高考数学专题复习：《导数及其应用》同步训练题

高考数学专题复习：《导数及其应用》同步训练题

‎《导数及其应用》同步训练题 一、选择题 ‎1、（2007海南、宁夏文）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎2、（ 2002海南、宁夏理）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎3、(2007全国I文)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎4、曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎5、(2007广东文)若函数，则函数在其定义域上是（ ）‎ A．单调递减的偶函数 B．单调递减的奇函数 C．单调递增的偶函数 D．单调递增的奇函数 ‎6、(2007江西文)设在内单调递增，，则是的（　　）‎ Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ‎7、(2007江西理)设在内单调递增，，则是 的（　　）‎ Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ‎8、(2007江西文)四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ www.ks5u.com 高考资源网 二、填空题 ‎9、(2007江苏)已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则_____．‎ ‎10、(2007广东文)函数的单调递增区间是 ．‎ ‎11、(2007江苏)已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则_____．‎ ‎12、（2007湖南理）函数在区间上的最小值是 ．‎ ‎13、(2007湖北文)已知函数的图象在点处的切线方程是，则＿＿＿＿．‎ 高考资源网 ‎14、（2007湖南理）函数在区间上的最小值是 ．‎ 三、解答题 ‎15、(2007湖南文)已知函数在区间，内各有一个极值点．‎ ‎（I）求的最大值；‎ ‎（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．‎ ‎16、设，．‎ ‎（Ⅰ）令，讨论在内的单调性并求极值；‎ ‎（Ⅱ）求证：当时，恒有 ‎17、（全国卷I理）设函数．‎ ‎（Ⅰ）证明：的导数；‎ ‎（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围答案：解：‎ ‎18、（2007海南、宁夏理）设函数．‎ ‎（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；‎ ‎（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．‎ ‎19、(2007全国I文)设函数在及时取得极值．‎ ‎（Ⅰ）求a、b的值；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．‎ ‎20、(2007全国II理)已知函数．‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．‎ ‎21、(2007陕西理)设函数，其中为实数．‎ ‎（I）若的定义域为，求的取值范围；‎ ‎（II）当的定义域为时，求的单调减区间．‎ ‎22、(2007浙江理)设，对任意实数，记．‎ ‎（I）求函数的单调区间；‎ ‎（II）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；‎ ‎（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．‎ ‎23、(2007湖北理)已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．‎ ‎（I）用表示，并求的最大值；‎ ‎（II）求证：（）．‎ ‎24、(2007安徽文)设函数，，‎ 其中，将的最小值记为．‎ ‎（I）求的表达式；‎ ‎（II）讨论在区间内的单调性并求极值．‎ ‎25、(2007重庆理)已知函数在处取得极值，其中为常数．‎ ‎（Ⅰ）试确定的值；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎26、(2007天津文)设函数（），其中．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；‎ ‎（Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．‎ www.ks5u.com 高考资源网 ‎27、(2007四川文)设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．‎ ‎（Ⅰ）求，，的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．‎ www.ks5u.com 高考资源网 ‎28、已知在区间上是增函数，在区间上是减函数，又．‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上恒有成立，求的取值范围．‎ ‎29、（2007山东文)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以 为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎30、(2007山东文)设函数，其中．‎ 证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．