天津市天津中学2020届高三3月在线月考数学试卷

天津市天津中学2020届高三3月在线月考数学试卷

天津中学2020年3月高三在线月考数学试卷 一．选择题 ‎1.已知，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求解集合,然后求解.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以.故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算，先化简集合是求解此类问题的关键，题目属于简单题，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎2.已知实数,，则“”是“”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断.‎ ‎【详解】 且 ，‎ ‎ ，‎ 等号成立的条件是，‎ 又 ， ‎ ‎ ，‎ 等号成立的条件是,‎ ‎，‎ 反过来，当时，此时，但 ，不成立，‎ ‎ “”是“”的充分不必要条件.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.‎ ‎3.函数的图像大致为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.‎ 详解：函数过定点，排除，‎ 求得函数的导数，‎ 由得，‎ 得或，此时函数单调递增，排除，故选D.‎ 点睛：本题通过对多个图象选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.‎ 解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.‎ ‎4.在三棱锥中，平面，且为等边三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出的外接圆半径，利用公式可得出外接球的半径，进而可得出三棱锥的外接球的表面积.‎ ‎【详解】的外接圆半径为，‎ 底面，所以，三棱锥的外接球半径为，‎ 因此，三棱锥的外接球的表面积为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的公式计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎5.如图是某学校的教研处根据调查结果绘制的本校学生每天放学后的自学时间情况的频率分布直方图：根据频率分布直方图，求出自学时间的中位数和众数的估计值（精确到）分别是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据中位数左边的矩形面积之和为可求得中位数，利用最高矩形底边的中点值可得出众数.‎ ‎【详解】由频率分布直方图得，自学时间在的频率为，‎ 自学时间在的频率为，‎ 所以，自学时间的中位数为，众数为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查中位数、众数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎6.已知定义在R上的奇函数满足，且在区间[1，2]上是减函数，令，，，则的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由满足，且在区间[1，2]上是减函数，确定在上是增函数，再由奇函数性质得在上递增，在上单调递增．然后把自变量的值都转化到上，比较大小．‎ ‎【详解】设，则，又在上递减，∴，而，，∴，即，∴在是递增，‎ ‎∵是奇函数，∴在上递增，从而在上单调递增，，‎ ‎，，，，‎ ‎∴由得，即．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解题关键是确定函数的单调性，难点在于由满足，且在区间[1，2]上是减函数，确定在上是增函数，然后就是这类问题的常规解法，确定出上单调性，转化比较大小．‎ ‎7.已知双曲线:的左、右焦点分别为、.若双曲线的右支上存在点，使，并且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线的定义求出，结合正弦定理求出的值，进而可求得双曲线的离心率为的值.‎ ‎【详解】由题意得，由于点在双曲线的右支上，由双曲线的定义得，‎ 解得，‎ 在中，由正弦定理得，又，‎ 所以，，即，，因此，双曲线的离心率为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，涉及双曲线定义的应用以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎8.关于函数有下述四个结论：‎ ‎①的周期为；‎ ‎②在上单调递增；‎ ‎③函数在上有个零点；‎ ‎④函数的最小值为.‎ 其中所有正确结论的编号为（ ）‎ A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用特殊值法可判断①的正误；当时，化简函数 的解析式，利用整体代入法验证函数在区间上的单调性，可判断②的正误；求得方程在区间上的实数解，可判断③的正误；分别求出函数在区间和上的最小值，比较大小后可判断④的正误.综合可得出结论.‎ ‎【详解】对于①，，，‎ ‎，，所以，函数的周期不是，命题①错误；‎ 对于②，当时，，则，‎ 所以，函数在区间上不单调，命题②错误；‎ 对于③，，‎ 且该函数的定义域为，则函数为偶函数，‎ 当时，，，‎ 令，可得或，解得或，‎ 由于函数为偶函数，则方程在区间上的实根为.‎ 所以，函数在上有个零点，命题③正确；‎ 对于④，当时，，‎ 所以，函数在上的最小值为，‎ 由于函数为上的增函数，则该函数在上的最小值为.‎ 因此，函数的最小值为，命题④正确.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查正弦型函数基本性质的判断，涉及正弦型函数周期性、单调性、零点以及最值的判断，去绝对值，化简函数解析式是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎9.