【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第十章第一讲 椭圆学案
第十章 圆锥曲线与方程
第一讲 椭 圆
1.[2020山西大同高三调研]在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F 1,F 2在x轴上,离心率为22,过F 1的直线l交C于A,B两点,且△ABF 2的周长为16,那么C的方程为( )
A.x236+y218=1 B.x216+y210=1C.x24+y22=1 D.x216+y28=1
2.[2020湖北省宜昌一中模拟]椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点为F 1( - c,0),F 2(c,0),M是椭圆上的一点,且满足F1M·F2M=0,则椭圆的离心率的取值范围为( )
A.(0,22] B.(0,22) C.(22,1) D.[22,1)
3.[2020江西抚州高三第一次联考]已知点P是椭圆x216+y28=1上非顶点的动点,F 1,F 2分别是椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,若M为∠F 1PF 2的平分线上一点,且F1M·MP=0,则|OM|的取值范围为( )
A.(0,3] B.(0,22] C.(0,3) D.(0,22)
4.[2018全国卷Ⅱ,12,5分][理]已知F 1,F 2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P=120°,则C的离心率为( )
A.23 B.12 C.13 D.14
5.[2019沈阳高三质量监测]已知椭圆的方程为x29+y24=1,过椭圆中心的直线交椭圆于A,B两点,F 2是椭圆的右焦点,则△ABF 2的周长的最小值为 ,△ABF 2的面积的最大值为 .
6.[2020云南师大附中高三模拟]设F 1,F 2为椭圆C:x24+y2=1的两个焦点,M为C上一点,且△MF 1F 2的内心I的纵坐标为2 - 3,则∠F 1MF 2的余弦值为 .
7.[2019浙江,15,4分]已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F ,点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF 的中点在以原点O为圆心,|OF |为半径的圆上,则直线PF 的斜率是 .
考法1椭圆定义的应用
1(1)[2020武汉市武昌实验中学模拟]已知F 1,F 2分别是椭圆C:x2a2+y29=1(a>3)的左、右焦点,P为椭圆C上一点,
且∠F 1PF 2=120°,则|PF 1|·|PF 2|= .
(2)[2020江西省九江市三校联考]已知F 是椭圆C:x225+y216=1的右焦点,P是椭圆上一点,A(0,365),当△APF 的周长最大时,该三角形的面积为 .
(1)椭圆定义:|PF1|+|PF2|=2a余弦定理:|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos120°→得到|PF 1|·|PF 2|的值
(2)条件1:椭圆方程x225+y216=1条件2:△APF周长最大→直线AF'的方程yP的值→目标:S△APF =12|F F '|·|yA - yP|
(1)由椭圆的定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a,且|F 1F 2|=2c=2a2-9.根据余弦定理,得|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2 - 2|PF 1|·|PF 2|cos120°,所以4(a2 - 9)=4a2 - 2|PF 1|·|PF 2|+|PF 1|·|PF 2|=4a2 - |PF 1|·|PF 2|,解得|PF 1|·|PF 2|=36.故填36.
(2)设椭圆的左焦点为F ' ,由椭圆方程得a=5,F (3,0),F ' ( - 3,0).△APF 的周长为|AF |+|AP|+|PF |=|AF |+|AP|+2a - |PF '|≤10+(|AF |+|AF ' |),当A,F ' ,P三点共线且F ' 在线段AP上时取等号,此时△APF 的周长最大.设点P的坐标为(xP,yP),yP<0.易知直线AF ' 的方程为x-3+y365=1,又xP225+yP216=1,可得yP= - 125.所以S△APF =12|F F ' |·|yA - yP|=12×6×(365+125)=1445.故填1445.
本题组的第(2)题中,利用数形结合的思想方法,巧妙地将求三角形APF 的周长的最大值转化为三角形的三边关系的分析,从而化繁为简,减少了计算量.
1.(1)已知椭圆C:x24+y23=1,M,N是坐标平面内的两点,且M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=( )
A.4 B.8 C.12 D.16
(2)[2019全国卷Ⅲ,15,5分]设F 1,F 2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF 1F 2为等腰三角形,则M的坐标为 .
考法2椭圆的标准方程
2过点(3, - 5),且与椭圆y225+x29=1有相同焦点的椭圆的标准方程为
A.x220+y24=1 B.x225+y24=1
C.y220+x24=1 D.x24+y225=1
解法一 (定义法)椭圆y225+x29=1的焦点为(0, - 4),(0,4),即c=4.
