数学理卷·2018届天津市耀华中学高三上学期第一次月考试题（解析版）

数学理卷·2018届天津市耀华中学高三上学期第一次月考试题（解析版）

天津市耀华中学2018届高三年级第一次月考 理科 数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.是虚数单位，复数等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意 故选A ‎2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间内是增函数的为( )‎ A. ， B. ，且 C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于A，令，则，所以在上为偶函数，而在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，故A错误；‎ 对于B，令，，且，同理可证为偶函数，当时，，为增函数，故B满足题意；‎ 对于C，令，，，为奇函数，故C错误；‎ 对于D，为非奇非偶函数，故D错误.‎ 故选B ‎3. 已知，，则等于 ( )‎ A. 5 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选B ‎4. 设函数，则不等式的解集为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】当时，即 ，故 ‎ ；‎ 当时，即 或 ，故 ；‎ 综上，不等式的解集为 故选C ‎5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点( )‎ A. 横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，所得图象再向左平移个单位 B. 横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，所得图象再向右平移个单位 C. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象向左平移个单位 D. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象向右平移个单位 ‎【答案】C ‎【解析】根据，令 ‎∵‎ ‎∴将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象 故选C ‎6. 已知函数的图象如下图，（其中是函数的导数)，下面四个图像中，的图象大致是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由函数的图象可知：‎ 当时，，，此时单调递增；‎ 当时，，，此时单调递减；‎ 当时，，，此时单调递减；‎ 当时，，，此时单调递增.‎ 综上所述，故选C ‎7. 以下4个结论：‎ ‎①若，则；‎ ‎②“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；‎ ‎③当时，方程有4个不等的实根；‎ ‎④设为偶函数，则函数的图象关于直线对称．‎ 其中正确结论的个数是( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于①，若，则，根据函数为减函数，可得，故①正确；对于②，若“命题为真”说明命题和命题有真命题存在，但命题“”不一定为真，反过来若命题“”为真，说明命题和命题都是真命题，必定有“命题为真”，故②正确；对于③，令，可以得到的图象如图所示：‎ ‎ ‎ 当时，由图象可得，与有四个不同的交点，故③正确；对于④，令，则，，显然与的图象关于直线，即对称，故④正确.‎ 故选D ‎8. 若，，，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为，所以，所以．因为，所以，所以，所以＝＋‎ ‎，故选C．‎ 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、两角差的余弦函数．‎ ‎【方法点睛】三角函数的化简与求值要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，常见的有“通分”“去根号”“降幂”等．‎ ‎9. 已知函数，，的零点分别为，则的大小关系为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵函数，，的零点分别为 ‎∴，，‎ 即，，‎ ‎∴根据函数图象可得，，，‎ ‎∴‎ 故选A ‎10. 设在内单调递增，，则是的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：，当时，恒成立，由于，当且仅当，即时等号成立，故对任意的，必有，即恒成立，不能得到，反过来，当时，必有成立，即在上成立，所以p不是q的充分条件，p是q的必要条件，及p是q的必要不充分条件，故选B.‎ 考点：充分必要条件 ‎【方法点睛】本题考查了利用导数解决函数恒成立问题，属于中档题型，根据求导后，基本不等式以及函数的单调性可求得恒成立，但不能说明，反过来成立，即小集合能推出大集合，但大集合推不出小集合，用集合的关系判断充分必要条件.‎ ‎11. 