= + − *k N∈ 1n na a +< *n N∀ ∈ ( )( ) ( )2 1 22 1 2 1 1 2 2 1k ka k k k a k k kλ λ− = − + − − < = + − ( ) ( )( )2 2 +12 2 1 2 +1 2 +1 1k ka k k k a k k kλ λ= + − < = + − ( )1 1k λ− < − 1k > 1 1k λ− <− k → +∞ 1 01k − →− 0λ ≥ 1k = ( )1 1k λ− < − 0λ ≥ [ )0,+∞ 3．【湖北省襄阳四中 2018 届高三 8 月月考】用 表示自然数 的所有因数中最大的那 个奇数，例如:9 的因数有 1,3,9，则 的因数有 1,2,5,10， ，那么 __________. 【答案】 【解析】由 g（n）的定义易知 g（n）=g（2n），且若 n 为奇数则 g（n）=n 令 f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n-1） 则 f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2n+1-1）【来.源：全,品…中&高*考*网】 =1+3+…+（2n+1-1）+g（2）+g（4）+…+g（2n+1-2） = +g（1）+g（2）+…+g（2n+1-2） =4n+f（n） 即 f（n+1）-f（n）=4n，据此可得： ， 以上各式相加可得： . 4 ．【 2016 届 山 西 省 安 康 市 高 三 联 考 】 已 知 为 数 列 前 项 和 , 若 ,且 ,则 ． 【答案】5 【解析】 试题分析： ； ； ； ； 所以 ； ， ( )g n n ( )9 9,10g = ( )10 5g = ( ) ( ) ( )1 2 2 1ng g g+ + + − = 4 1 3 n − [ ]2 1 2 1 1 2 n n+ + −（ ） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1, 2 1 4, 3 2 8, , 1 4 4f f f f f f n f n n= − = − = − − = − ( ) ( )1 1 4 4 1 1 4 3 n n f n × − −= =− nS { }na n ( )2 sin 2 cos2n na n n π π + = +   2 4nS an bn= + a b− = +4 ( ) 3nn k k N a n= ∈ =时, 2 +4 1( ) nn k k N a n= − ∈ =时, +4 2( ) 3nn k k N a n= − ∈ =时, 2 +4 3( ) nn k k N a n= − ∈ =时, 3 4 1 3 3 63S a b= + + + = + 8 1 53 3 6 9 7 12 4 23 3S a b= + + + + + + + = + 解得 5．【四川省树德中学 2016 届高考适应性测试】已知数列 的前 项和为 ，点 在抛物线 上，各项都为正数的等比数列 满足 ． （Ⅰ）求数列 ， 的通项公式； （Ⅱ）记 ,求数列 的前 n 项和 ． 【答案】（1） （2） C 思维拓展训练 1．已知函数 的图像在点 A(l,f(1))处的切线 l 与直线 x 十 3y＋2＝0 垂直，若数 列 的前 n 项和为 ，则 的值为 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由函数 的导数可得 ，又因为图像在点 A(l,f(1))处的切 线 l 与直线 x 十 3y＋2＝0 垂直.所以 ，解得 .所以 .所以数列 的通项公式为 .所以前 2013 26 11, , 5.3 3a b a b= = − = { }na n nS ( ), nn S 23 1 2 2y x x= + { }nb 2 4 1 1,4 16b b= = { }na { }nb n nn a aC a b= + { }nC nT 3 1,na n= − 1 2 n nb  =    ( )9 12 2 7 8 2 7n n n nT += − + +⋅ 2( )f x x ax= − 1{ }( )f n nS 2013S 2010 2011 2011 2012 2012 2013 2013 2014 2( )f x x ax= − '( ) 2f x x a= − '(1) 2 3f a= − = 1a = − 2( ) ( 1)f x x x x x= + = + 1{ }( )f n 1 1 1 ( 1) 1n n n n = −+ + 项和为 .故选 D. 2．【四川省成都七中 2018 届高三上学期入学考试】设等差数列 的前 项和为 ，且 （ 是常数， ）， ，又 ，数列 的前 项和 为 ，若 对 恒成立，则正整数 的最大值是__________. 【答案】2 【解析】∵ ， 当 n=1 时, ， 解得 a1=2c， 当 n=2 时,S2=a2+a2−c， 即 a1+a2=a2+a2−c，【来.源：全,品…中&高*考*网】 解得 a2=3c，∴3c=6， 解得 c=2. 则 a1=4,数列{an}的公差 d=a2−a1=2， ∴an=a1+(n−1)d=2n+2. ∵ 错位相减可得： , 则 ∴数列{Tn}单调递增,T1 最小,最小值为 ， ∴ ， ∴m<3， 故正整数 m 的最大值为 2. 3.