‎ ‎31、(2007福建理)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件．‎ ‎（Ⅰ）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．‎ ‎32、设函数．‎ ‎（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；‎ ‎（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．‎ ‎33、(2007天津理)已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．‎ ‎34、(2007四川理)设函数 ‎（Ⅰ）当时，求的展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎（Ⅱ）对任意的实数，证明（是的导函数）；‎ ‎（Ⅲ）是否存在，使得恒成立？若存在，试证明你的结论并求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎35、(2007山东理)设函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；‎ ‎（Ⅱ）求函数的极值点；‎ ‎（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．‎ ‎36、(2007重庆文)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？‎ ‎37、(2007广东文)已知函数，是方程的两个根，是的导数．设，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）已知对任意的正整数有，记．求数列的前项和．‎ ‎38、2007海南、宁夏文)设函数 ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．‎ ‎39、(2007天津理)已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．‎ ‎40、(2007全国II文)已知函数 在处取得极大值，在处取得极小值，且．‎ ‎（1）证明；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、Ｄ ‎2、Ｄ ‎3、A ‎4、Ｄ ‎5、B ‎6、Ｃ ‎7、B ‎8、Ａ　‎ 二、填空题 ‎9、‎ ‎10、‎ ‎11、‎ ‎12、‎ ‎13、3 ‎ www.ks5u.com ‎14、‎ 三、解答题 ‎15、解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，‎ 设两实根为（），则，且．于是 ‎，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．‎ ‎（II）解法一：由知在点处的切线的方程是 ‎，即，‎ 因为切线在点处穿过的图象，‎ 所以在两边附近的函数值异号，则 不是的极值点．‎ 而，且 ‎．‎ 若，则和都是的极值点．‎ 所以，即．又由，得．故．‎ 解法二：同解法一得 ‎．‎ 因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号．于是存在（）．‎ 当时，，当时，；‎ 或当时，，当时，．‎ 设，则 当时，，当时，；‎ 或当时，，当时，．‎ 由知是的一个极值点，则．‎ 所以．又由，得，故 ‎16、（Ⅰ）解：根据求导法则有，‎ 故，‎ 于是，‎ 列表如下：‎ ‎2‎ ‎0‎ 极小值 故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．‎ ‎（Ⅱ）证明：由知，的极小值．‎ 于是由上表知，对一切，恒有．‎ 从而当时，恒有，故在内单调增加．‎ 所以当时，，即．‎ 故当时，恒有．‎ ‎17、（Ⅰ）的导数．‎ 由于，故．‎ ‎（当且仅当时，等号成立）．‎ ‎（Ⅱ）令，则 ‎，‎ ‎（ⅰ）若，当时，，‎ 故在上为增函数，‎ 所以，时，，即．‎ ‎（ⅱ）若，方程的正根为，‎ 此时，若，则，故在该区间为减函数．‎ 所以，时，，即，与题设相矛盾．‎ 综上，满足条件的的取值范围是．‎ ‎18、解：‎ ‎（Ⅰ），‎ 依题意有，故．‎ 从而．‎ 的定义域为．当时，；‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．‎ ‎（Ⅱ）的定义域为，．‎ 方程的判别式．‎ ‎（ⅰ）若，即，在的定义域内，故无极值．‎ ‎（ⅱ）若，则或．‎ 若，，．‎ 当时，，当时，，所以无极值．‎ 若，，，也无极值．‎ ‎（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根 ‎，．‎ 当时，，从而在的定义域内没有零点，‎ 故无极值．‎ 当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，‎ 由极值判别方法知在取得极值．‎ 综上，存在极值时，的取值范围为．‎ 的极值之和为 ‎．‎ ‎19、（Ⅰ），‎ 因为函数在及取得极值，则有，．‎ 即 解得，．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，‎ ‎．‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 所以，当时，取得极大值，又，．‎ 则当时，的最大值为．‎ 因为对于任意的，有恒成立，‎ 所以　，‎ 解得　或，‎ 因此的取值范围为．‎ ‎20、解：（1）求函数的导数：．‎ ‎ 曲线在点处的切线方程为：‎ ‎ ，‎ ‎ 即 ．‎ ‎（2）如果有一条切线过点，则存在，使 ‎ ．