2020届二轮复习（文）数形结合思想课件（41张）

2020届二轮复习（文）数形结合思想课件（41张）

二、数形结合思想 总纲目录 应用一    数形结合思想在解决方程的根或函数零点问题中的应用 应用二    数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用 应用三    数形结合思想在向量中的应用 应用四    数形结合思想在解析几何中的应用 应用一    数形结合思想在解决方程的根或函数零点问题中的应用 例1     (2019天津,8,5分)已知函数 f ( x )=   若关于 x 的方程 f ( x )=-   x + a ( a ∈R)恰有两个互异的实数解,则 a 的取值范围为   (　　) A.   　    B.   C.   ∪ {1}　    D.   ∪ {1} D 答案    D　 画出函数 y = f ( x )的图象,如图.   方程 f ( x )=-   x + a 的解的个数,即为函数 y = f ( x )的图象与直线 l : y =-   x + a 的公共点 的个数. 当直线 l 经过点 A 时,有2=-   × 1+ a , a =   ; 当直线 l 经过点 B 时,有1=-   × 1+ a , a =   . 由图可知, a ∈   时,函数 y = f ( x )的图象与 l 恰有两个交点. 另外,当直线 l 与曲线 y =   , x >1相切时,恰有两个公共点, 此时 a >0. 联立   得   =-   x + a ,即   x 2 - ax +1=0, 由 Δ = a 2 -4 ×   × 1=0,得 a =1(舍去负根). 综上, a ∈   ∪ {1}.故选D. 方法指导 利用数形结合思想探究方程解的问题的关注点 (1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数,使问题转化为讨论两 图象的交点问题,但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性, 否则会得到错解. (2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键,数形结合应以快和准为 原则,不要刻意去用数形结合. 1 .(2019全国名校模拟示范卷二,12)已知函数 f ( x )是定义在R上的偶函数,且 f (- x -1)= f ( x -1),当 x ∈[-1,0]时, f ( x )=- x 3 ,则关于 x 的方程 f ( x )=|cos π x |在   上的所 有实数解之和为   (　　) A.-7　    B.-6 C.-3　    D.-1 A 答案    A 　因为函数 f ( x )为偶函数,所以 f (- x -1)= f ( x +1)= f ( x -1),所以函数 f ( x )的周 期为2,又当 x ∈[-1,0]时, f ( x )=- x 3 ,由此在同一平面直角坐标系内作出函数 y = f ( x ) 与 y =|cos π x |的图象如图所示.由图知关于 x 的方程 f ( x )=|cos π x |在   上的实 数解有7个.不妨设 x 1 < x 2 < x 3 < x 4 < x 5 < x 6 < x 7 ,则由图可得 x 1 + x 2 =-4, x 3 + x 5 =-2, x 4 =-1, x 6 + x 7 =0,所以方程 f ( x )=|cos π x |在   上的所有实数解的和为-4-2-1+0=-7,故选A.   2 .设 a , b , c 分别是方程 x +3=lo   x ,   =lo   x ,   = x +3的实数根,则有   (　　) A. a < b < c B. c < b < a C. b < a < c D. c < a < b D 答案    D 　先分别作出函数 y =   、 y =lo   x 、 y = x +3的图象,再观察图象间的 交点的横坐标即可得解,由图知 c < a < b ,故选D.   应用二    数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用 例2 　(1)(2019天津理,8,5分)已知 a ∈R.设函数 f ( x )=   若关于 x 的 不等式 f ( x ) ≥ 0在R上恒成立,则 a 的取值范围为   (　　) A.[0,1]　    B.[0,2] C.[0,e]　    D.[1,e] C (2)(2019辽宁五校协作体二模,12)已知函数 f ( x )=   其中 m <-1,对于 任意 x 1 ∈R且 x 1 ≠ 0,均存在唯一实数 x 2 ,使得 f ( x 2 )= f ( x 1 ),且 x 1 ≠ x 2 ,若| f ( x )|= f ( m )有4 个不相等的实数根,则 a 的取值范围是   (　　) A.(0,1)　    B.(-1,0) C.(-2,-1) ∪ (-1,0)　    D.(-2,-1) D 答案　 (1) C 　①当 x ≤ 1时, f ( x )= x 2 -2 ax +2 a =( x - a ) 2 +2 a - a 2 . 若 a >1,则 f ( x )在(- ∞ ,1]上是减函数,∴ f ( x ) ≥ f (1)=1>0恒成立;若 a ≤ 1,则 f ( x ) ≥ f ( a ) =2 a - a 2 ,要使 f ( x ) ≥ 0在(- ∞ ,1]上恒成立,只需2 a - a 2 ≥ 0,得0 ≤ a ≤ 2,∴0 ≤ a ≤ 1,综 上可知, a ≥ 0时, f ( x ) ≥ 0在(- ∞ ,1]上恒成立. ②当 x >1时,ln x >0, f ( x )= x - a ln x ≥ 0恒成立, 即 a ≤   恒成立. 