数学理卷·2017届辽宁省全国卷Ⅱ高考压轴卷（2017

数学理卷·2017届辽宁省全国卷Ⅱ高考压轴卷（2017

绝密★启封前 ‎2017全国卷Ⅱ高考压轴卷 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。‎ 注意事项：‎ ‎ 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。‎ ‎ 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1.设集合，则（）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3.袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，则3次摸球所得总分为5的概率为(　　)‎ A.. B.C D. ‎4．已知向量与向量a＝(1，－2)的夹角为π，||＝2，点A的坐标为(3，－4)，则点B的坐标为(　　)‎ A．(1,0) B．(0,1) C．(5，－8) D．(－8,5)‎ ‎5.已知点P落在角θ的终边上，且θ∈10,2π)，则θ的值为(　　)‎ A.B.C.D. ‎6.《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．‎ 已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为(　　)‎ ‎(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈)‎ A．600立方寸 B．610立方寸 C．620立方寸 D．633立方寸 ‎7．已知MOD函数是一个求余函数，记表示m除以n的余数，例如．右图是某个算法的程序框图，若输入m的值为48时，则输出的值为 ‎(A) 8‎ ‎(B) 9‎ ‎(C) 10‎ ‎(D) 11‎ ‎8．已知由不等式确定的平面区域的面积为7，则的值（）‎ A．-1或3 B． C． D．3‎ ‎9.已知双曲线与函数的图象交于点，若函数的图象在点处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是 A. B. C. D. ‎ ‎10.设在圆上运动，且，点在直线上运动，则的最小值为 A． B． C． D． ‎ ‎11已知球表面上有三个点、、满足，球心到平面的距离等于球半径的一半，则球的表面积为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎12．关于函数，下列说法错误的是（）‎ ‎（A）是的极小值点 ‎( B ) 函数有且只有1个零点 ‎ (C)存在正实数，使得恒成立 ‎(D)对任意两个正实数，且，若，则 第Ⅱ卷 注意事项：‎ 须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷上作答，答案无效。‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~ 第23题为选考题，考生根据要求做答。‎ 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎13.已知中，内角的对边分别为，若，，则的面积为 ‎14若的展开式中各项系数的和2，则该展开式中的常数项为________．‎ ‎15.已知f(x)为奇函数，函数g(x）与f(x)的图象关于直线y=x+l对称，若g(1)=4，‎ 则f(一3）=____．‎ ‎16．设函数f(x)＝(x－2)2(x＋b)ex，若x＝2是f(x)的一个极大值点，则实数b的取值范围___．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知数列中，，其前项的和为，且满足.‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）证明：当时，. ‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就是越高，具体浮动情况如下表：‎ 交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10%‎ 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20%‎ 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮30%‎ 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 ‎0%‎ 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮10%‎ 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮30%‎ 某机构为了某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：‎ 类型 数量 ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎5‎ 