已知函数，函数恰有三个不同的零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，由可得，可转化为直线与函数的图象有三个交点，考查直线与曲线和曲线相切的临界位置，利用数形结合思想可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】令，由可得，‎ 则直线与函数的图象有三个交点，‎ 如下图所示：‎ ‎ ‎ 当直线与曲线在相切时，‎ 由，整理得，所以，，‎ 解得.‎ 当直线与曲线在时相切，‎ 由整理得，所以，，‎ 解得.‎ 由图象可知，当或时，直线与曲线有三个交点，因此，实数的取值范围是.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，解答的关键就是要分析出直线与曲线相切这一临界位置，考查数形结合思想的应用，属于难题.‎ 二．填空题 ‎10.若，其中、都是实数，是虚数单位，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数除法和复数相等的知识得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，利用复数的模长公式可得出的值.‎ ‎【详解】，则，解得，‎ 因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查复数模长的计算，涉及复数的除法以及复数相等等知识的应用，建立方程组是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎11.若圆与圆的公共弦的长为，则圆上位于右方的点到的最长距离为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将两圆方程相减可得出公共弦的方程，求出圆的圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式求出正数的值，‎ ‎【详解】将圆与圆相减可得公共弦所在直线的方程为，‎ 所以，圆的圆心到直线的距离为，即，‎ ‎，可得，则直线的方程为.‎ 因此，圆上位于右方的点到的最长距离.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用相交弦长求参数，同时也考查了圆上一点到直线的距离最值的计算，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎12.将的展开式按照的升幂排列，若倒数第三项的系数是，则的值是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出展开式通项，求出展开式倒数第三项的系数表达式，根据已知条件得出关于的方程，即可求得正整数的值.‎ ‎【详解】的展开式按照的升幂排列，则展开式通项为，由题意，‎ 则倒数第三项的系数为，，‎ 整理得，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查根据项的系数求参数，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎13.若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的个小球，其中红球有个，白球有个，每次取两个，取后放回，连续取三次，设随机变量表示取出后都是白球的次数，则______ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出从袋中随机抽取两个球都是白球的概率，可知，然后利用二项分布的期望公式可计算出的值.‎ ‎【详解】从袋中随机抽取两个球都是白球的概率为，‎ 由题意可知，，由二项分布期望公式得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查二项分布期望的计算，解题时要弄清随机变量满足的分布列类型，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎14.已知实数若、满足，则的最小值是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将所求代数式变形为，然后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.‎ ‎【详解】，所以，，‎ ‎，‎ 当且仅当时，即当时，等号成立.‎ 因此，的最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，解题的关键就是对所求代数式进行变形，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎15.如图所示，在中，，，点D是BC的中点，且M点在的内部不含边界，若，则的取值范围______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立如图所示的坐标系，可知，设，由，可得到，，结合点在的内部不含边界，可得，再利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得到答案．‎ ‎【详解】解：建立如图所示坐标系，．‎ 设，，‎ ‎，‎ ‎，．‎ 点在的内部不含边界，‎ ‎．‎ 则，‎ 因为，所以，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查了向量数量积运算性质、向量相等、二次函数的单调性等知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 三．解答题 ‎16.在中，分别为三个内角的对边，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若求和的值.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化为，由余弦定理可得，从而可得结果；（2）由余弦定理求得，再由正弦定理求得，根据二倍角的正弦、余弦公式，结合两角差的正弦公式可得结果.‎ ‎【详解】（1）由已知，得：，‎ 由余弦定理，得：，，‎ 即，又,所以.‎ ‎（2）‎ ‎ ，‎ 又 ，‎ ‎ ，‎ ‎,，‎ ‎ .‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用以及二倍角公式的应用，属于中档题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎17.