高考数学【理科】真题分类详细解析版专题21 几何证明选讲（解析版）

高考数学【理科】真题分类详细解析版专题21 几何证明选讲（解析版）

专题21 几何证明选讲 ‎ ‎ ‎【2013高考真题】‎ ‎（2013·新课标I理）（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 ‎ 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。‎ ‎（Ⅰ）证明：DB=DC；‎ ‎（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。‎ ‎【答案】（1）连接DE，交BC为G，由弦切角定理得，，，又因为，所以DE为直径，由勾股顶底得DB=DC.‎ ‎（2）由（1），，，故是的中垂线，故，圆心为O，连接BO，则，，所以，故外接圆半径为.‎ ‎【解析】（1）利用弦切角定理进行求解；（2）利用（1）中的结论配合角度的计算可以得到答案.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查几何证明中的定理运用，考查学生的数形结合的能力.‎ ‎（2013·陕西理）B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB与CD相交于内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD＝2DA＝2, 则PE＝ . ‎ ‎（2013·广东理）15. (几何证明选讲选做题)如图,是圆的直径,点在圆上,延长到使,过作圆的切线交于.若,,则_________.‎ ‎.‎ A E D C B O 第15题图 ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意易知,所以,又 ‎,所以,从而.‎ ‎【学科网考点定位】几何证明，三角形相似问题.‎ ‎【2012高考真题】‎ ‎（2012·辽宁卷）‎ 如图1－8，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：‎ ‎(1)AC·BD＝AD·AB；‎ ‎(2)AC＝AE.‎ 图1－8‎ ‎（2012·江苏卷]如图1－7，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，连结AC，AE，DE.‎ 求证：∠E＝∠C.‎ 图1－7‎ ‎【答案】A.证明：如图，连结OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，‎ 所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.‎ 因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C.‎ 因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，‎ 故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.‎ ‎（2012·湖北卷]如图1－6所示，点D在⊙O的弦AB上移动，AB＝4，连结OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为________．‎ ‎【答案】2　【解析】 因为CD＝，且OC为⊙O的半径，是定值，所以当OD取最小值时，CD取最大值．显然当OD⊥AB时，OD取最小值，故此时CD＝AB＝2，即为所求的最大值．‎ ‎（2012·全国卷）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为(　　)‎ A．16 B．14‎ C．12 D．10‎ ‎【答案】B　【解析】 取单位长度为7的正方形，(1)直接作出图形可得到结果，如图所示，(2)建立坐标系，取正方形边长为7分单位，计算7次可得第7次时该点的横坐标与E点相同，根据对称性应选择14次．‎ ‎（2012·北京卷）如图1－3，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则(　　)‎ A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·AB C．AD·AB＝CD2‎ D．CE·EB＝CD2‎ 图1－3‎ ‎【答案】　【解析】 设圆的半径为r，由圆的割线定理可得，PA·PB＝(PO－r)(PO＋r)，把 PA＝1，PB＝1＋2＝3，PO＝3代入求解得3＝9－r2，∴r＝.‎ ‎（2012·课标全国卷]如图1－6，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：‎ ‎(1)CD＝BC；‎ ‎(2)△BCD∽△GBD.‎ ‎【答案】证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，‎ 所以DE∥BC.‎ 又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，‎ 所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.‎ 因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.‎ ‎(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.‎ 由(1)可知BD＝CF，‎ 所以GB＝BD.‎ 而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.‎ ‎（2012·陕西卷]如图1－5，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.‎ 图1－5‎ ‎【答案】 5　【解析】 本题考查了射影定理的知识，解题的突破口是找出直角三角形内的射影定理．连接AD，在Rt△ABD中，DE⊥AB，所以DE2＝AE×EB＝5，在Rt△EBD中，EF⊥DB，所以DE2＝DF×DB＝5.‎ ‎（2012·天津卷）如图1－3所示，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．‎ 图1－3‎ ‎【2011高考真题】‎ ‎（2011·北京卷）如图1－2，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.‎ 图1－2‎ 给出下列三个结论：‎ ‎①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；‎ ‎②AF·AG＝AD·AE；‎ ‎③△AFB∽△ADG.