【云南省昆明市 2017 届高三下学期第二次统测】在平面直角坐标系上，有一点列 ，设点 的坐标 ，其中 ，过点 的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 ，设 表示数列 的前 项和，则 __________． 2013 1 1 1 1 1 1 20131 12 2 3 2013 2014 2014 2014S = − + − +⋅⋅⋅+ − = − = { }na n nS 1 2n n n cS na a −= + c *n N∈ 2 6a = 1 2 2 n n n ab + −= { }nb n nT 2 2nT m> − *n N∈ m 1 2n n n cS na a −= + 1 1 1 1 2S a a c= + − 1 1 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n a n nb + + − + −= = = 22 2n n nT += − 1 1 1 2 1 2 12 2 02 2 2n n n n n n n nT T+ + + + + + +   − = − − − = >       1 2 12 22 m× > − ( )* 1 2 1, ,..., , ,... Nn nP P P P n− ∈ nP ( ), nn a ( )*2 Nna nn = ∈ 1,n nP P + nb nS { }nb n 5S = 【答案】 4．【2017 届广西南宁市金伦中学高三上学期期末考试】已知各项均为正数的数列 的的 前 项和为 ，对 ，有 ． （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）令 ，设 的前 项和为 ，求证： ． 【答案】（I） ;（Ⅱ）证明过程见解析； 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用 整理得 ,进而计算可得结 论；（Ⅱ）通过分母有理化可知 ，并项相加即得结论．. 试题解析：（I）当 时， ，得 或 （舍去）． 当 时， ， ，两式相减得 ， 所以数列 是以 1 为首相，1 为公差的等差数列， ． （Ⅱ） 125 6 { }na n nS *n N∀ ∈ 22 n n nS a a= + { }na 1 1 1 n n n n n b a a a a+ + = + { }nb n nT 1nT < *,na n n N= ∈ 1 12 2 2n n na S S+ += − 1 1n na a+ − = 1 1 1nb n n = − + 1n = 1 2 1 12a a a= + 1 1a = 0 2n ≥ 22 n n nS a a= + 2 1 1 12 n n nS a a− − −= + ( )1 1 2n na a n−− = ≥ { }na *,na n n N= ∈ ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1 1n n n n n b a a a a n n n n n n n n+ + = = = + + + + + + ( ) ( )( ) ( ) ( ) 11 1 1 11 1 1 1 n nn n n nn n n n n n n n + −+ −= = = − ++ + + + − + 5．【广东省揭阳市惠来县第一中学 2018 届高三上学期第一次阶段考试】记 为差数列 的前 n 项和，已知 ， . (1)求 的通项公式； (2)令 ， ，若 对一切 成立，求实数 的最大值. 【答案】（1） （2）2 【解析】试题分析：（1）根据等差数列通项公式将条件转化为关于首项与公差的方程组,解 方程组可得首项与公差的值,再代入通项公式即得 的通项公式；（2）因为 ，所以利用裂项相消法可得 ,再根 据 最小值得 ，即得实数 的最大值. (2) ， ， 1 2 3 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 1n nT b b b b n n       = + + + = − + − + − + + −       +         11 1 1n = − < + nS { }na 1 13 26a a+ = 9 81S = { }na 1 2 1 n n n b a a+ + = 1 2n nT b b b= + + + 30 0nT m− ≥ *n N∈ m ( )*2 1na n n N= − ∈ { }na ( )( )1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 3 2 2 1 2 3n n n b a a n n n n+ +  = = = − + + + +  nT 30 nm T≤ 2m ≤ m ( )( )1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 3 2 2 1 2 3n n n b a a n n n n+ +  = = = − + + + +  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 5 7 2 1 2 3 2 3 2 3nT n n n    ∴ = − + − + + − = −   + + +    随着 增大而增大， 是递增数列， ， ， ∴实数 的最大值为 2. 1 1 1 2 3 2 3n  − +  n { }nT∴ 1 1 1 1 2 3 5 15nT  ≥ − =   2m∴ ≤ m