‎ 于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程 ‎ ‎ 有三个相异的实数根．‎ 记 ，‎ 则 ．‎ 当变化时，变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；‎ 当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；‎ 当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．‎ 综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则 即 ．‎ ‎21、解：（Ⅰ）的定义域为，恒成立，，‎ ‎，即当时的定义域为．‎ ‎（Ⅱ），令，得．‎ 由，得或，又，‎ 时，由得；‎ 当时，；当时，由得，‎ 即当时，的单调减区间为；‎ 当时，的单调减区间为．‎ ‎22、（I）解：．‎ 由，得 ‎．‎ 因为当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 故所求函数的单调递增区间是，，‎ 单调递减区间是．‎ ‎（II）证明：（i）方法一：‎ 令，则 ‎，‎ 当时，由，得．‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以在内的最小值是．‎ 故当时，对任意正实数成立．‎ 方法二：‎ 对任意固定的，令，则 ‎，‎ 由，得．‎ 当时，．‎ 当时，，‎ 所以当时，取得最大值．‎ 因此当时，对任意正实数成立．‎ ‎（ii）方法一：‎ ‎．‎ 由（i）得，对任意正实数成立．‎ 即存在正实数，使得对任意正实数成立．‎ 下面证明的唯一性：‎ 当，，时，‎ ‎，，‎ 由（i）得，，‎ 再取，得，‎ 所以，‎ 即时，不满足对任意都成立．‎ 故有且仅有一个正实数，‎ 使得对任意正实数成立．‎ 方法二：对任意，，‎ 因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：‎ ‎，‎ 即， ①‎ 又因为，不等式①成立的充分必要条件是，‎ 所以有且仅有一个正实数，‎ 使得对任意正实数成立．‎ ‎23、本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．‎ 解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．‎ ‎，，由题意，．‎ 即由得：，或（舍去）．‎ 即有．‎ 令，则．于是 当，即时，；‎ 当，即时，．‎ 故在为增函数，在为减函数，‎ 于是在的最大值为．‎ ‎（Ⅱ）设，‎ 则．‎ 故在为减函数，在为增函数，‎ 于是函数在上的最小值是．‎ 故当时，有，即当时，‎ ‎24、解：（I）我们有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ 由于，，故当时，达到其最小值，即 ‎．‎ ‎ （II）我们有．‎ 列表如下：‎ 极大值 极小值 由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为．‎ ‎25、解：（I）由题意知，因此，从而．‎ 又对求导得 ‎．‎ 由题意，因此，解得．‎ ‎（II）由（I）知（），令，解得．‎ 当时，，此时为减函数；‎ 当时，，此时为增函数．‎ 因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．‎ ‎（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需．‎ 即，从而，‎ 解得或．‎ 所以的取值范围为．‎ ‎26、（Ⅰ）解：当时，，得，且 ‎，．‎ 所以，曲线在点处的切线方程是，整理得 ‎．‎ ‎（Ⅱ）解：‎ ‎．‎ 令，解得或．‎ 由于，以下分两种情况讨论．‎ ‎（1）若，当变化时，的正负如下表：‎ 因此，函数在处取得极小值，且 ‎；‎ 函数在处取得极大值，且 ‎．‎ ‎（2）若，当变化时，的正负如下表：‎ 因此，函数在处取得极小值，且 ‎；‎ 函数在处取得极大值，且 ‎．‎ ‎（Ⅲ）证明：由，得，当时，‎ ‎，．‎ 由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使，‎ 只要 即 ‎　　　　　　　　①‎ 设，则函数在上的最大值为．‎ 要使①式恒成立，必须，即或．‎ 所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．‎ ‎27、Ⅰ）∵为奇函数，‎ ‎∴‎ 即 ‎∴‎ ‎∵的最小值为 ‎∴‎ 又直线的斜率为 因此，‎ ‎∴，，．‎ ‎（Ⅱ）．‎ ‎　　　，列表如下：‎ 极大 极小 ‎　　　所以函数的单调增区间是和 ‎∵，，‎ ‎∴在上的最大值是，最小值是．‎ ‎28、解：（Ⅰ），由已知，‎ 即解得 ‎，，，．‎ ‎（Ⅱ）令，即，‎ ‎，或．‎ 又在区间上恒成立，．‎ ‎29、解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，‎ ‎ 由已知得：，‎ ‎ ‎ ‎ 椭圆的标准方程为．‎ ‎ （Ⅱ）设．‎ ‎ 联立 ‎ 得 ，则 ‎ ‎ ‎ 又．‎ ‎ 因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，‎ ‎ ，即．‎ ‎ ．‎ ‎ ．‎ ‎ ．‎ ‎ 解得：，且均满足．‎ ‎ 当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；‎ ‎ 当时，的方程为，直线过定点．‎ ‎ 所以，直线过定点，定点坐标为．‎ ‎30、证明：因为，所以的定义域为．‎ ‎ ．‎ ‎ 当时，如果在上单调递增；‎ ‎ 如果在上单调递减．‎ ‎ 所以当，函数没有极值点．