难点05 以数列为载体的综合问题-2017年高考数学二轮核心考点总动员

难点05 以数列为载体的综合问题-2017年高考数学二轮核心考点总动员

‎2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第二篇 ‎ 难点5 以数列为载体的综合问题 ‎【热点考法】本难点主要考查由复杂递推关系求解数列的通项公式、复杂数列求和问题、数列与不等式的结合问题、数列中的探索问题、数列的实际应用问题，考查归纳推理、类比推理及逻辑推理的能力及运算求解能力，题型为选择填空或解答题，难度为中档或难题，分值为5至12分..‎ ‎【热点考向】‎ 考向一 由复杂递推关系求数列的通项公式 ‎【解决法宝】递推公式是给出数列的一种重要方法，利用递推关系式求数列的通项时，通常将所给递推关系式进行适当的变形整理,如累加、累乘、待定系数等，构造或转化为等差数列或等比数列，然后求通项. ‎ 例1 【贵州省贵阳市第一中学2017届高三下学期第六次适应性考试】已知数列的首项，且满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，且，令，求证：．‎ ‎（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析 ‎【解析】（Ⅰ）设数列的前项和为，‎ 由已知可得：，‎ ‎∴当时，即相减，‎ ‎，‎ ‎， ‎ ‎， ‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎． ‎ ‎（Ⅱ）证明：， ‎ ‎， ‎ ‎．‎ 考向二 复杂数列求和 ‎【解决法宝】‎ ‎1．倒序相加法：如果一个数列，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，等差数列的前项和即是用此法推导的．‎ ‎2．分组转化求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．‎ ‎3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，等比数列的前项和就是用此法推导的．‎ ‎4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．‎ 例2【2016届江西师大附中高三上学期期末】定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由定义可知，，可求得， ，,进一步利用“裂项求和法”.‎ ‎【解析】‎ 例3【2017届河南省洛阳一高高三下第三次月考】已知函数，且，则（ ）‎ A.50 B.60 C. 70 D.80 ‎ ‎【分析】本题是一个利用分段函数构造特殊数列的数列求和问题，属于难题.解决本题的基本思路是首先根据所给的分段函数写出数列的前若干项，并从中探索出来一般的规律，即，，，，，进而可求出前项的和.‎ 例4【山东省淄博市2017届高三3月模拟】数列是公差为正数的等差数列，和是方程的两实数根，数列满足.‎ ‎（Ⅰ）求与；‎ ‎（Ⅱ）设为数列的前项和，求，并求时的最大值.‎ ‎【分析】（Ⅰ）依题意运用韦达定理及可得，从而可得数列的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）可得，运用错位相减法可得，运用，得为递增数列，且，可得结果.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由, 且,得.‎ 因此, ,因此.‎ ‎,‎ 所以.‎ 考向三 数列与函数、不等式相结合 ‎【解决法宝】以数列与函数、不等式相结合为背景的试题,主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、比较大小、参数取值范围的探求，此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视．预计在高考中，比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现．其中，以函数与数列、不等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点，而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题．‎ 1. 求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：（1）若函数在定义域为，则当时，有恒成立；恒成立；（2）利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得．‎ 1. 求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：（1）建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；（2）首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；（3）利用条件中的不等式关系确定最值．‎ ‎3.此类不等式的证明常用的方法：（1）比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；（2）分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；（3）放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.‎ 例5【2017届云南省昆明市第一中学高三第5次月考】已知数列满足，.‎ ‎（1）证明:数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求使不等式对一切恒成立的实数的范围.