‎ 其中正确结论的序号是(　　)‎ A．①② B．②③‎ C．①③ D．①②③‎ 图1－2‎ ‎（2011·广东卷)如图1－2，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________.‎ ‎【答案】　【解析】 因为PA为圆O切线，所以∠PAB＝∠ACB，又∠APB＝∠BAC，‎ 所以△PAB∽△ACB，所以＝，所以AB2＝PB·CB＝35，所以AB＝.‎ ‎（2011·广东卷)如图1－3，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，‎ 图1－3‎ E、F分别为AD、BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．‎ ‎【答案】 7∶5　‎ 图1－2‎ ‎（2011·湖南卷）如图1－2，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．‎ ‎【答案】 　【解析】 连结AO与AB，因为A，E是半圆上的三等分点，所以∠ABO＝60°，∠EBO＝30°.‎ 因为OA＝OB＝2，所以△ABO为等边三角形．又因为∠EBO＝30°，∠BAD＝30°，所以F为△ABO的中心，易得AF＝.‎ ‎（2011·辽宁卷）选修4－1：几何证明选讲 图1－11‎ ‎ 如图1－11，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，EC＝ED.‎ ‎(1)证明：CD∥AB；‎ ‎(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．‎ ‎【解答】 (1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.‎ 因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA，故∠ECD＝∠EBA，所以CD∥AB.‎ 图1－12‎ ‎(2)由(1)知，AE＝BE，因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC.从而∠FED＝∠GEC.‎ 连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.‎ 又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA，‎ 所以∠AFG＋∠GBA＝180°，‎ 故A，B，G，F四点共圆．‎ ‎（2011·辽宁卷） 如图1－10，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线 图1－10‎ 与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.‎ ‎(1)证明：CD∥AB；‎ ‎(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．‎ ‎【解答】 (1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.‎ 图1－11‎ 因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.‎ 故∠ECD＝∠EBA.‎ 所以CD∥AB.‎ ‎(2)由(1)知，AE＝BE，因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，‎ 从而∠FED＝∠GEC.‎ 连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.‎ 又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.‎ 所以∠AFG＋∠GBA＝180°.‎ 故A，B，G，F四点共圆．‎ ‎（2011·课标全国卷）如图1－10，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC 的顶点重合．‎ 图1－10‎ 已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．‎ ‎(1)证明：C，B，D，E四点共圆；‎ ‎(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．‎ 图1－11‎ C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.‎ 由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC，从而HF＝AG＝5，DF＝(12－2)＝5.‎ 故C，B，D，E四点所在圆的半径为5.‎ ‎（2011·陕西卷） ‎ 图1－5‎ ‎ (几何证明选做题)如图1－5，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.‎ ‎【答案】4　【解析】 在Rt△ADC中，CD＝8；在Rt△ADC与Rt△ABE中，∠B＝∠D，所以△ADC∽△ABE，故＝，BE＝×CD＝4.‎ ‎【2010高考真题】‎ ‎1．(2010年高考天津卷理科14)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC 相交于点P。若 ‎，，则的值为 。‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为ABCD四点共圆，所以∠∠PCB，‎ ‎∠CDA=∠PBC，因为∠P为公共角，所以∽，所以 ‎，设PC=x，PB=y，则有，即，所以=。‎ ‎2. (2010年高考湖南卷理科10)如图1所示，过外一点P作一条直线与交于A，B两点，已知PA＝2，点P到O的切线长PT ＝4，则弦AB的长为________.‎ P T O A B 图1‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】根据切线长定理 所以 ‎3．（2010年高考广东卷理科14）（几何证明选讲选做题）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=，∠OAP=30°，则CP＝______.‎ ‎4．（2010年高考陕西卷理科15）(几何证明选做题)如图,已知的两条直角边的长分别为,以为直径的圆与交于点,则. ‎ ‎【解析】（方法一）∵易知，又由切割线定理得，‎ ‎∴.‎ 于是，.故所求.‎ ‎（方法二）连，∵易知是斜边上的高，∴由射影定理得，‎ ‎.