由椭圆的定义知,2a=(3-0)2+(-5+4)2+
(3-0)2+(-5-4)2,解得a=25.
由c2=a2 - b2,可得b2=4.
所以所求椭圆的标准方程为y220+x24=1.
解法二 (待定系数法)设所求椭圆方程为y225+k+x29+k=1(k> - 9),将点(3, - 5)的坐标代入,可得(-5)225+k+(3)29+k=1,解得k= - 5,所以所求椭圆的标准方程为y220+x24=1.
C
2.[2019全国卷Ⅰ,10，5分][,理]已知椭圆C的焦点为F 1( - 1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C交于A,B两点.若|AF 2|=2|F 2B|,|AB|=|BF 1|,则C的方程为( )
A.x22+y2=1 B.x23+y22=1 C.x24+y23=1 D.x25+y24=1
考法3椭圆的几何性质
命题角度1 求椭圆离心率或其取值范围
3 [2017全国卷Ⅲ,10,5分][理]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx - ay+2ab=0相切,则C的离心率为
A.63 B.33 C.23 D.13
根据已知求出圆的方程,根据直线与圆相切列出关于a,b的等式,结合a2=b2+c2求出离心率.
以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,由原点到直线bx - ay+2ab=0的距离d=2abb2+a2=a,得a2=3b2,所以C的离心率e=1-b2a2=63.
A
命题角度2 求与椭圆有关的最值或取值范围问题
4[2017全国卷Ⅰ,12,5分]设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是
A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,3]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,3]∪[4,+∞)
焦点位置不确定,分情况讨论.
依题意得3m≥tan∠AMB2,0
3,所以3m≥tan60°,03,解得0b>0)的左、右顶点,若在椭圆上存在点P,使得kPA1·kPA2> - 12,则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A.(0,12) B.(0,22) C.(22,1) D.(12,1)
（2）如图10 - 1 - 2,焦点在x轴上的椭圆x24+y2b2=1的离心率e=12,F ,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,则PF·PA的最大值为 .
考法4直线与椭圆的综合应用
命题角度1 直线与椭圆的位置关系
5已知对任意k∈R,直线y - kx - 1=0与椭圆x25+y2m=1恒有公共点,则实数m的取值范围为 .
解法一 由椭圆方程,可知m>0,且m≠5,
将直线与椭圆的方程联立,得y-kx-1=0,x25+y2m=1,
整理,得(5k2+m)x2+10kx+5(1 - m)=0.
因为直线与椭圆恒有公共点,故Δ=(10k)2 - 4×(5k2+m)×5(1 - m)=20(5k2m - m+m2)≥0.因为m>0,所以不等式等价于5k2 - 1+m≥0,即k2≥1-m5,由题意,可知不等式恒成立,则1-m5≤0,解得m≥1.
综上,m的取值范围为m≥1且m≠5.
解法二 因为方程x25+y2m=1表示椭圆,所以m>0且m≠5.
因为直线y - kx - 1=0过定点(0,1),
所以要使直线和椭圆恒有公共点,点(0,1)在椭圆上或椭圆内,即025+12m≤1,整理得1m≤1,解得m≥1.
综上,m的取值范围为m≥1且m≠5.
命题角度2 弦长问题
6 [2019河北省六校联考]已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2c,且b=3c,圆O:x2+y2=r2(r>0)与x轴交于点M,N,P为椭圆E上的动点,|PM|+|PN|=2a,△PMN面积的最大值为3.
(1)求圆O与椭圆E的方程;
(2)圆O的切线l交椭圆E于点A,B,求|AB|的取值范围.
(1)由题意,结合几何关系即可求得a,b,c的值→求出圆O的方程及椭圆E的方程
(2)当直线l的斜率不存在时,计算出|AB|→当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,利用圆心到
直线l的距离等于半径可得m2=1+k2→联立直线与椭圆方程并消去y可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2 - 12=0,由弦长公式表示出|AB|→
利用换元法及二次函数的性质可得|AB|的取值范围
(1)因为b=3c,所以a=2c.
因为|PM|+|PN|=2a,所以点M,N为椭圆的焦点,所以r2=c2=14a2.
