2017-2018学年江西省横峰中学高二上学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年江西省横峰中学高二上学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年江西省横峰中学高二上学期第一次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．某市A，B，C三个区共有高中学生20 000人，其中A区高中学生7 000人，现采用分层抽样的方法从这三个区所有高中学生中抽取一个容量为600人的样本进行学习兴趣调查，则A区应抽取(　　)‎ A. 200人 B. 205人 C. 210人 D. 215人 ‎【答案】C ‎【解析】由题意知A区在样本中的比例为，‎ ‎∴A区应抽取的人数是×600=210.‎ 故选C.‎ ‎2．设x，y满足x＋4y＝40，且x，y都是正数，则lgx＋lgy的最大值是(　　)‎ A. 40 B. 10 C. 4 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵x+4y=40，‎ ‎∴，‎ 即xy⩽100，当且仅当x=4y=20取等号。‎ ‎∴，‎ 故lgx+lgy的最大值是2.‎ 故选：D.‎ 点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ ‎3．若正数满足，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知可得，则，所以的最小值，应选答案D。‎ ‎4．运行以下程序时，执行循环体的次数是(　　)‎ i=1‎ Do i=i+1‎ i=ii Loop While i<10‎ 输出i A. 2 B. 8 C. 10 D. 11‎ ‎【答案】A ‎【解析】A第一次执行循环体，‎ i ＝1，‎ i ＝ i ＋1＝2，‎ i ＝ i · i ＝4，‎ i ＝4＜10，成立 第二次执行循环体 i ＝ i ＋1＝5‎ i ＝ i · i ＝25‎ i ＝25＜10，不成立，‎ 退出循环，共执行了2次循环体.‎ 故选A.‎ ‎5．执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值为（ ）‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：输入，则，；‎ 进入循环体，，否，，，否，，，此时，输出，则，选B.‎ ‎【考点】算法与程序框图 ‎6．不等式组表示的平面区域是(　　)‎ A. 矩形 B. 三角形 C. 直角梯形 D. 等腰梯形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 原不等式组化为：或，‎ 画出它们表示的平面区域，如图所示是一个等腰梯形。‎ 故选D.‎ ‎7．不等式组表示的平面区域的面积为，则a＝(　　)‎ A. B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 不等式组所围成的区域如图所示。‎ ‎∵其面积为,设C(m,m+1)，‎ 则，‎ 即 解得m=5，‎ ‎∴C的坐标为(5,6)，‎ 代入ax−y−2a=0，‎ 得a=2.‎ 故选C.‎ ‎8．对某市人民公园一个月(30天)内每天游玩人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是(　 　)‎ A. 46,45,56 B. 46,45,53 C. 47,45,56 D. 45,47,53‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可．‎ 解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为第15和16个数的平均值：=46．‎ 众数是45，极差为：68﹣12=56．‎ 故选：A．‎ ‎【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．‎ ‎9．某同学设计了如图所示的算法框图用以计算和式1×10+3×12+5×14+…+19×28的值，则在判断框中可以填写的表达式为(　　)‎ A. i≥19 B. i>20 C. i>21 D. i<21‎ ‎【答案】B ‎【解析】该程序是计算1×10+3×12+5×14+…+19×28的值，最后一次进行循环时i的值为19，由i=i+2满足判断条件，则终止循环并输出S，可知判断框中应填“i＞20？”.‎ 故选B.‎ 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎10．设正实数满足，则当取得最大值时， 的最大值为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】x，y，z为正实数，且，根据基本不等式得，当且仅当x=2y取等号，所以x=2y时， 取得最大值1。