‎ ‎【分析】（1）由，化简得，即可得到数列为等差数列，进而可求解数列的通项公式；（2）由，得到，即可利用裂项求和求解数列的和。‎ 例6【2017届福建省泉州市高三3月质量检测】等差数列中，，数列中，．‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）若，求的最大值．‎ ‎【分析】（1）求等差数列通项公式关键求公差,由得,即，解得，最后根据等差数列广义通项公式得,即.再由得.（2）先求和,方法可利用分组求和法将数列求和转化为等比数列求和,再利用数列单调性解不等式，得的最大值为9.‎ ‎【解析】（1）设等差数列的公差为.‎ 由题意，可得，‎ 整理，得，即，解得，‎ 又，故，‎ 所以..‎ ‎（2）‎ 故，‎ 可化为，即，即，‎ 因为在上为增函数，且，‎ 所以的最大值为9. ‎ 考向四 数列中的探索型问题 ‎【解题法宝】以数列为载体的探索性问题，这类问题不仅考查学生的探索能力，而且给学生提供了创新思维的空间，而这类问题有下列三类题型：.‎ 1. 规律探索性问题：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．‎ ‎2.条件探索性问题：对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知的条件入手，执果索因，导出所需的条件．另外，需要注意的是，这一类问题所要求的往往是问题的充分条件，而不一定是充要条件，因此，直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答．‎ ‎3.结论探索性问题：探索结论型问题是指那些题目结论不明确、或者答案不唯一，给同学们留有较大探索余地的试题．一般是由给定的已知条件求相应的结论。它要求同学们充分利用已知条件进行猜想、透彻分析，发现规律、获取结论，这一类问题立意于对发散思维能力的培养和考察，具有开放性，解法活、形式新，无法套用统一的解题模式，不仅有利于考查和区分同学们的数学素质和创新能力，而且还可以有效地检测和区分考生的学习潜能，因而受到各方面的重视，近年来已成为高考试题的一个新亮点．‎ 例7【2017届江苏省涟水中学高三下学期第一次阶段性检测】已知数列的各项为正数，其前项和为满足，设.‎ ‎（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，求的最大值.‎ ‎（3）设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t，使得 成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【分析】（1）已知与的关系式同，要求通项，一般用公式（）求得项递推关系，本题通过这种方法可得是等差数列，从而易得通项公式；（2）也是等差数列，可求出其前项和，结合二次函数的性质可得的最大值；（3）存在性命题，假设存在，然后解方程，得，注意都是正整数，分析可得结论．‎ ‎（2），，∵，∴是等差数列，‎ ‎∴，当时，．‎ ‎（3）由（1）知.要使成等差数列，必须，即，…….整理得， ‎ 因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5. ‎ 当时，；当时，；当时，.‎ 故存在正整数t，使得成等差数列.‎ ‎【热点集训】‎ ‎1. 【2017届辽宁省大连市高三3月双基测试】已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵等差数列的公差，且成等比数列，，∴，解得或，当时，，当时， 取最小值；当时，，， ，设，则，∴当时，取最小值 ．综上，取最小值为．故选：D．‎ ‎2．【2017届安徽省江南十校高三3月联考】《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各德几何.”其意思为“已知五人分5钱，两人所得与三人所得相同，且每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.在这个问题中，所得为( )‎ A.钱 B.钱 C.钱 D.钱 ‎【答案】A ‎【解析】设每人所得依次为，由题设且，即，故，应选答案A。‎ ‎ 3.【2017届河北省定州市高三上学期期末】设函数，则函数的各极大值之和为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎4.【2017河北衡水六调】若数列满足，且对于任意的都有，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】由 得，，则 ，， … ，以上等式相加，得 ，把a1=1代入上式得，，所以，则 ，故选D．‎ ‎5.【2017届河南三门峡市外国高三下学期第2次月】已知数列中的，且（），则数列中的（ ）‎ A. 考 B. C. D.‎ ‎【答案】C.‎ ‎ 6.【2017届河南省郑州市第一中学高三上学期第一次质量检测】已知数列满足（），且对任意都有，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎7.【2017届湖北省黄冈市黄冈中学高三下学期第2次模拟】已知三个数 成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列的前三项，则能使不等式 成立的自然数的最大值为( )‎ A. 9 B. 8 C. 7 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题设可得，即三数为，其倒数为，即该数列的公比是，故不等式可化为，即，也即，所以，应选答案C。‎ ‎8. 【河北省武邑中学2017届高三下学期第一次质检】设的三边长分别为，，若，，，，，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题设可得，即，则归纳可得，由，可知：，即，所以最大，则是三角形中的最大角；又因为，所以，即，所以应选答案B。