设P(x0,y0), - b≤y0≤b,则S△PMN=r·|y0|=12a|y0|,
当|y0|=b时,(S△PMN)max=12ab=3,
所以r=c=1,b=3,a=2,
所以圆O的方程为x2+y2=1,椭圆E的方程为x24+y23=1.
(2)当直线l的斜率不存在时,不妨取直线l的方程为x=1,则可取A(1,32),B(1, - 32),|AB|=3.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),
因为直线l与圆O相切,所以|m|1+k2=1,即m2=1+k2,
由x24+y23=1,y=kx+m消去y,可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2 - 12=0,
Δ=64k2m2 - 4(4k2+3)(4m2 - 12)=48(4k2+3 - m2)=48(3k2+2)>0,x1+x2= - 8km4k2+3,x1x2=4m2-124k2+3.
|AB|=k2+1·(x1+x2)2-4x1x2
=43·k2+1·4k2+3-m24k2+3
=43·(k2+1)(3k2+2)4k2+3
=43·(k2+34+14)[3(k2+34)-14]4k2+3
=3·-116·1(k2+34)2+12·1k2+34+3.
令t=1k2+34,0b>0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交椭圆于A,B两点.若线段AB的中点坐标为(1, - 1),则E的方程为
A.x245+y236=1 B.x236+y227=1
C.x227+y218=1 D.x218+y29=1
由“点差法”得到中点坐标和斜率的关系式→利用焦点坐标和中点坐标,结合c=3,求出a2,b2的值→得到椭圆方程
设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得x12a2+y12b2=1 ①,x22a2+y22b2=1 ②,① - ②得x12-x22a2+y12-y22b2=0,易知x1≠x2,
∴x1+x2a2+y1-y2x1-x2·y1+y2b2=0.
∵ x1+x2=2,y1+y2= - 2,kAB=-1-01-3=12,
∴2a2+12×-2b2=0,即a2=2b2.
又c=3=a2-b2,∴a2=18,b2=9.
∴椭圆E的方程为x218+y29=1.
D
本题设出A,B两点的坐标,却不求出A,B两点的坐标,而是利用点差法,巧妙地表达出直线AB的斜率,并利用焦点坐标和中点坐标建立几何量之间的关系,从而快速解决问题.
4.[2019天津,18,13分][理]设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F ,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为55.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF |(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.
数学应用椭圆与物理知识的融合
8如图10 - 1 - 3所示,椭圆有这样的一个光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),其左、右焦点分别是F 1,F 2,直线l与椭圆C切于点P,且|PF 1|=1,过点P且与直线l垂直的直线l' 与椭圆长轴交于点M,若e=32,SΔPMF1SΔPMF2=13,则椭圆C的标准方程为
A.x24+y22=1 B.x24+y23=1C.x24+y2=1 D.x23+y22=1
由光学知识得到直线l' 平分∠F 1PF 2→由三角形面积比和已知条件可求出a的值,再利用椭圆的定义、离心率可求出b的值→即得椭圆的方程
由光学知识可知直线l' 平分∠F 1PF 2,
因为SΔPMF1SΔPMF2=|F1M||F2M|=12|F1P||PM|sin∠F1PM12|F2P||PM|sin∠F2PM=|PF1||PF2|=13,|PF 1|=1,所以|PF 2|=3,又|PF 1|+|PF 2|=2a,所以a=2.
因为e=ca=32,b2=a2 - c2,所以b=1,
所以椭圆的标准方程为x24+y2=1.
C
素养探源
核心素养
考查途径
素养水平
数学运算
①由光学知识得到SΔPMF1SΔPMF2=|F1M||F2M|=12|F1P||PM|sin ∠F1PM12|F2P||PM|sin∠F2PM=|PF1||PF2|.
②由三角形面积比,椭圆的定义、离心率等求出a,b的值.
二
逻辑推理
理解椭圆的光学性质,由光学知识得到直线l' 平分∠F 1PF 2.
二
解后反思
本题给出了椭圆的一个光学性质,即从椭圆的一个焦点出发的光线,经过椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.本题以椭圆的光学性质为背景设题,与物理知识融合,考查椭圆的定义与性质,凸显了数学的应用性.
1.D 设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),由e2=c2a2=1 - b2a2=12,得a2=2b2,根据椭圆的定义可知△ABF2的周长为4a,所以4a=16,即a=4,a2=16,b2=8,则椭圆的标准方程为x216+y28=1,故选D.