此时， ，当时取最大值1， 的最大值为1。‎ 本题选择A选项.‎ 视频 ‎11．已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差为，则数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2的平均数为(　　)‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵设正数x1，x2，x3，x4的平均数为，则方差为 ‎.‎ 所以.解得.‎ ‎∴x1+2，x2+2，x3+2，x4+2的平均数为 ‎.‎ 故选D.‎ ‎12．给出下列语句：‎ ‎①若a，b为正实数，a≠b，则a3＋b3＞a2b＋ab2；‎ ‎②若a，b，m为正实数，a＜b，则；‎ ‎③若＞，则a＞b；‎ ‎④当x∈时，sin x＋的最小值为2，‎ 其中结论正确的个数为(　　)‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于①,若a,b∈R+，a≠b，‎ ‎∵，‎ 故>正确；‎ 对于②,若a,b,m∈R+，an不成立，执行S=1+2×1=3，k=2+1=3；‎ 判断3>n不成立，执行S=1+2×3=7，k=3+1=4；‎ 判断4>n不成立，执行S=1+2×7=15，k=4+1=5.‎ 此时S=15∈(10,20)，是输出的值，说明下一步执行判断时判断框中的条件应该满足，‎ 即5>n满足，所以正整数n的值应为4.‎ 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ 视频 ‎14．已知a＞b＞0，则a2＋取最小值时b的值为________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】因为,所以,所以.‎ 当且仅当，即时等号成立.‎ 所以＋.‎ 当且仅当，即时等号成立.‎ 此时.‎ 点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ 三、解答题 ‎15．用系统抽样从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】不妨设在第1组中随机抽到的号码为， 则在第16组中应抽出的号码为120+． 设第1组抽出的号码为， 则第16组应抽出的号码是8×15+=126， ∴=6． 故答案为：6．‎ ‎16．已知x>0，则的最大值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵x>0‎ ‎∴‎ 当且仅当即x=2时取等号 故的最大值为 故答案为：.‎ ‎17．已知实数x，y满足.‎ ‎(1)求ω＝x2＋y2的最大值和最小值；(2)求t＝的最大值、最小值．‎ ‎【答案】（1）13,0.8；（2）3，.‎ ‎【解析】试题分析：首先画出不等式组表示的平面区域，关键目标函数的几何意义求最值．（1）目标函数看作区域内的点到原点距离平方的最值；（2）表示过(−1,−1)以及区域内的点的直线的斜率.‎ 试题解析：‎ 由已知不等式组表示的平面区域如图 ‎ (1) ω＝x2＋y2表示区域内的点到原点距离平方的最值,所以最大值为B的原点距离的平方,为；最小值是A的原点距离的平方，为1.‎ ‎(2) t＝表示过(−1,−1)以及区域内的点的直线的斜率,所以最大值为与C连线的斜率为,最小值为与A连线的斜率为；‎ 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎18．(1)求函数的最小值；‎ ‎（2）已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，求证：.‎ ‎【答案】（1）9；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）变形利用基本不等式的性质即可得出；‎ ‎（2）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论．‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为x＞－1，所以x＋1＞0，‎ 所以y＝＝‎ ‎＝(x＋1)＋＋5≥2＋5＝9.‎ 当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立．‎ 所以当x＝1时，函数y＝ (x＞－1)的最小值为9.‎ ‎（2）证明　∵(x＋y＋z)‎ ‎＝14＋＋＋＋＋＋≥14＋4＋6＋12＝36，‎ ‎∴＋＋≥36，当且仅当x2＝y2＝z2，即x＝，y＝，z＝时，等号成立．‎ ‎19．