‎ ‎ 9. 【江西省红色七校2017届高三下学期第二次联考】已知是公比为的等比数列，是的前项和，且，若正数满足：，则的最小值为（ ）．‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ 10. 【2016届安徽省安庆市高三下学期第二次模拟考试】已知数列 是各项均不为零的等差数列,为其前项和,且（）．若不等式对任意恒成立,则实数的最大值为 ．‎ ‎【答案】 9‎ ‎11.【海南省海南中学、文昌中学2017届高三下学期联考】在数列中， ， ，记为的前项和，则__________．‎ ‎【答案】-1007‎ ‎【解析】∵数列满足， ， ∴， ， ，‎ ‎， ， ，… ∴是以4为周期的周期数列， ∵，∴，故答案为.‎ ‎12．【2017届安徽省安庆市高三二模】已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式对任意恒成立，则实数的最大值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 对任意恒成立，也就是对任意 恒成立，所以 ‎ ‎ 13．【2017届浙江省温州中学高三3月模拟】设为数列的前项和，则__‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，；当时，，即，若为偶数，则为奇数）；若为奇数，则，故是偶数）。因为，，所以，同理可得，，，所以 ==.‎ ‎14. 【湖北省稳派教育2017届高三一轮复习质量检测】已知数列满足,且是递减数列，是递增数列，则 =____.‎ ‎【答案】‎ ‎15．【湖南省2017届高三长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学第一次联考】已知函数，数列中，，则数列的前100项之和__________．‎ ‎【答案】10200‎ ‎16.【河南省息县第一高级中学2017届高三下学期第二次阶段测试】已知数列.‎ ‎（1）证明：数列是等差数列；‎ ‎（2）记， 的前项和为，证明： ‎ ‎【解析】（1）∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴数列是以为首项，为公差的等差数列.‎ ‎（2）由（1）知， ，∴，∴.‎ ‎∴.‎ ‎17．【2017届广西省高三上学期教育质量诊断性联合考试】某体育场一角的看台共有20排，且此看台的座位是这样排列的：第一排有2个座位，从第二排起每一排比前一排多1个座位，记表示第排的座位数．‎ ‎（1）确定此看台共有多少个座位；‎ ‎（2）求数列的前项和，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由题可知数列是首项为2，公差为1的等差数列，‎ ‎∴（）．‎ ‎∴此看台的座位数为．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎ 18.【山东省师大附中2017届高三第三次模拟考】已知正项数列满足，且．‎ ‎（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【解析】（1）∵，∴，∴‎ 又，∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列 ‎∴，∴.‎ ‎（2）由（1）知， ‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎19.【2017届河北省武邑中学高三下学期第二次质检】已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为，为其前项和.且满足，.数列满足，为数列的前项和.‎ ‎（1）求和；‎ ‎（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），，；（2）.‎ ‎（2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，‎ 即需不等式 恒成立.‎ ‎∵，等号在时取得.‎ ‎∴此时需满足.‎ ‎②当为奇数时，要使不等式恒成立，‎ 即需不等式 恒成立.‎ ‎∵是随的增大而增大，‎ ‎∴时，取得最小值-6.‎ ‎∴此时需满足.‎ 综合①、②可得的取值范围是.‎ ‎20.【2017届江苏省如东高级中学高三2月摸底考】已知数列的前项和为，且 ‎ ‎（）求数列的通项公式；‎ ‎（）若数列满足，求数列的通项公式；‎ ‎（）在（）的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】⑴；⑵.‎ ‎⑶ 因为 所以当时,‎ 依据题意,有即 ‎①当为大于或等于的偶数时,有恒成立．‎ 又随增大而增大,‎ 则当且仅当时,故的取值范围为 ‎②当为大于或等于的奇数时,有恒成立,且仅当时,‎ 故的取值范围为 又当时,由 得 综上可得,所求的取值范围是 ‎21.【2017届浙江省台州市高三上学期期末质量评估】已知数列满足：‎ ‎.‎ ‎(Ⅰ)求证：；‎ ‎（Ⅱ）求证：；‎ ‎（Ⅲ）若求正整数的最小值.‎ ‎【解析】 (Ⅰ)证明:由得 ‎ 因为 所以,‎ 因此 所以. ‎ ‎(Ⅱ)证明:由已知得 ‎ 所以 由 ‎ ‎ 累加可得 ‎ 当时,由(Ⅰ)得 所以 所以 ‎ ‎(Ⅲ) 解:由(Ⅱ)得 所以 ‎ 所以又因为所以的最小值为.‎ ‎22.【“超级全能生”浙江省2017届高三3月联考】已知每一项都是正数的数列满足， ．‎ ‎（1）用数学归纳法证明： ；‎ ‎（2）证明： ；‎ ‎（3）记为数列的前项和，证明： ．‎ ‎【解析】（1）由题知， ， ‎ ‎①当时， ， ，‎ ‎， 成立；‎ ‎（2）由（1）知， ，‎ 所以，‎ 同理由数学归纳法可证，‎ ‎.‎ 猜测： ，下证这个结论.‎ 因为，‎ 所以与异号.注意到，知， ，‎ 即.‎ 所以有，‎ 从而可知.‎