2020版高考数学（新课改省份专用）一轮复习（讲义）第十章 计数原理概率随机变量及其分布列 第三节 随机事件的概率

2020版高考数学（新课改省份专用）一轮复习（讲义）第十章 计数原理概率随机变量及其分布列 第三节 随机事件的概率

第三节　随机事件的概率 突破点一　随机事件的频率与概率 ‎1．事件的分类 ‎2．频率和概率 ‎(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．‎ ‎(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．‎ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1)“下周六会下雨”是随机事件．(　　)‎ ‎(2)事件发生的频率与概率是相同的．(　　)‎ ‎(3)随机事件和随机试验是一回事．(　　)‎ ‎(4)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ 二、填空题 ‎1．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，“正面朝上”的频数为51，则“正面朝上”的频率为________．‎ 答案：0.51‎ ‎2．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶．假设此人射击1次，则其中靶的概率约为________；中10环的概率约为________．‎ 答案：0.9　0.2‎ ‎3．给出下列三个说法，其中正确的有________个．‎ ‎①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；‎ ‎②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；‎ ‎③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．‎ 解析：①错，不一定是10件次品；②错，是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．‎ 答案：0‎ ‎[典例]　(2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：‎ 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 ‎140‎ ‎50‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎800‎ ‎510‎ 好评率 ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ ‎0.25‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．‎ ‎(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；‎ ‎(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；‎ ‎(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)‎ ‎[解]　(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，‎ 获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50，‎ 故所求概率为＝0.025.‎ ‎(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是 ‎140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372，‎ 故所求概率估计为1－＝0.814.‎ ‎(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．‎ ‎1．计算简单随机事件频率或概率的解题思路 ‎(1)计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数．‎ ‎(2)由频率公式得所求，由频率估计概率．‎ ‎2．求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点 求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事件出现的频数．　　　　 ‎ ‎[针对训练]‎ ‎1．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：‎ ‎162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，‎ ‎151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.‎ 根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5～170.5 cm 之间的概率约为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选A　从已知数据可以看出，在随机抽取的这20位学生中，身高在155.5～170.5 cm之间的学生有8人，频率为，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人，其身高在155.5～170.5 cm之间的概率约为.‎ ‎2．(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎[10,15)‎ ‎[15,20)‎ ‎[20,25)‎ ‎[25,30)‎ ‎[30,35)‎ ‎[35,40)‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．‎ ‎(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；‎ ‎(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．‎ 解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.‎ ‎(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ‎＝6×450－4×450＝900；‎ 若最高气温位于区间[20,25)，‎ 则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；‎ 若最高气温低于20，‎ 则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.‎ 所以Y的所有可能值为900,300，－100.‎ Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.‎ 突破点二　互斥事件与对立事件 ‎1．概率的基本性质 ‎(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.‎ ‎(2)必然事件的概率：P(A)＝1.‎ 不可能事件的概率：P(A)＝0.‎ ‎2．互斥事件和对立事件 事件 定义 概率公式 互斥事件 在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；‎ P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)‎ 对立事件 在一个随机试验中，两个试验不会同时发生，并且一定有一个发生的事件A和称为对立事件 P()＝1－P(A)‎ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1)若随机事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1.(　　)‎ ‎(2)两个事件的和事件是指两个事件同时发生．(　　)‎ ‎(3)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　　)‎ ‎(4)“方程x2＋2x＋8＝0有两个实根”是不可能事件．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ 二、填空题 ‎1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是____________．‎ 答案：两次都不中靶 ‎2．设事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则A，B之间的关系一定为________事件．‎ 答案：互斥 考法一　事件关系的判断　‎ ‎[例1]　(1)从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，则下列各对事件是互斥而不是对立事件的是(　　)‎ A．恰有1个是奇数和全是奇数 B．恰有1个是偶数和至少有1个是偶数 C．至少有1个是奇数和全是奇数 D．至少有1个是偶数和全是偶数 ‎(2)已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品全不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件是次品”，则下列结论正确的是(　　)‎ A．F与G互斥 B．E与G互斥但不对立 C．E，F，G任意两个事件均互斥 D．E与G对立 ‎[解析]　(1)从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，共有三种情况：A＝{两个奇数}，B＝{一个奇数一个偶数}，C＝{两个偶数}，且两两互斥，‎ A：是互斥事件；B：不互斥；C：不互斥；D：不互斥．故选A.‎ ‎(2)由题意得事件E与事件F不可能同时发生，是互斥事件；事件E与事件G不可能同时发生，是互斥事件；当事件F发生时，事件G一定发生，所以事件F与事件G不是互斥事件，故A、C错．事件E与事件G中必有一个发生，所以事件E与事件G对立，所以B错误，D正确．‎ ‎[答案]　(1)A　(2)D ‎[方法技巧]　判断互斥、对立事件的2种方法 定义法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件 集合法 ‎①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．‎ ‎②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集 考法二　互斥事件、对立事件的概率　‎ ‎[例2]　某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数/人 x ‎30‎ ‎25‎ y ‎10‎ 结算时间/ ‎ ‎(分钟/人)‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；‎ ‎(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)‎ ‎[解]　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，‎ 所以x＝15，y＝20.‎ 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，‎ 所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，‎ 其估计值为＝1.9分钟．‎ ‎(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率得 P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝.‎ 因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，‎ 所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.‎ 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.‎ ‎[方法技巧]　　求复杂互斥事件概率的2种方法 直接法 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和 间接法 先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P( ‎)求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法 ‎1.如果事件A与B是互斥事件，则(　　)‎ A．A∪B是必然事件 B.与一定是互斥事件 C.与一定不是互斥事件 D.∪是必然事件 解析：选D　事件A与B互斥即A∩B为不可能事件，所以∪＝∩是必然事件，故选项D正确；在抛掷骰子试验中，A表示向上的数字为1，B表示向上的数字为2，A∪B不是必然事件，选项A错误；与不一定是互斥事件，选项B错误；A表示向上的数字为奇数，B表示向上的数字为偶数，与是互斥事件，选项C错误．故选D.‎ ‎2.(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)‎ A．0.3　　　　　　　　 　B．0.4‎ C．0.6 D．0.7‎ 解析：选B　由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.故选B.‎ ‎3.某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．‎ 据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.‎ 已知近20年X的值为 ‎140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.‎ ‎(1)完成如下的频率分布表：‎ 近20年六月份降雨量频率分布表 降雨量 ‎70‎ ‎110‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎220‎ 频率 ‎(2)假定今年6月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．‎ 解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 ‎70‎ ‎110‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎220‎ 频率 ‎(2)由已知可得Y＝＋425，‎ 故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P(Y＜490或Y＞530)＝P(X＜130或X＞210)‎ ‎＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)‎ ‎＝＋＋＝.‎