以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：‎ ‎（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，，记为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字）‎ ‎（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：‎ ‎①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；‎ ‎②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，是平行四边形，平面，‎ ‎,，‎ ‎，. ，，分别为，‎ ‎，的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值。‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 设是椭圆上三个点，在直线上的射影分别为．‎ ‎（1）若直线过原点，直线斜率分别为，求证：为定值；‎ ‎（2）若不是椭圆长轴的端点，点坐标为，与面积之比为5，求中点的轨迹方程．‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 定义在上的函数满足，. ‎ ‎ （1）求函数的解析式；‎ ‎ （2）求函数的单调区间；‎ ‎ （3）如果、、满足，那么称比更靠近.当且时，试比较和哪个更靠近，并说明理由. ‎ 请考生在第22、23、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）. ‎ ‎（1）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）已知，圆上任意一点，求面积的最大值.‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 已知，且 ‎（1）证明；‎ ‎（2）若，求的最小值．‎ ‎2017全国卷Ⅱ高考压轴卷 理科数学 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A C A D D B B A C D C 以下为部分试题解析 ‎1.解得集合A为 集合B为y的值域1-1,0],选B ‎3解析　三次摸球一共有8种不同的情况，列举如下：(红、红、红)，(红、红、黑)，(红、黑、红)，(红、黑、黑)，(黑、红、红)，(黑、红、黑)，(黑、黑、红)，(黑、黑、黑)，记“3次摸球所得总分为5”为事件A，则事件A包含的基本事件为：(红、红、黑)，(红、黑、红)，(黑、红、红)，共3种情况，故所求的概率P(A)＝.‎ ‎4. 1解析]　设B(x，y)，则＝(x－3，y＋4)，由已知得(x－3)2＋(y＋4)2＝(2)2，cosπ＝＝＝－1，即x－2y－1＝0，联立两方程解得，∴B(1,0)．‎ ‎5.解析　由sin>0，cos<0知角θ是第四象限的角，‎ ‎∵tanθ＝＝－1，θ∈10,2π)，∴θ＝.‎ ‎6. 1解析] 连接OA、OB，OD，设⊙Ο的半径为R，‎ 则(R－1)2＋52＝R2，∴R＝13.‎ sin∠AOD＝＝. ∴∠AOD＝22.5°，即∠AOB＝45°.‎ ‎∴S弓形ACB＝S扇形OACB－S△OAB＝－×10×12≈6.33平方寸．‎ ‎∴该木材镶嵌在墙中的体积为V＝S弓形ACB×100≈633立方寸．选D.‎ ‎7.【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，可知其围成的区域是等腰直角三角形且面积为．由于直线恒过点，且原点的坐标恒满足，当时，，此时平面区域的面积为，由于，由此可得．由可得，依题意应有，解得或（舍去），故选B．‎ ‎9.【试题解析】A 设，∴切线的斜率为，‎ 又∵在点处的切线过双曲线左焦点，∴，解得，‎ ‎∴，因此，故双曲线的离心率是，故选A；‎ ‎10.试题分析：设的中点为，由平行四边形法则可知 所以当且仅当三点共线时，取得最小值，此时直线，‎ 因为圆心到直线的距离为，‎ 所以取得最小值为 ‎12【答案】C【解析】‎ ‎，，且当时，，函数递减，当时，，函数递增，因此是的极小值点，A正确；，，所以当时，恒成立，即单调递减，又，，所以有零点且只有一个零点，B正确；设，易知当时，，对任意的正实数，显然当时，，即，，所以不成立，C错误；作为选择题这时可得结论，选C，下面对D研究，画出函数草图可看出（0，2）的时候递减的更快，所以 ‎13∵，∴，∴，又，∴的面积为 ‎14.试题分析：由题意得，因此该展开式中的常数项为 ‎15.-2‎ ‎16．答案　b＜－2解析　由条件得，f(x)＝ 1x3＋(b－4)x2＋(4－4b)x＋4b]ex，则f′(x)＝1x3＋(b－1)x2＋(－4－2b)x＋4]ex，易知f′(2)＝0恒成立，满足题意．记g(x)＝x3＋(b－1)x2＋(－4－2b)x＋4，则g′(x)＝3x2＋2(b－1)x＋(－4－2b)，又x＝2是f(x)的一个极大值点，∴g′(2)＜0，∴2b＋4＜0，解得b＜－2.‎ ‎17.解：（1）当时，，‎ ‎，从而构成以1为首项，2为公差的等差数列. (6分)‎ ‎（2）由（1）可知，，‎ 当时，‎ 从而.