已知函数有唯一零点，则实数( )‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵函数有唯一零点 ‎∴有唯一解，即有唯一解，‎ 等价于的图象与的图象只有一个交点 当时，，此时有两个零点，不成立；‎ 当时，由在上单调递增，在上单调递减，且在上单调递增，在上单调递减 ‎∴函数的图象的最高点为，函数的图象的最高点为 ‎∵‎ ‎∴此时函数的图象与的图象有两个交点，不成立；‎ 当时，由在上单调递增，在上单调递减，且在上单调递减，在上单调递增 ‎∴函数的图象的最高点为，函数的图象的最低点为 ‎∵此时函数的图象与的图象只有一个交点 ‎∴，即 故选C 点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：现将参数分离，转化为函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.‎ ‎12. 已知函数定义域为，且函数的图像关于直线对称，当时，（其中是的导函数），若，，，则的大小关系为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：解：因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于轴对称，所以是上的偶函数；‎ 当时，，‎ 所以 ‎=(因为)‎ 所以在上为减函数，在上为增函数；‎ 又因为，，‎ 所以，‎ 所以，，故选B.‎ 考点：1、函数的奇偶性的应用；2、函数单调性判断及其应用；3、指数函数、对数函数的性质.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题：共8 个小题，每小题5分，共40分，将答案填写在答题纸上．‎ ‎13. 已知集合，，则集合__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵集合，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 故答案为 ‎14. 如图所示，曲线和直线及所围成的图形（阴影部分）的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意得曲线与的交点坐标为 ‎∵曲线和直线，，所围成的图形（阴影部分）的面积为 ‎∴围成的图形的面积为 故答案为 ‎15. 在中，内角的对边长分别为，已知，且，则_________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】∵‎ ‎∴根据正弦定理与余弦定理可得：，即 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 故答案为4‎ ‎16. 已知偶函数对任意满足，且当时，，则的值为__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】∵‎ ‎∴‎ ‎∵为偶函数 ‎∴‎ ‎∴，即函数的周期为4‎ ‎∴‎ ‎∵当时，‎ ‎∴‎ 故答案为1‎ ‎17. 定义在上的函数，当时，，则函数（）的所有零点之和等于__________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】∵‎ ‎∴函数关于对称 构造函数，当时，‎ ‎，则与在时的图象如图所示：‎ ‎∴根据图象可得，当时，与的图象有4个交点 ‎∴根据对称性，与的图象在时有8个交点.‎ 故答案为8‎ ‎18. 己知函数，关于的为等式对所有都成立，则实数的范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵‎ ‎∴在上为奇函数，即，且在上为单调递增 ‎∵关于的等式对所有都成立 ‎∴对所有都成立，即对所有都成立 ‎∴对所有都成立，即对所有都成立 令，，设 当即时，‎ ‎∴（舍）‎ 当即时，‎ ‎∴‎ 当即时，，即 ‎∴‎ ‎∴‎ 综上所述，‎ 故答案为 点睛：对于求值域范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的“”，转化为解不等式（组）的问题，若为偶函数，则 ‎19. 已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出的图象如图所示：‎ 当时，显然成立 当时，直线与相切，即，判别式为，解得或（舍），即有 ‎ ‎ 综上所述：‎ 故答案为 ‎20. 设实数，若对于任意，不等式恒成立，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵对于任意，不等式恒成立 ‎∴对于任意，‎ 设，，则 令，可得 ‎∵‎ ‎∴由指数函数和反比例函数在第一象限的图象可得和有且只有一个交点，设为 当时，，单调递增；当时，，单调递减 ‎∴在处取得极小值，且为最小值，即 令，可得，则当时，不等式恒成立 ‎∴的最小值为 故答案为 点睛：本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用，利用导数研究函数的极值与最值，着重考查了函数的构造思想、等价转化思想与导数在函数中的综合应用，本题的解答中把恒成立问题转化为求解函数的最值是解答的关键.‎ 三、解答题 （本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎21. 设函数，（）.