故所求.‎ ‎5．（2010年高考北京卷理科12）如图，O的弦ED，CB的延长线交于点A。若BDAE，AB＝4, BC＝2, AD＝3,则DE＝ ；CE＝ 。‎ ‎【答案】5; ‎ ‎【解析】首先由割线定理不难知道，于是，又，故为直径，因此，由勾股定理可知，故.‎ ‎6．（2010年高考江苏卷试题21）选修4-1：几何证明选讲 AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。‎ ‎【解析】 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。‎ ‎（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC， ‎ 又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO， ‎ ‎∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，‎ 所以∠DCO=300，∠DOC=600，‎ 所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。‎ ‎（方法二）证明：连结OD、BD。‎ 因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。‎ 因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=900。‎ 又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，‎ 于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。‎ 即2OB=OB+BC，得OB=BC。‎ 故AB=2BC。‎ ‎7. (2010年全国高考宁夏卷22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，已经圆上的弧，过C点的圆切线与BA的延长线交于E点，证明：‎ ‎（Ⅰ）∠ACE=∠BCD；‎ ‎（Ⅱ）BC2=BF×CD。‎ ‎【2009年高考真题】‎ ‎1．（2009广东几何证明选讲选做题15）如图4，点A，B，C是圆O上的点，且，则圆O的面积等于 .‎ ‎ ‎ ‎【解析】解法一：连结、，则，∵，，∴，则 ‎；解法二：，则.‎ ‎2.（2009海南宁夏22）如图，已知的两条角平分线AD和CE相交于H，‎ ‎，F在AC上，且AE=AF。‎ ‎ （I）证明：B，D，H，E四点共圆；‎ ‎ （Ⅱ）证明：‎ ‎【解析】‎ ‎ （Ⅰ）在△ABC中，因为∠=600，‎ ‎ 所以∠BAC+∠BCA=1200．‎ ‎ 因为AD，CE是角平分线，‎ ‎ 所以∠HAC+∠HCA=600，‎ ‎ 故∠AHC=1200．‎ ‎ 于是∠EHD=∠AHC=1200．‎ ‎ 因为∠EBD+∠EHD=1800，‎ ‎ 所以B、D、H、E四点共圆．‎ ‎（Ⅱ）连结BH，则BH为∠ABC的平分线， ‎ 得∠HBD=300‎ 由（Ⅰ）知B、D、H、E四点共圆，‎ ‎3．（2009辽宁22） 已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC的点（不与点A，C重合），延长BD至E。‎ ‎ （I）求证：AD的延长线平分∠CDE；‎ ‎ （II）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为，求△ABC外接圆的面积。‎ ‎【解析】‎ ‎ （1）如图，设F为AD延长线上一点。‎ ‎ （II）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则。‎ 连结OC，由题意 ‎【2008年高考真题】‎ ‎1．（2008广东，15）（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2，AC是圆O直 径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R= 。‎ ‎【答案】‎ ‎ 【解析】作出图如下。‎ ‎ 由切割线定理得PA2=PB·PC，∴PC=4，‎ 故填 ‎3．（2008江苏，‎21A，10分）如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，‎ ‎∠BAC的平分线与BC交于点D。‎ ‎ 求证：ED2=EC·EB。‎ ‎【解析】因为AE是圆的切线，所以∠ABC=∠CAE。又因为AD是∠BAC的平分线，所以 ‎∠BAD=∠CAD，从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD。因为∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠DAE=∠CAE+∠CAD，所以∠ADE=∠DAE，故EA=ED。因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知，EA2=EC·EB。而EA=ED，所以ED2=EC·EB。‎ ‎4．（2008宁夏、海南，22，10分）（选修4—1：几何证明选讲）如图，过圆O外一点M作它的一条 切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P。‎ ‎ （1）证明：OM·OP=OA2；‎ ‎ （2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点。过B点的切线交直线ON于K。证明：∠OKM=90°。‎ ‎5.（2008海南宁夏22）选修1—4：几何证明选讲 如图 ，过圆O外一点M作它的一条切线，切点A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P.‎ ‎（Ⅰ）证明：OM·OP=OA2；‎ ‎（Ⅱ）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点，过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM=90°‎ ‎【最新模拟】‎ ‎1．如图1，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的半径R＝________.‎ ‎ ‎ 　　 解析：如图2所示，连接OA、OB，‎ 则∠AOB＝90°，‎ ‎∵AB＝4，OA＝OB，‎ ‎∴OA＝2，即R＝2.‎ 答案：2 图3‎ ‎2．如图3，AB、CD是圆O内的两条平行弦，BF∥AC，BF交CD于点E，交圆O于点F，过A点的切线交DC的延长线于点P，若PC＝ED＝1，PA＝2，则AC的长为________．