令 g ( x )=   ,则 g '( x )=   ,令 g '( x )=0,得 x =e,当 x ∈(1,e)时, g '( x )<0, g ( x )为减函数, 当 x ∈(e,+ ∞ )时, g '( x )>0, g ( x )为增函数,∴ g ( x ) min = g (e)=e,∴ a ≤ e. 综合①②可知, a 的取值范围是0 ≤ a ≤ e,故选C. (2)D　当 a =0时,显然不符合题意;当 a ≠ 0时,函数 y =e x + m -1( x ≥ 0)和函数 y = ax + b ( x <0)都是定义域内的单调函数,且函数 y =e x + m -1( x ≥ 0)的值域为[ m ,+ ∞ ),则由 题意得函数 y = ax + b ( x <0)的值域为( m ,+ ∞ ),所以   则函数 f ( x )=   即 f ( x )=   的值域为[ m ,+ ∞ ),| f ( x )|的大致图象如图所示, 由函数图象易得要使方程| f ( x )|= f ( m )有4个不相等的实数根,则   即   又因为 m <-1,所以-2< a <-1,故选D.   方法指导 利用数形结合思想解不等式或求参数范围问题的技巧 解不等式或求参数范围问题时经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点, 选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化为 数量关系来解决问题. 1 .若不等式   ≤ k ( x +2)-   的解集为区间[ a , b ],且 b - a =2,则 k = 　　　     . 答案        解析 　如图,分别作出直线 y = k ( x +2)-   与半圆 y =   .   由题意,直线在半圆的上方,且 b - a =2,可知 b =3, a =1,所以直线 y = k ( x +2)-   过点 (1,2   ),则 k =   . 2 .若不等式| x -2 a | ≥   x + a -1对 x ∈R恒成立,则 a 的取值范围是 　　　     . 答案        解析 　作出 y =| x -2 a |和 y =   x + a -1的简图,易知应有2 a ≤ 2-2 a ,故 a ≤   .   应用三    数形结合思想在向量中的应用 例3 　(1)(2017课标全国Ⅱ理,12,5分)已知△ ABC 是边长为2的等边三角形, P 为 平面 ABC 内一点,则   ·(   +   )的最小值是   (　　) A.-2　    B.-   　    C.-   　    D.-1 (2)已知 a , b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足( a - c )·( b - c )=0,则| c | = 　　　     . B 解析 　(1)B　取 BC 的中点 O ,以 BC 边所在直线为 x 轴, BC 的垂直平分线 AO 为 y 轴, O 为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示,则 A (0,   ), B (-1,0), C (1,0),设 P ( x , y ),则   =(- x ,   - y ),   =(-1- x ,- y ),   =(1- x ,- y ),   所以   +   =(-2 x ,-2 y ),   ·(   +   )=2 x 2 -2 y (   - y )=2 x 2 +2   -   ≥ -   , 当 x =0, y =   ,即 P   时,   ·(   +   )取得最小值,最小值为-   . (2) 答案        解析　 因为( a - c )·( b - c )=0,所以( a - c )⊥( b - c ).设   = c ,   = a ,   = b ,如图所示,   则   = a - c ,   = b - c ,   ⊥   ,又   ⊥   ,所以 O , A , C , B 四点共圆. 当且仅当 OC 为圆的直径时,| c |最大,且最大值为   . 方法指导 利用数形结合思想解决平面向量问题的关注点 (1)在解答平面向量问题时,根据题目条件建立相应的平面直角坐标系. (2)利用平面向量的坐标,结合向量的坐标运算、数量积公式等求解,具有很 强的操作性,解答过程流畅,解题方法巧妙. 1 .已知   ⊥   ,|   |=   ,|   |= t ,若点 P 是△ ABC 所在平面内一点,且   =   +   ,则   ·   的最大值等于   (　　) A.13　    B.15　    C.19　    D.21 A 答案    A 　以 A 点为坐标原点,   ,   的方向分别为 x 轴, y 轴的正方向建立平 面直角坐标系,如图所示.   则有 A (0,0), B   , C (0, t ), t >0. 由   =   +   可知 P (1,4), 那么   =   ,   =(-1, t -4), 故   ·   =   ·(-1, t -4)=-   -4 t +17 ≤ -2   +17=13,当且仅当   =4 t ,即 t =   时 等号成立,故选A. 2 .