‎ ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期及单调增区间；‎ ‎(Ⅱ) 当时，的最小值为O，求实数的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）的单调增区间为，，的最小正周期为；；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和的余弦公式、正弦公式化简解析式，由三角函数的周期公式求出的最小正周期，由正弦函数的增区间求出的单调增区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得在区间上单调递增，在区间上单调递减，然后比较与的大小，求出的最小值，列出方程，即可求解的值.‎ 试题解析：：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎，‎ 由，得，‎ 则的单调增区间为 ，的最小正周期为； ‎ ‎（Ⅱ）∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，，，，∴．‎ ‎22. 如图，多面体中，两两垂直，且，，，‎ ‎. ‎ ‎(Ⅰ) 若点在线段上，且，求证: 平面；‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成的角的正弦值；‎ ‎(Ⅲ)求锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）分别取的中点，连接，由已知条件推导出四边形是平行四边形，从而得到，即可证明平面；（Ⅱ）以点为原点，分别以所在直线为轴， 轴，轴建立空间直角坐标系，利用法向量即可求出直线与平面所成的角的正弦值；（Ⅲ）分别求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法即可求出二面角的余弦值.‎ 试题解析：（Ⅰ）分别取的中点，连接，则有，.‎ ‎∵，∴，又∵，∴，‎ ‎∴四边形是平行四边形， ∴，‎ 又∵平面，平面，∴平面；‎ ‎（Ⅱ）如图，以点为原点，分别以所在直线为轴， 轴，轴建立空间直角坐标系.则 ，‎ ‎，，，‎ 设平面的一个法向量，则有 ‎，化简，得，‎ 令，得，‎ 设直线与平面所成的角为，则有，‎ ‎∴直线与平面所成的角的正弦值为；‎ ‎（Ⅲ）由已知平面的法向量，，‎ 设平面的一个法向量，则有 ‎∴，∴，令，则，‎ 设锐二面角的平面角为，‎ 则 ，‎ ‎∴锐二面角的余弦值为.‎ ‎23. 已知椭圆的两个焦点分别为，且椭圆经过点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由题设条件结合椭圆的定义与性质直接求出，的值，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）先讨论直线斜率不存在的情况，求出点的坐标，再根据斜率存在设过点的直线的方程，设与椭圆交于两点的坐标，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，得到关于的一元二次方程，由于两曲线交于两点，故判断式大于0且可利用根与系数的关系建立两点的坐标与直线的斜率的等量关系，再设出点的坐标，用两点的坐标表示出，然后综合计算即可求得点的轨迹方程.‎ 试题解析：（Ⅰ）∵ ，∴．‎ 又由已知，所以椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设点的坐标为.‎ ‎（1）当直线与轴垂直时，直线与椭圆交于两点，此时点坐标为 ‎（2）当直线与轴不垂直时，设直线的方程为.‎ ‎∵在直线上，∴设点的坐标分别为，则 ‎，.又.‎ 由，得，‎ 即 ①‎ 将代入中，得 ②‎ 由，得.‎ 由②知，，，‎ 代入①中并化简，得 ③‎ ‎∵点在直线上，‎ ‎∴，代入③中并化简，得.‎ 由③及，可知，即.‎ 又满足，故.‎ 由题意，在椭圆内部，所以，又由有 且，则.‎ 所以点的轨迹方程是，其中，，‎ 点睛：求轨迹方程的常见方法有：（1）直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.解题时要注意解题技巧的运用，如常用的“设而不求”、“整体代换”的方法，以简化计算.‎ ‎24. 设函数.‎ ‎(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)若函数有两个极值点，且，求证: ；‎ ‎(Ⅲ)设，对于任意，总存在，使成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）的递增区间为，递减区间为；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，求导数，分别令和，即可求出的单调区间；（Ⅱ）根据函数由两个极值点，则是方程的两个不相等的实根，结合韦达定理，可得，构造新函数，求出其单调性，即可得证；（Ⅲ）根据题意写出的表达式，求出在上的单调性，可得的最大值，列出不等式，构造新函数 ，分类讨论，确定单调性，即可求出的取值范围.‎ 试题解析： ‎ ‎（Ⅰ）当时，，当时或，‎ 时，∴的递增区间为，递减区间为 ‎（Ⅱ）函数有两个极值点，则是方程的两个不相等的实根，所以，，即，，所以 ‎ ，().‎ 令，()，则 所以在上单调递减. ，即.‎ ‎（Ⅲ）∵ ‎ ‎∴ ，‎ ‎∵，‎ ‎∴，在上单调递增，‎ ‎∴ ，‎ ‎∵ 在上恒成立 令 ，，则在上恒成立．‎ ‎ ‎ 当时，，在上单调递减，，不合题意；‎ 当时，，，‎ ‎（1），即时，在上单调递减，存在不合题意；‎ ‎（2），即时，在上单调递增，，满足题意．‎ 综上，实数的取值范围是．‎ 点睛：（1）求函数的单调区间，可求导，令导数大于、小于零，再结合定义域，可得单调区间；（2）证明不等式恒成立的问题，一种方法可以分离参数，转化为函数的最值问题，另一种方法是结合题设条件，构造函数，求函数的最值.‎ ‎ ‎