‎ ‎18.（1）由题意可知：的可能取值为 由统计数据可知：‎ ‎，，，，‎ ‎，‎ 所以的分布列为：‎ X ‎0.9a ‎0.8a ‎0.7a a ‎1.1a ‎1.3a P 所以 ‎（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故的概率为 ‎，三辆车中至多有一辆事故车的概率为 ‎②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为-5000,10000‎ 所以的分布列为：‎ Y ‎-5000‎ ‎10000‎ P 所以 所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为万元 ‎19．解：(1)证明：如图19-1‎ ‎………1分 ‎………2分 而 ‎………………3分 ‎………5分 ‎………6分 ‎(2)法1：如图19-2，设的中点为，连结，，. ‎ 易知所以四点共面 ‎,分别为，，的中点 ‎………7分 同理又…8分 二面角即为平面与平面所成的锐二面角 ……9分 ‎,,……10分 且 就是平面与平面所成锐二面角的一个平面角 …11分 ‎ ………12分 法2：如图19-3，设的中点为，连结，，.作于点 易知所以四点共面 ………7分 又………8分 ‎………9分 又由(1)知 的法向量…10分 ‎………11分 设平面与平面所成锐二面角的大小为，则 ‎ ………12分 法3：如图19-4，‎ ‎ ………1分 又………2分 建立如右图所示坐标系,则 ‎,,,‎ ‎, ………4分 ‎(1) ………5分 ‎………6分 ‎(2) 设的一个法向量为,则 由得 ………7分 解得 ………8分 又而，‎ 平面，为平面的一个法向量 ………10分 ‎ ………11分 平面FGH与平面EBC所成锐二面角的余弦值为 ………12分 ‎20.（1）设，，，则 又，两式相减得：，‎ 即 ‎（2）设直线与轴相交于点，‎ 由于且，得 ‎，（舍去）或 即直线经过点，设，‎ ‎①当直线垂直于轴时，弦中点为 ‎②当直线与轴不垂直时，设的方程为，则 ‎，，‎ ‎，，‎ 消去，整理得：‎ 综上所述，点的轨迹方程为.‎ ‎21．解　(1)f′(x)＝f′(1)e2x－2＋2x－2f(0)，∴f′(1)＝f′(1)＋2－2f(0)，即f(0)＝1.‎ 又f(0)＝·e－2，‎ ‎∴f′(1)＝2e2，∴f(x)＝e2x＋x2－2x.‎ ‎(2)∵f(x)＝e2x＋x2－2x，‎ ‎∴g(x)＝f－x2＋(1－a)x＋a＝ex＋x2－x－x2＋(1－a)x＋a＝ex－a(x－1)，∴g′(x)＝ex－a.‎ ‎①当a≤0时，g′(x)＞0，函数g(x)在R上单调递增；‎ ‎②当a＞0时，由g′(x)＝ex－a＝0得x＝ln a，‎ ‎∴x∈(－∞，ln a)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；x∈(ln a，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增．‎ 综上，当a≤0时，函数g(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a＞0时，函数g(x)的单调递增区间为(ln a，＋∞)，单调递减区间为(－∞，ln a)．‎ ‎(3)设p(x)＝－ln x(x≥1)，q(x)＝ex－1＋a－ln x(x≥1)，‎ ‎∵p′(x)＝－－＜0，∴p(x)在11，＋∞)上为减函数，又p(e)＝0，‎ ‎∴当1≤x≤e时，p(x)≥0，当x＞e时，p(x)＜0.‎ ‎∵q′(x)＝ex－1－，(q′(x))′＝ex－1＋＞0，‎ ‎∴q′(x)在11，＋∞)上为增函数，又q′(1)＝0，‎ ‎∴x∈11，＋∞)时，q′(x)≥0，‎ ‎∴q(x)在11，＋∞)上为增函数，‎ ‎∴q(x)≥q(1)＝a＋1＞0.‎ ‎①当1≤x≤e时，|p(x)|－|q(x)|＝p(x)－q(x)＝－ex－1－a，‎ 设m(x)＝－ex－1－a，则m′(x)＝－－ex－1＜0，‎ ‎∴m(x)在11，＋∞)上为减函数，‎ ‎∴m(x)≤m(1)＝e－1－a，‎ ‎∵a≥2，∴m(x)＜0，∴|p(x)|＜|q(x)|，∴比ex－1＋a更靠近ln x.‎ ‎②当x＞e时，|p(x)|－|q(x)|＝－p(x)－q(x)＝－＋2ln x－ex－1－a＜2ln x－ex－1－a，‎ 设n(x)＝2ln x－ex－1－a，‎ 则n′(x)＝－ex－1，(n′(x))′＝－－ex－1＜0，‎ ‎∴n′(x)在x＞e时为减函数，‎ ‎∴n′(x)＜n′(e)＝－ee－1＜0，‎ ‎∴n(x)在x＞e时为减函数，‎ ‎∴n(x)＜n(e)＝2－a－ee－1＜0，‎ ‎∴|p(x)|＜|q(x)|，∴比ex－1＋a更靠近ln x.‎ 综上：当a≥2且x≥1时，比ex－1＋a更靠近ln x.‎ ‎22.【试题解析】解：（1）圆的参数方程为（为参数）‎ 所以普通方程为. 2分 圆的极坐标方程：. 5分 ‎（2）点到直线：的距离为 7分 的面积 所以面积的最大值为 10分 ‎23.【解析】（1）证明：由得，，即，………… 2分 ‎，当且仅当时取等号. ………… 5分 ‎（2），………… 6分 ‎，………… 8分 或，则 ‎，即的最小值为. ………… 10分