‎ ‎3．如图4，已知圆O的半径为3，PAB和PCD为圆O的两条割线，且O在线段AB上，若PB＝10，PD＝8，则线段CD＝________；∠CBD＝________.‎ 图4‎ 解析：因为PA＝10－2OA＝4，PC·PD＝PA·PB＝40，所以PC＝5，CD＝PD－PC＝3，连接OC，OD，则△OCD为正三角形，所以∠COD＝60°，则∠CBD＝30°.‎ 答案：3　30°‎ 图5‎ ‎4．如图5，△ABC的外角∠EAC的平分线AD交BC的延长线于点D，若AB是△ABC外接圆的直径，且∠EAC＝120°，BC＝6，则线段AD的长为________．‎ 解析：因为AB为直径，所以∠ACB＝90°，又∠EAC＝120°，所以∠BAC＝60°，又BC＝6，得AC＝2，又∠ACD＝90°，∠CAD＝60°，则在Rt△ACD中可得AD＝4.‎ 答案：4 图6‎ ‎5．如图6，已知点C在⊙O的直径BE的延长线上，CA切⊙O于点A，若AB＝AC，则＝________.‎ 解析：因为∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACB，所以△ACE∽△BCA，则＝，在△ABC中，又因为AB＝AC，所以∠B＝∠ACB＝30°，在Rt△ABE中，＝tanB＝tan30°＝.故＝.‎ 答案： 图7‎ 图8‎ ‎7．如图8，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，AD＝2，AC＝2，则AB＝________.‎ 解析：由射影定理可知，‎ AC2＝AD·AB，‎ 所以AB＝＝10.‎ 答案：10‎ 图9‎ ‎8．如图9所示，圆的内接三角形ABC的角平分线BD与AC交于点D，与圆交于点E，连接AE，已知ED＝3，BD＝6，则线段AE的长＝________.‎ ‎10．如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，则DE＝________.‎ 解析：连接AB，设BC＝AD＝x，结合图形可得 ‎△CAB与△CED相似，于是＝.‎ 即＝⇒x＝2.‎ 又因为AC是小圆的直径，所以∠CBA＝90°，‎ 由于∠CDE＝∠CBA，所以∠CDE＝90°.‎ 在直角三角形CDE中，DE＝＝＝6.‎ 答案：6 ‎11．如图，过圆外一点P作⊙O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE、BE，∠APE 的平分线分别与AE、BE相交于点C、D，若∠AEB＝30°，则∠PCE＝________.‎ 解析：由切割线性质得：PE2＝PB·PA，即＝，‎ ‎∴△PBE∽△PEA，∴∠PEB＝∠PAE，又△PEA的内角和为2(∠CPA＋∠PAE)＋30°＝180°，所以∠CPA＋∠PAE＝75°，即∠PCE＝75°.‎ 答案：75°‎ ‎12.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.‎ 解析：连接BD、DE，由题意可知DE⊥AB，DE＝a，BC＝DE＝a，∴BD＝ ＝a，∴EF＝BD＝.‎ 答案： ‎13．如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.‎ ‎(1)求证：B，D，H，E四点共圆；‎ ‎(2)求证：CE平分∠DEF.‎ ‎14．如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD.‎ ‎(1)求证：∠EDF＝∠CDF；‎ ‎(2)求证：AB2＝AF·AD.‎ 证明： (1)∵AB＝AC，‎ ‎∴∠ABC＝∠ACB.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDF＝∠ABC.又∠ADB与∠EDF是对顶角，‎ ‎∴∠ADB＝∠EDF.又∠ADB＝∠ACB，‎ ‎∴∠EDF＝∠CDF.‎ ‎(2)由(1)知∠ADB＝∠ABC.又∵∠BAD＝∠FAB，‎ ‎∴△ADB∽△ABF，∴＝，∴AB2＝AF·AD.‎ ‎15．如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.‎ ‎(1)证明：CD∥AB；‎ ‎(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．‎ 证明：(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.‎ 因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA，‎ ‎16．已知，如图，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交直线AC于点E，交AD于点F，过G作⊙O的切线，切点为H.求证：‎ ‎(1)C，D，F，E四点共圆；‎ ‎(2)GH2＝GE·GF.‎ 证明：(1)连接CB，∵∠ACB＝90°，AG⊥FG，又∵∠EAG＝∠BAC，‎ ‎∴∠ABC＝∠AEG.∵∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－∠AEG＝∠CEF，∴∠ADC＋∠FDC＝∠CEF＋∠FDC＝180°，‎ ‎∴C，D，F，E四点共圆．‎ ‎(2)由C，D，F，E四点共圆，知∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF，∴△GCE∽△GFD，故＝，即GC·GD＝GE·GF.∵GH为圆的切线，GCD为割线，‎ ‎∴GH2＝GC·GD，∴GH2＝GE·GF.‎ ‎17.已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K.‎ ‎(1)求证：Q、H、K、P四点共圆；‎ ‎(2)求证：QT＝TS.‎ 证明：(1)∵∠PHQ＝∠PKQ＝90°，‎ ‎∴Q、H、K、P四点共圆．‎ ‎(2)∵Q、H、K、P四点共圆，∴∠HKS＝∠HQP， ①‎ ‎∵∠PSR＝90°，∴PR为圆的直径，‎ ‎∴∠PQR＝90°，∠QRH＝∠HQP， ②‎ 而∠QSP＝∠QRH， ③‎ 由①②③得，∠QSP＝∠HKS，TS＝TK，‎ 又∠SKQ＝90°，∵∠SQK＝∠TKQ，∴QT＝TK，∴QT＝TS.‎ ‎18．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC.‎ ‎(1)求证：FB＝FC；‎ ‎(2)求证：FB2＝FA·FD；‎ ‎(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝‎6 cm，求AD的长．‎