如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面．‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成二面角的正弦值；‎ ‎（3）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段 的长．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，可得出，即，利用线面平行的判定定理可得出结论；‎ ‎（2）取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出平面与平面所成二面角的余弦值，进而可得出其正弦值；‎ ‎（3）设，，计算出的坐标，结合直线与平面所成角的正弦值为求得实数的值，进而可求得的长.‎ ‎【详解】（1）如下图所示，设，取的中点，连接、，‎ 四边形为矩形，，为的中点，‎ 为的中点，且，‎ ‎，，且，‎ 所以，四边形为平行四边形，则，即，‎ 平面，平面，平面；‎ ‎（2）四边形为矩形，则，平面平面，平面平面，平面，平面，‎ 取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则、、、，‎ 设平面的法向量为，，，‎ 由，令，则，，，‎ 设平面的法向量为，，，‎ 由，令，则，，则，‎ ‎，，‎ 因此，平面与平面所成二面角的正弦值为；‎ ‎（3）点在线段上，设，‎ ‎，‎ 由题意得，‎ 整理得，，解得，此时，则.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．‎ ‎18.已知椭圆的左、右焦点分别为、，且，椭圆经过点 ‎. ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线过椭圆右顶点，交椭圆于另一点，点在直线上，且.若，求直线的斜率．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用椭圆的定义可求得的值，利用可求得的值，进而可求得椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，由题中条件求出点的坐标，由得出，据此计算出实数的值，进而可求得直线的斜率.‎ ‎【详解】（1）易知点，由椭圆的定义得，‎ ‎，，‎ 因此，椭圆的方程为；‎ ‎（2）由题意可知，直线的斜率存在，且斜率不为零，‎ 设直线的方程为，设点，‎ 联立，消去得，则，，‎ 所以，点的坐标为，‎ ‎，则，可得，所以，点的坐标为，‎ ‎，则，‎ ‎，，‎ 所以，，解得，‎ 因此，直线的斜率为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了利用直线垂直求直线的斜率，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎19.设是等比数列的公比大于，其前项和为，是等差数列，已知，，，.‎ ‎（1）求，的通项公式 ‎（2）设，数列的前项和为，求；‎ ‎（3）设，其中,求 ‎【答案】（1），；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等比数列的公比为，则，设等差数列的公差为，利用等比数列的通项公式可求得的值，利用等差数列的通项公式建立有关和的方程组，解出这两个未知数，再利用等比数列和等差数列的通项公式可求得这两个数列的通项公式；‎ ‎（2）由，利用裂项相消法可求得；‎ ‎（3）求得，可得，通过分组求和以及错位相减法即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）设等比数列的公比为，则，设等差数列的公差为，‎ ‎，由，得，，解得，则.‎ 由，得，解得，则；‎ ‎（2），‎ ‎；‎ ‎（3）由，其中 可得，‎ ‎，‎ 其中，‎ 设，‎ 则，‎ 两式相减得 整理得，‎ 则，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列和等比数列通项的求解，同时也考查了裂项求和法与错位相减法求和，考查计算能力，是一道难度较大的题目.‎ ‎20.已知函数，．‎ ‎（1）若在点处的切线与直线垂直，求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）若对于，恒成立，求正实数的取值范围；‎ ‎（3）设函数，且函数有极大值点，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由求得实数的值，可求出切点坐标，再利用点斜式方程可得出所求切线的方程；‎ ‎（2）令，且有，对实数进行分类讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性，结合可求得实数的取值范围；‎ ‎（3）由题意得出，可得出，且，代入，利用导数证明出对任意的恒成立即可.‎ ‎【详解】（1），则，‎ 直线斜率为，由题意可得，解得，‎ 所以，，则，则点，‎ 因此，所求切线的方程为，即；‎ ‎（2），恒成立，即恒成立，‎ 令，其中，且，则对恒成立，‎ ‎.‎ ‎①当时，对任意的，，此时，函数在上单调递增，此时，，不合乎题意；‎ ‎②当时，则.‎ ‎（i）若，则，对，，此时，函数在上单调递减，则，合乎题意；‎ ‎（ii）若，则，‎ 令，得，解得，，‎ 由韦达定理得，则必有，‎ 当时，，此时，函数单调递增；当时，，此时，函数单调递减.‎ 所以，，不合乎题意.‎ 综上所述，实数的取值范围是；‎ ‎（3），所以，，‎ 函数的定义域为，‎ 由于函数有极大值点，则，解得或.‎ 设方程的两根分别为、，则，‎ 若，则且，不合乎题意；‎ 若，则且，合乎题意.‎ 由于函数的极大值点为，则，即，‎ 当时，；当时，；当时，.‎ 且，可得，‎ 令，‎ ‎，‎ 当时，，则，此时.‎ 所以，函数在区间上单调递减，‎ 因为，则，因此，.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求切线方程，利用导数研究不等式恒成立以及证明不等式，利用导数研究函数的单调性是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.‎