人教大纲版高考数学题库考点14 不等式
考点14 不等式
1.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ5）不等式的解集为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【命题立意】本题考查了简单的分式不等式解法.
【思路点拨】化为整式不等式，运用穿根法求解.
【规范解答】 选C，原不等式化为：（x+2）(x-3)(x-1)>0，解得，-2
3.
2.（2010·四川高考理科·Ｔ12）设，则的最小值是（ ）.
（A）2 （B）4 （C） （D）5
【命题立意】本题考查创造条件，利用均值不等式求最值问题及完全平方公式.但要注意
取等号成立时的条件.
【思路点拨】本题多个和的最小值，故可选用基本不等式，为了使积为定值，故需对原式进行配凑，原则
是出现，，.因多个等号同时成立，注意等号成
立的条件.
【规范解答】选B .原式
.
当且仅当即时，等号成立.
【方法技巧】基本不等式成立的条件：一正，二定，三相等.
3.（2010·四川高考文科·Ｔ11）设，则的最小值是（ ）.
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【命题立意】本题主要考查利用均值不等式求最小值.考查灵活运用所学知识的能力.
【思路点拨】本题求和的最小值，故可选用基本不等式，为使积为定值，故需对原式
进行整理变形，原则是出现，.
【规范解答】选D.
＝
＝.
当且仅当
即时，等号成立.
【方法技巧】会配凑基本不等式形式并注意基本不等式成立的条件：一正，二定，三相等.
4.（2010·重庆高考理科·Ｔ7）已知，，，则的最小值是（ ）
(A)3 (B)4 (C) (D)
【命题立意】本小题考查均值不等式的应用，考查一元二次不等式的解法，考查运算求解的能力，考查函数、方程的思想，考查数形结合的思想方法，考查化归与转化的思想.
【思路点拨】由已知的等式消去一个未知数，转化为函数的最值问题；或把已知等式看做是约束条件——一个函数在第一象限的图象，利用线性规划的方法求目标函数的最小值.
【规范解答】选B .方法一：因为，所以，
所以（当且仅当，
即时等号成立，此时.
方法二：因为，所以，所以，
设，则，即，解次不等式得（舍去）或，
即.
方法三：因为，所以，此函数的图象可由函数平移得到，如图所示（图象只取第一象限部分），设，此直线与函数在第一象限的图象相切时A的值即为所求的最小值，解方程组
得，
所以，
解得：或（舍去）.
【方法技巧】方法一
:代入消元，转化为函数的最值问题；
方法二：利用均值不等式构造关于整体的不等式，转化为一元二次不等式求解问题
方法三：把已知等式看做是约束条件，利用线性规划的方法求目标函数的最小值.
5.（2010·上海高考理科·Ｔ１）不等式的解集是 ．
【命题立意】本题考查分式不等式的解法,属容易题.
【思路点拨】本题可先将分式不等式化为整式不等式，再由二次函数与二次不等式的关系求解．
【规范解答】原不等式可化为，所以其解集为．
【答案】
6.（2010·全国卷Ⅰ文科·Ｔ13）)不等式的解集是 .
【命题立意】本小题主要考查不等式及其解法
【思路点拨】首先将因式分解，然后将化为三个因式乘积的形式，
采用穿根法求解集.
【规范解答】，
数轴标根得：
【答案】
7.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ13）不等式的解集是 .
【命题立意】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致.
【思路点拨】首先移项，使不等式的一边含有一个根式，然后利用平方法去掉根号，同时
要注意讨论不等式成立的条件.
【答案】
8.（2010·重庆高考文科·Ｔ１2）已知,则函数的最小值为 .
【命题立意】本小题考查基本不等式的基础知识及其应用，考查运算求解的能力.
【思路点拨】先把函数表达式变形，再用均值不等式求最值.
【规范解答】,当且仅当，即时等号成立.
【答案】
【方法技巧】配凑均值不等式形式是关键但要注意检验：“一正，二定，三相等”
9．（2010·湖北高考理科·Ｔ15）设，称为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作OB的垂线，垂足为C．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a，b的几何平均数，线段 的长度是a，b的调和平均数．
【命题立意】
本题主要考查考生对算术平均数、几何平均数、调和平均数概念的理解，考查均值不等式的应用、相似三角形及圆的性质，考查考生的识图、运算能力．
【思路点拨】由，则对应边成比例，可得线段DC的长度是a，b的几何平均数；同理由对应边成比例可得线段DE的长度是a，b的调和平均数.
【规范解答】由,知,
从而,即,因此，；同理由得,即.
【答案】DC DE
【方法技巧】由，结合直角三角形斜边大于直角边知：可为以长度为为斜边的直角三角形其中一条直角边的长度；由，结合直角三角形斜边大于直角边知：可为以长度为为斜边的直角三角形其中一条直角边的长度.
10.（2010·上海高考理科·Ｔ22）若实数,,满足，则称比远离.
（1）若比1远离0，求的取值范围.
（2）对任意两个不相等的正数,，证明：比远离.
（3）已知函数的定义域.任取，等于和中远离0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.
【命题立意】本题主要考查解不等式，证明不等式等不等式的有关知识以及分段函数、三角函数的有关性质等问题．
【思路点拨】（1）根据题意列出不等式，解不等式；
（2）采用分析法证明不等式，注意去绝对值的方法和分析法的步骤；
（3）结合三角函数的图象观察函数性质．
【规范解答】（1）由题意知，即，所以，
解得或，所以x的取值范围是{x|或}．
（2）要证明比远离，
即证，
因为，故，，
所以只需证明
即,化简得显然成立，
所以比更远离．
性质：①偶函数 关于y轴对称;
②周期T=;
③在区间上单调递增，在区间上单调递减;
④最大值为1，最小值为.
【方法技巧】①新概念问题要紧跟“新概念”不放.
②函数图像与性质紧相连.
11.（2010·上海高考文科·Ｔ22）若实数，，满足，则称比接近.
（1）若比3接近0，求的取值范围.
（2）对任意两个不相等的正数，，证明：比接近.
（3）已知函数的定义域.任取，等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.
【命题立意】本题主要考查解不等式，证明不等式等不等式的有关知识以及分段函数、三角函数的有关性质等问题．
【思路点拨】（1）根据题意列出不等式，解不等式；
（2）采用分析法证明不等式，注意去绝对值的方法和分析法的步骤；
（3）结合三角函数的图象观察函数性质．
【规范解答】（1）由题意知，即，所以，
，解得或，所以x的取值范围是{x|或}．
（2）要证明比接近，
即证，
因为，故，，
所以只需证明，
即,化简得显然成立，
所以比接近．
（3）因为，，
当时，，，所以；
当时，，，所以．
它是个偶函数、最小正周期为、最小值为0，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
【方法技巧】①新概念问题要紧跟“新概念”不放;
②函数图像与性质紧相连.