2.D 设点M(x0,y0),因为F1M·F2M=0,所以(x0+c)·(x0 - c)+y02=0,即x02+y02=c2 ①.
又点M在椭圆C上,所以x02a2+y02b2=1 ②.①②联立,结合a2 - b2=c2,可得x02=a2(c2 - b2)c2.由椭圆的性质可知0≤x02≤a2,即a2(c2 - b2)c2≥0,a2(c2 - b2)c2≤a2,即c2≥b2,c2 - b2≤c2,所以c2≥b2,所以c2≥a2 - c2,即2c2≥a2,可得e2≥12.又00),由题意知F( - 2,0),所以线段FP的中点M的坐标为( - 2+m2,n2).因为点M在圆x2+y2=4上,所以( - 2+m2)2+(n2)2=4,又点P(m,n)在椭圆x29+y25=1上,所以m29+n25=1,所以4m2 - 36m - 63=0,所以m= - 32,n= 152,所以kPF=152 - 0 - 32 - ( - 2)=15.
图D 10 - 1 - 5
解法二 如图D 10 - 1 - 5,连接O与PF的中点M,由题意知|OM|=|OF|=2,设椭圆的右焦点为F1,连接PF1,在△PFF1中,OM为中位线,所以|PF1|=4,由椭圆的定义知|PF|+|PF1|=6,所以|PF|=2.因为M为PF的中点,所以|MF|=1.在等腰三角形OMF中,过O作OH⊥MF于点H,所以|OH|=22 - (12)2=152,所以kPF=tan∠HFO=15212=15.
1.(1)B 设MN的中点为D,椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,如图D 10 - 1 - 6,连接MA,MB,DF1,DF2,
图D 10 - 1 - 6
因为F1是MA的中点,D是MN的中点,所以F1D是△MAN的中位线,则|DF1|=12|AN|,同理可得|DF2|=12|BN|,所以|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|).因为D在椭圆上,所以根据椭圆的定义知|DF1|+|DF2|=4,所以|AN|+|BN|=8.故选B.
(2)(3,15) 不妨令F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,根据题意可知c=36 - 20=4.因为△MF1F2为等腰三角形,所以易知|F1M|=2c=8,所以|F2M|=2a - 8=4.设M(x,y),则x236+y220=1,|F1M|2=(x+4)2+y2=64,x>0,y>0,得x=3,y=15,
所以M的坐标为(3,15).
2.B 设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),因为|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,所以|BF1|=3|F2B|.又|BF1|+|F2B|=2a,所以|F2B|=a2,则|AF2|=a,|AB|=|BF1|=32a,|AF1|=a.
解法一 在△ABF1中,由余弦定理得cos∠BAF1=|AB|2+|AF1|2 - |BF1|22|AB||AF1|=(3a2)2+a2 - (3a2)22·3a2·a=13.因为椭圆C的焦点为F1( - 1,0),F2(1,0),所以c=1,|F1F2|=2.在△AF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2 - 2|AF1||AF2|·cos∠BAF1,即4=a2+a2 - 2a2·13,解得a2=3,所以b2=a2 - c2=2.于是椭圆C的标准方程为x23+y22=1.故选B.
解法二 因为|AF1|=|AF2|=a,所以点A为椭圆的上顶点或下顶点.不妨设A(0, - b),因为AF2=2F2B,所以B(32,b2),代入椭圆方程得94a2+b24b2=1,解得a2=3.又c=1,所以b2=a2 - c2=2.于是椭圆C的标准方程为x23+y22=1.故选B.
3.(1)C 由题意知,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1( - a,0),A2(a,0),设P(x0,y0),则kPA1·kPA2=y02x02 - a2> - 12.因为x02a2+y02b2=1,所以a2 - x02=a2y02b2,所以b2a2<12,即a2 - c2a2<12,1 - e2<12,所以e2>12,又00),则|PF2|=2a - m,|QF2|=2m - 2a,|QF1|=4a - 2m.由题意知△PQF1为等腰直角三角形,所以|QF1|=2|PF1|,故m=4a - 22a.因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,所以(4a - 22a)2+[2a - (4a - 22a)]2=4c2,整理得4×(ca)2=36 - 242,即ca=9 - 62=6 - 3,故选D.
【解题关键】 求解本题的关键是利用题设条件构建关于a,c的一个方程.
