数学卷·2018届天津市南开中学高三上学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

数学卷·2018届天津市南开中学高三上学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

天津南开中学2018届高三第一次月考 数 学（文史类）‎ 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第I卷1至2页，第II卷3至4页。‎ 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。答卷时，学生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。‎ 祝各位考生考试顺利！‎ 第1卷 注意事项：‎ ‎ 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎ 2.本卷共10小题，每小题6分，共60分 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合,,则（ ） ‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】集合 , ,则 ,故选D.‎ 点睛: 1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．‎ ‎2. 已知命题使；命题，则下列判断正确的是（ ）‎ 为真 为假 为真 为假 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：根据正弦函数的值域可知命题为假命题，设，则 ‎，所以在上单调递增，所以，即在上恒成立，所以命题为真命题，为假命题，故选B.‎ 考点：复合命题真假性判断.‎ ‎3. 已知条件，条件，则是成立的（ ）‎ 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既非充分也非必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】条件 ,解得,则;条件 ,即,解得;则是成立的必要不充分条件,故选B.‎ ‎4. 若，则的值为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】A ‎【解析】略 ‎5. 已知，则的大小关系为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】,且, , ,故选D.‎ ‎6. 将函数的图象上向左平移个单位，再向上平移3个单位，得到函数的图象，则解析式为（_____）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 函数的图象上向左平移个单位,可得,再向上平移3个单位可得,故选B.‎ ‎7. 在中，角的对边分别为,若，则角的值为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：因为根据余弦定理可知 故选C。‎ ‎8. 过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围是（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎【解析】,斜率,解得倾斜角 ,故选B.‎ ‎9. 在中，(分别为角的对边)，则的形状为（ ）‎ 直角三角形 等边三角形 等腰三角形 等腰三角形或直角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】,,解得,即角C为直角, 则的形状为直角三角形,故选A.‎ ‎10. 已知,若时，，则的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为函数是在上单调递增的奇函数,所以可化简为,即在时恒成立, , 则,又在上单调递增, , ,故选C.‎ 点睛:本题考查函数的奇偶性和单调性的应用,属于中档题目.题目中给出的函数,先判断出是定义在R上单调递增的奇函数,对原不等式进行移项化简,成为二次不等式的恒成 立问题,通过对不等式参变分离,转化为求分离后所得的对勾函数的最大值,将最值代入可求出参数a的取值范围.‎ 二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。‎ ‎11. 函数定义域是________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得,解得,故应填.‎ ‎12. 已知函数与，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】两个函数图象有一个横坐标为的交点，且函数过,,又, ,,解得,故填.‎ ‎13. 化简：‎ ‎ ___________________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】化简原式 =故填.‎ ‎14. 若对恒成立，则实数的取值范围是________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对,可化简为恒成立,画出和的图象如图所示,要使不等式成立,需满足,解得,故应填.‎ ‎15. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则实数的取值范围为______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数是定义在R上的偶函数,则 ,原不等式可化简为,又函数在区间上单调递增， ,解得,故应填.‎ ‎16. 已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为_______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】若函数有三个不同的零点，则在时与x轴只能有一个交点,又指数函数恒过点(0,1),即函数图象向下平移不超过一个单位, 即,解得;当时,函数的对称轴为,此时函数与x轴有两个交点,只需,即,解得或,综上可得, ,故应填.‎ 点睛: 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路:(1)直接法：直接根据题设条件 构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ 三.解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.‎ ‎17. 已知，.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求的值.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用 即可求解；‎ ‎（2）由，根据条件即可求解.‎ 试题解析：‎ ‎（1） ．‎ ‎（2）因为，所以，所以，，‎ 因为，，所以，，‎ 所以 ．‎ 点睛：在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法为——配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和差的公式展开求值即可.‎ ‎18. 已知函数.‎ ‎(1)求函数的最小正周期和函数的单调递增区间；‎ ‎(2)若函数的对称中心为，求的所有的和.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2) .‎ ‎【解析】试题分析:(1)由二倍角公式以及两角和与差的正弦公式化简函数,根据正弦函 数的图象和性质求出最小正周期和单调递增区间;(2) 函数的对称中心为，即,解出的值求和即可.‎ 试题解析:‎ ‎(1)由题得：‎ 所以，所以.‎ 令，‎ 得递增区间为.‎ ‎(2)令，可得.‎ 因为，所以可取.‎ 所以所有满足条件的的和为.‎ ‎19. 在中，角所对的边分别为，已知.‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若，且，求边；‎ ‎(3)若，求周长的最大值.‎ ‎【答案】(1) ;(2) ;(3) .‎ ‎【解析】试题分析:(1)由正弦定理化简题中给出的等式,再根据余弦定理可求出角;(2)由正弦定理和三角形的面积公司可求出,再用余弦定理求出b边;(3)由余弦定理和基本不等式放缩即可求得三角形周长的最大值.‎ 试题解析:‎ ‎ (1)中，因为，所以，‎ 所以，‎ 所以 所以，‎ 所以.‎ ‎(2)由正弦定理得：，‎ 又，得，所以，所以 又由余弦定理：‎ 所以 ‎(3)由余弦定理：‎ 所以，当且仅当时等号成立.‎ 故，即周长最大值为.‎ 点睛:本题考查正余弦定理解决三角形问题以及基本不等式的应用. 在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ ‎20. 已知函数.‎ ‎(1)求函数的单调区间；‎ ‎(2)若存在两条直线都是曲线的切线，求实数的取值范围；‎ ‎(3)若在，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2) ;(3) .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ），对a进行分类讨论：当时，，则函数的单调递减区间是．当时，令，得．的单调递减区间是，单调递增区间是；（Ⅱ）因为 存在两条直线，都是曲线的切线，‎ 所以至少有两个不等的正实根，令得，记其两个实根分别为．‎ 则解得．再说明当时，曲线在点处的切线分别为，是两条不同的直线即可；（Ⅲ）只需分类讨论．‎ 试题解析：（Ⅰ）． 1分 当时，，则函数的单调递减区间是． 2分 当时，令，得．‎ 当变化时，，的变化情况如下：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎↘ ‎ 极小值 ‎ ‎↗ ‎ ‎ ‎ 所以的单调递减区间是，单调递增区间是． 4分 ‎（Ⅱ）因为 存在两条直线，都是曲线的切线，‎ 所以至少有两个不等的正实根． 5分 令得，记其两个实根分别为．‎ 则解得． 7分 当时，曲线在点处的切线分别为，．‎ 令．‎ 由得（不妨设），且当时，，即在上是单调函数．‎ 所以．‎ 所以，是曲线的两条不同的切线．‎ 所以 实数的取值范围为． 9分 ‎（Ⅲ）当时，函数是内的减函数．‎ 因为，‎ 而，不符合题意． 11分 当时，由（Ⅰ）知：的最小值是．‎ ‎（ⅰ）若，即时，，‎ 所以，符合题意．‎ ‎（ⅱ）若，即时，．‎ 所以，符合题意．‎ ‎（ⅲ）若，即时，有．‎ 因为，函数在内是增函数，‎ 所以 当时，．‎ 又因为 函数的定义域为，‎ 所以．‎ 所以符合题意．‎ 综上所述，实数的取值范围为． 14分 考点：导数与函数的综合 ‎ ‎ ‎ ‎