‎ ‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ 令，‎ ‎ 将（舍去），，‎ ‎ 当时，随的变化情况如下表：‎ ‎0‎ 极小值 从上表可看出，‎ ‎ 函数有且只有一个极小值点，极小值为．‎ ‎ 当时，随的变化情况如下表：‎ ‎0‎ 极大值 ‎ 从上表可看出，‎ 函数有且只有一个极大值点，极大值为．‎ ‎ 综上所述，‎ ‎ 当时，函数没有极值点；‎ ‎ 当时，‎ ‎ 若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为．‎ ‎ 若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为．‎ ‎31、解：（Ⅰ）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：‎ ‎ ．‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ ．‎ ‎ 令得或（不合题意，舍去）．‎ ‎ ，．‎ ‎ 在两侧的值由正变负．‎ ‎ 所以（1）当即时，‎ ‎ ．‎ ‎（2）当即时，‎ ‎，‎ 所以 答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）．‎ ‎32、解：‎ 每个点落入中的概率均为．‎ 依题意知．‎ ‎（Ⅰ）．‎ ‎（Ⅱ）依题意所求概率为，‎ ‎．‎ ‎33、（Ⅰ）解：当时，，，‎ 又，．‎ 所以，曲线在点处的切线方程为，‎ 即．‎ ‎（Ⅱ）解：．‎ 由于，以下分两种情况讨论．‎ ‎（1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ 极小值 极大值 所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．‎ 函数在处取得极小值，且，‎ 函数在处取得极大值，且．‎ ‎（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．‎ 函数在处取得极大值，且．‎ 函数在处取得极小值，且．‎ ‎34、（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是 ‎（Ⅱ）证法一：因 证法二：‎ 因 而 故只需对和进行比较。‎ 令，有 由，得 因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值 故当时，，‎ 从而有，亦即 故有恒成立。‎ 所以，原不等式成立。‎ ‎（Ⅲ）对，且 有 又因，故 ‎∵，从而有成立，‎ 即存在，使得恒成立．‎ ‎35、解：（Ⅰ）由题意知，的定义域为，‎ 设，其图象的对称轴为，‎ ‎．‎ 当时，，‎ 即在上恒成立，‎ 当时，，‎ 当时，函数在定义域上单调递增．‎ ‎（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．‎ ‎②时，有两个相同的解，‎ 时，，‎ 时，，‎ 时，函数在上无极值点．‎ ‎③当时，有两个不同解，，，‎ 时，，，‎ 即，．‎ 时，，随的变化情况如下表：‎ www.ks5u.com 高考资源网 极小值 由此表可知：时，有惟一极小值点，‎ 当时，，‎ ‎，‎ 此时，，随的变化情况如下表：‎ 极大值 极小值 由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；‎ 综上所述：‎ 时，有惟一最小值点；‎ 时，有一个极大值点和一个极小值点；‎ 时，无极值点．‎ ‎（Ⅲ）当时，函数，‎ 令函数，‎ 则．‎ 当时，，所以函数在上单调递增，‎ 又．‎ 时，恒有，即恒成立．‎ 故当时，有．‎ 对任意正整数取，则有．‎ 所以结论成立．‎ ‎36、解：设长方体的宽为，则长为，‎ 高为．‎ 故长方体的体积为．‎ 从而．‎ 令，解得（舍去）或，因此．‎ 当时，；当时，．‎ 故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值．‎ 从而最大体积，此时长方体的长为，高为．‎ 答：当长方体的长为，宽为，高为时，体积最大，最大体积为．‎ ‎37、解：(1) 由 得 ‎ ‎ ‎ (2) ‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 数列是一个首项为 ，公比为2的等比数列；‎ ‎ ‎ ‎38、解：的定义域为．‎ ‎（Ⅰ）．‎ 当时，；当时，；当时，．‎ 从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为．‎ 又．‎ 所以在区间的最大值为．‎ ‎39、（Ⅰ）解：当时，，，‎ 又，．‎ 所以，曲线在点处的切线方程为，‎ 即．‎ ‎（Ⅱ）解：．‎ 由于，以下分两种情况讨论．‎ ‎（1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ 极小值 极大值 所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．‎ 函数在处取得极小值，且，‎ 函数在处取得极大值，且．‎ ‎（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．‎ 函数在处取得极大值，且．‎ 函数在处取得极小值，且．‎ ‎40、解：求函数的导数．‎ ‎（Ⅰ）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．‎ 所以 当时为增函数，，由，得．‎ ‎（Ⅱ）在题设下，等价于　即．‎ 化简得．‎ 此不等式组表示的区域为平面上三条直线：．‎ 所围成的的内部，其三个顶点分别为：．‎ b a ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ O 在这三点的值依次为．‎ 所以的取值范围为．‎