为了了解学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为，第二小组频数为.‎ ‎（1）学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？‎ ‎（2）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？‎ ‎（3）若次数在以上（含次）为良好，试估计该学校全体高一学生的良好率是多少？‎ ‎【答案】（1）中位数落在第四小组内；（2）0.08,150；（3）88%‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据中位数落在的位置，刚好把频率分步直方图分成左右面积相等两部分，计算前三组与前四组的频率和即可得答案；（2）根据各个小矩形的面积之比，求出第二组的频率，再根据所给的频数，求出样本容量．（3）根据频率分步直方图求出次数在110以上的频数，用频数除以样本容量得到达标率，进而估计全体学生的达标率．‎ 试题解析：（1）∵前三组的频率和为，‎ 前四组的频率之和为，∴中位数落在第四小组内.‎ ‎（2）频率为：，又∵频率=，‎ ‎∴样本容量=.‎ ‎（3）由图可估计所求良好率约为：.‎ ‎【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数 ‎20．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：‎ ‎(1)若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程；‎ ‎(2)据(1)的结果估计当销售额为1亿元时的利润额．‎ ‎【答案】（1）＝0.5x＋0.4；（2）当销售额为1亿元时，利润额估计为540万元.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出线性回归系数，可得利润额y对销售额x的回归直线方程； （2）将零售店某月销售额为10千万元代入线性回归方程，计算出y的值，即为此月份该零售点的估计值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）销售额和利润额具有相关关系，列表如下：‎ 所以＝＝0.5，‎ ‎＝－＝3.4－6×0.5＝0.4.‎ 从而得回归直线方程＝0.5x＋0.4.‎ ‎(2)当x＝10时，＝0.5×10＋0.4＝5.4(百万元)．‎ 故当销售额为1亿元时，利润额估计为540万元．‎ ‎21．设函数f(x)=x2+ax+b,‎ ‎（1）若b=1，且f(x)>0解集为R，求a的取值范围。‎ ‎（2）若方程f(x)=0在区间（0,1）和（1，2）上各有一解，求2a－b的取值范围。‎ ‎【答案】（1）-20，即x2+ax+1>0的解集为R，则△=a2-4<0，解得即可， （2）由已知中方程x2+ax+b=0在区间（0，1）和（1，2）上各有一个根，根据方程的根与对应零点之间的关系，结合二次函数图象的性质，易得到f（1）<0，f（2）>0，f（0）>0．画出约束条件表示的可行域，即可求解2a-b的范围．‎ 试题解析：‎ ‎(1)b=1,且f(x)>0,即x2+ax +1>0的解集为R，‎ ‎∴△=−4<0，‎ 解得−20,f(0)>0.‎ ‎∴f(1)=a+b+1<0…①，‎ f(2)=4+2a+b>0…②，‎ f(0)=b>0…③‎ 画出约束条件①②③表示的可行域如图：则2a−b=z，‎ 经过可行域的A点即解得A(−2,3)时取得最小值为：−8，‎ 经过即B(−1,0)，2a−b取得最大值−2，‎ ‎2a−b的取值范围用区间表示为(−8,−2)‎ ‎22．若函数f(x)＝tx2－(22t＋60)x＋144t(x＞0)．‎ ‎(1)要使f(x)≥0恒成立，求t的最小值；‎ ‎(2)令f(x)＝0，求使t＞20成立的x的取值范围．‎ ‎【答案】（1）30；（2）(9，16).‎ ‎【解析】试题分析：（1）)因为x2－22x＋144＞0，所以要使不等式f(x)≥0恒成立，即tx2－(22t＋60)x＋144t≥0(x＞0)恒成立，等价于t≥ (x＞0)恒成立，求函数最值即可；‎ ‎（2）由f(x)＝0，得t=，即可解＞20即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1)因为x2－22x＋144＞0，所以要使不等式f(x)≥0恒成立，即tx2－(22t＋60)x＋144t≥0(x＞0)恒成立，等价于t≥ (x＞0)恒成立，‎ 由＝≤＝30(x＞0)，‎ 当且仅当x＝，即x＝12时，等号成立，‎ 所以当t≥30时，不等式tx2－(22t＋60)x＋144t≥0恒成立，t的最小值为30.‎ ‎(2)由t＞20，得＞20，整理得x2－25x＋144＜0，即(x－16)(x－9)＜0，解得9＜x＜16，所以使t＞20成立的x的取值范围为(9，16).‎