已知平面向量 a , b 满足| a |=1,| b |=2,| a - b |=   ,若对于任意实数 k ,不等式| ka + tb |>1 恒成立,则实数 t 的取值范围是   (　　) A.(- ∞ ,-   ) ∪ (   ,+ ∞ ) B.   ∪   C.(   ,+ ∞ ) D.   B 答案    B 　由| a |=1,| b |=2,| a - b |=   ,得 a · b =-1, 因为对于任意实数 k ,不等式| ka + tb |>1恒成立, 即对于任意实数 k ,不等式 k 2 a 2 +2 kta · b + t 2 b 2 >1恒成立, 即对于任意实数 k ,不等式 k 2 -2 tk +4 t 2 -1>0恒成立, 则有 Δ =4 t 2 -4(4 t 2 -1)<0, 解得 t <-   或 t >   ,故选B. 应用四    数形结合思想在解析几何中的应用 例4 　(1)已知圆 C :( x -3) 2 +( y -4) 2 =1和两点 A (- m ,0), B ( m ,0)( m >0).若圆 C 上存在 点 P ,使得∠ APB =90 ° ,则 m 的最大值为 　　　     . (2)已知抛物线 x 2 =8 y , F 是其焦点,点 A (-2,4),在此抛物线上求一点 P ,使△ APF 的 周长最小,此时点 P 的坐标为 　　　     . (1) 答案 　6 解析　 根据题意,画出示意图,如图所示,则圆心 C 的坐标为(3,4),半径 r =1,且| AB |=2 m ,因为∠ APB =90 ° ,连接 OP ,易知| OP |=   | AB |= m .   要求 m 的最大值,即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离.因为| OC |=   =5, 所以| OP | max =| OC |+ r =6,即 m 的最大值为6. (2) 答案        解析 　因为(-2) 2 <8 × 4,所以点 A (-2,4)在抛物线 x 2 =8 y 的内部,如图,设抛物线的 准线为 l ,过点 P 作 PQ ⊥ l 于点 Q ,过点 A 作 AB ⊥ l 于点 B ,连接 AQ ,   由抛物线的定义可知△ APF 的周长为 | PF |+| PA |+| AF |=| PQ |+| PA |+| AF | ≥ | AQ |+| AF | ≥ | AB |+| AF |, 当且仅当 P , B , A 三点共线时 ,△ APF 的周长取得最小值 , 即 | AB |+ | AF |.因为 A (-2,4),所以不妨设△ APF 的周长最小时,点 P 的坐标为(-2, y 0 ),代入 x 2 =8 y ,得 y 0 =   ,故使△ APF 的周长最小的抛物线上的点 P 的坐标为   . 方法指导 数形结合思想在解析几何中的解题策略 (1)数形结合思想中一个非常重要的方面是以数解形,通过方程等代数方法来 研究几何问题,也就是解析法,解析法与几何法结合来解题,会有更大的功效. (2)此类题目的求解要结合该曲线的定义及几何性质,将条件信息和结论信息 结合在一起,观察图形特征,转化为代数语言,即方程(组)或不等式(组),从而将 问题解决. 1 .设双曲线 C :   -   =1( a >0, b >0)的左焦点为 F ,直线4 x -3 y +20=0过点 F 且与双 曲线 C 在第二象限的交点为 P , O 为原点,| OP |=| OF |,则双曲线 C 的离心率为   (　　) A.5　    B.   C.   　    D.   A 答案    A 　根据直线4 x -3 y +20=0与 x 轴的交点 F 的坐标为(-5,0),可知半焦距 c = 5.设双曲线 C 的右焦点为 F 2 ,连接 PF 2 ,根据| OF 2 |=| OF |且| OP |=| OF |可得,△ PFF 2 为直角三角形. 如图,过点 O 作 OA 垂直于直线4 x -3 y +20=0,垂足为 A ,则易知 OA 为△ PFF 2 的中 位线. 又原点 O 到直线4 x -3 y +20=0的距离 d =4,所以| PF 2 |=2 d =8,| PF |=   =6, 故结合双曲线的定义可知| PF 2 |-| PF |=2 a =2,所以 a =1,故 e =   =5.故选A.   2 .已知 P 是直线 l :3 x +4 y +8=0上的动点, PA , PB 是圆 x 2 + y 2 -2 x -2 y +1=0的两条切线, A , B 是切点, C 是圆心,则四边形 PACB 面积的最小值为 　　　     . 答案 　2   解析　 从运动的观点看问题,当动点 P 沿直线3 x +4 y +8=0向左上方或右下方无 穷远处运动时,直角三角形 PAC 的面积 S △ PAC =   | PA |·| AC |=   | PA |越来越大,从而 S 四边形 PACB 也越来越大;当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时, S 四边形 PACB 变 小.显然,当点 P 到达一个最特殊的位置,即 CP 垂直于直线 l 时, S 四边形 PACB 应有唯一 的最小值,此时| PC |=   =3, 从而| PA |=   =2   . 所以( S 四边形 PACB ) min =2 ×   × | PA | × | AC |=2   .