4.A 解法一 由椭圆标准方程,得a=5,b=3,所以c=a2 - b2=4.设|PF1|=t1,|PF2|=t2,由椭圆的定义可得t1+t2=10 ①.在△F1PF2中,∠F1PF2=60°,根据余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2 - 2|PF1|·|PF2|cos 60°=|F1F2|2=(2c)2=64,整理可得t12+t22 - t1t2=64 ②.把①两边平方得t12+t22+2t1t2=100 ③.由③ - ②可得t1t2=12,所以S△F1PF2=12t1t2sin∠F1PF2=33.故选A.
解法二 由椭圆焦点三角形的面积公式,得S△F1PF2=b2tanθ2=9tan60°2=33.故选A.
5.B 由题意可知,ca×2=1,即c=22a.因为c=2,所以a=2,b2=a2 - c2=2.不妨设点P与点F2在y轴右侧,则|PF1|+|PF2|=4,|PF1| - |PF2|=2,解得|PF1|=3,|PF2|=1,即|PF1|2=|F1F2|2+|PF2|2,所以△F1PF2为直角三角形,故选B.
6.92 设点P在双曲线的右支上,F2为两曲线的右焦点,由椭圆及双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1| - |PF2|=2a2,解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1 - a2.设|F1F2|=2c,因为PF1⊥PF2,所以(a1+a2)2+(a1 - a2)2=4c2,整理得a12+a22=2c2,两边同时除以c2,得1e12+1e22=2.所以4e12+e22=12(4e12+e22)(1e12+1e22)=12(5+4e12e22+e22e12)≥12×(5+2×2)=92,当且仅当4e12e22=e22e12,且1e12+1e22=2时取“=”,即当e1=32,e2=62时取“=”,故4e12+e22的最小值为92.
7.[1,4] 由已知得2b=2,故b=1,∴a2 - c2=b2=1 ①.∵△F1AB的面积为2–32,∴12(a - c)b=2–32,∴a - c=2 – 3 ②.由①②联立解得,a=2,c=3.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=4,∴1|PF1|+1|PF2|=|PF1|+|PF2||PF1||PF2|=4|PF1|(4 - |PF1|)=4 - |PF1|2+4|PF1|,又2 – 3≤|PF1|≤2+3,∴1≤ - |PF1|2+4|PF1|≤4,
∴1≤1|PF1|+1|PF2|≤4,即1|PF1|+1|PF2|的取值范围是[1,4].
8.(1)由题意知,a+c=3+1,a - c=3 - 1.
又a2=b2+c2,所以可得b=2,c=1,a=3,
所以椭圆的方程为x23+y22=1.
(2)由(1)可知F( - 1,0),则直线CD的方程为y=k(x+1),
由y=k(x+1),x23+y22=1,
消去y得(2+3k2)x2+6k2x+3k2 - 6=0.
Δ=36k4 - 4(2+3k2)(3k2 - 6)=48k2+48>0.
设C(x1,y1),D(x2,y2),
则x1+x2= - 6k22+3k2,x1x2=3k2 - 62+3k2.
又A( - 3,0),B(3,0),
所以AC·DB+AD·CB
=(x1+3,y1)·(3 - x2, - y2)+(x2+3,y2)·(3 - x1, - y1)
=6 - 2x1x2 - 2y1y2
=6 - 2x1x2 - 2k2(x1+1)(x2+1)
=6 - (2+2k2)x1x2 - 2k2(x1+x2) - 2k2
=6+2k2+122+3k2
=10,
解得k=±105.
9.(1)由题意可得ca=32,2c=63,解得a=22,c=6,
则b2=a2 - c2=2.
所以椭圆C的方程为x28+y22=1.
(2)当直线l的斜率不存在时,|AB|=22,|MN|=2,|AB|≠|MN|,不合题意,所以直线l的斜率存在.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+2,
由y=kx+2,x28+y22=1消去y并整理,得(1+4k2)x2+16kx+8=0.
Δ=(16k)2 - 32(1+4k2)=128k2 - 32>0,即k2>14.
设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),则x1+x2= - 16k1+4k2,x1x2=81+4k2,则x0=x1+x22= - 8k1+4k2.
因为|AB|=|MN|,
所以1+k2|x1 - x2|=1+k2|x0 - 0|,
则(x1+x2)2 - 4x1x2=|x0|,即424k2 - 11+4k2=|8k1+4k2|.
整理得k2=12>14,解得k=±22.
于是直线l的方程为y=±22x+2.