2019-2020学年山西省长治市潞州区第二中学校高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年山西省长治市潞州区第二中学校高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年山西省长治市潞州区第二中学校高二上学期期末数学（理）试题 一、单选题 ‎1．命题“若，则 ”的逆否命题是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】C ‎【解析】根据逆否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查四种命题的转化，考查对概念的理解，属于基础题．‎ ‎2．抛物线的准线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由抛物线方程可知，抛物线焦点在轴正半轴，且，所以所求准线方程为.‎ ‎3．已知空间向量，，则与的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知中向量，，求出两个向量的模和数量积，代入夹角余弦公式，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 空间向量，，‎ 与的夹角满足，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模，考查基本运算求解能力．‎ ‎4．直线l的参数方程为 (为参数),则直线与坐标轴的交点分别为(    )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接令x=0与y=0，分别求出相应的t，从而求得曲线与坐标轴的交点．‎ ‎【详解】‎ 当x=0时，t=，而y=1﹣2t，即y=，得与y轴交点为（0，）；‎ 当y=0时，t=，而x=﹣2+5t，即x=，得与x轴的交点为（，0）．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线的参数方程，以及求直线与坐标轴的交点问题，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎5．焦点在轴上，且渐近线方程为的双曲线的方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用焦点在轴上，且渐近线方程为的双曲线的方程，结合选项，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 由题意，焦点在轴上，且渐近线方程为的双曲线的方程是.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的方程与性质，考查对概念的理解，属于基础题．‎ ‎6．已知两条直线和平面，若，则是的（ ）‎ A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】先判断与的真假，然后利用充要条件的定义，得到与的关系．‎ ‎【详解】‎ 当时，‎ 若时，与的关系可能是，也可能是，即不一定成立，故为假命题；‎ 若时，与的关系可能是，也可能是与异面，即不一定成立，故也为假命题；‎ 故是的既不充分又不必要条件 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查充要条件、直线与平面平行关系的判断，求解的关键是先判断与的真假.‎ ‎7．已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，故为假命题，为真命题.因为，，所以命题：，为假命题，所以为真命题，则为真命题，故选A．‎ ‎8．已知命题，命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】对条件进行化简，再根据充分条件、必要条件的定义即可判断.‎ ‎【详解】‎ ‎，即为，‎ 是的充分不必要条件，‎ ‎．‎ 解得，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查充分必要条件的判定与应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎9．已知倾斜角为的直线通过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则弦（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设直线的方程为，与抛物线方程联立得关于的一元二次方程，可得值，再根据抛物线定义即可求得弦长.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：直线的方程为，‎ 代入，得：．‎ 设点，，，，则：，‎ 由抛物线定义得：弦长．‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查抛物线的性质与方程，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属中档题．‎ ‎10．已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】联立，得到线段的中点为，设与的交点分别为，，，，利用点差法能求出椭圆的离心率．‎ ‎【详解】‎ 联立，得，，‎ 直线与的交点为，线段的中点为，‎ 设与的交点分别为，，，，‎ 则，，‎ 分别把，，，代入椭圆，得：‎ ‎，两式相减得：，‎ ‎，，．‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．‎ ‎11．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q ：∃x0∈R，＋2ax0＋2－a＝0.若命题 ‎“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．a≤－2或a＝1 B．a≤－2或1≤a≤2 C．a≥1 D．－2≤a≤1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由于“p∧q”是真命题，故分别求出命题为真明题时的取值范围，然后取交集即可得到所求．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴对恒成立．‎ 又时，，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴方程有解，‎ ‎∴，‎ 解得或．‎ 综上可得或．‎ ‎∴实数的取值范围是或．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后将所给命题间的关系转化为集合的交、并、补的基本运算，并由此可得所求．‎ ‎12．已知抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，过点的直线与抛物线交于点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由双曲线方程求出焦点坐标，设的方程为：，联立直线方程与抛物线方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合基本不等式求的最小值．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，，解得，则，‎ 设的方程为：，‎ 联立，得．‎ 设，，，则．‎ ‎．‎ 当且仅当，即或时取等号．‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单性质、考查直线与抛物线位置关系的应用、基本不等式求最值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，是中档题．‎ 二、填空题 ‎13．若命题，，则命题的否定为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直接利用特称命题的否定为全称命题写出答案即可.‎ ‎【详解】‎ 因为命题，，‎ 所以命题的否定为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查特称命题的否定，求解时注意存在要改成任意，且对结论进行否定.‎ ‎14．过抛物线的焦点作直线与该抛物线交于两点，过其中一交点向准线作垂线，垂足为，若是面积为的等边三角形，则__________．‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】分析：根据是面积为的等边三角形，算出边长，及∠，得出p与边长的关系 详解：是面积为的等边三角形 即 ‎∠‎ ‎ ‎ 即p=2‎ 点晴：本题主要考察抛物线的定义及性质，在抛物线类的题目中，做题的过程中要抓住抛物线上一点到焦点的距离和到准线的距离相等的条件是做题的关键 ‎15．已知双曲线的左右焦点分别为,过的直线交双曲线的右支于两点，则的最小值为________.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】根据双曲线的标准方程可得：，再由双曲线的定义可得：，，所以得到，再根据、两点的位置特征，结合通径最小，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 根据双曲线可得：，，‎ 由双曲线的定义可得：①，②，‎ 所以①②可得：，‎ 因为过的直线交双曲线的右支于、两点，‎ 所以，当是双曲线的通径时最小．‎ 所以．‎ ‎．‎ 故答案为：16‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的定义与双曲线的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎16．椭圆，是椭圆的左右焦点，为坐标原点，点为椭圆上一点，，且成等比数列，则椭圆的离心率为________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据两点之间的距离公式求得，利用椭圆的定义及等比数列的性质，求得，利用两点之间的距离公式，即可求得与的关系，求得椭圆的离心率．‎ ‎【详解】‎ 设，则，‎ 由椭圆定义：，，‎ 又，，成等比数列，‎ ‎，，‎ ‎，整理得，‎ 即，整理得：，‎ 椭圆的离心率，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单几何性质，椭圆的定义，等比数列的性质，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知命题；关于的方程有实数根．‎ ‎（1）写出命题的否定，并判断命题的否定的真假；‎ ‎（2）若命题“”为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）是一个假命题．（2）．‎ ‎【解析】（1）直接由全称命题的否定为特称命题写出答案，再判断真假；‎ ‎（2）由命题“”为假命题，所以为假命题，从而得到实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）命题p的否定：，是一个假命题． ‎ ‎（2）命题是真命题，‎ 因为命题“”为假命题，所以为假命题．‎ 因此关于的方程没有实数根．‎ ‎，解得．‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查全称命题与特称命题、命题的真假，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎18．已知圆C的圆心为(1，1)，直线与圆C相切.‎ ‎（1）求圆C的标准方程；‎ ‎（2）若直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）或．‎ ‎【解析】（1）利用点到直线的距离可得：圆心到直线的距离．根据直线与圆相切，可得．即可得出圆的标准方程．‎ ‎（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，即：，可得圆心到直线的距离，又，可得：．即可得出直线的方程．②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得可得弦长，即可验证是否满足条件．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）圆心到直线的距离．‎ 直线与圆相切，．‎ 圆的标准方程为：．‎ ‎（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，‎ 即：，，又，．‎ 解得：．‎ 直线的方程为：．‎ ‎②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得，可得弦长，满足条件．‎ 综上所述的方程为：或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎19．已知命题“方程表示焦点在轴上的椭圆”，命题“方程表示双曲线”.‎ ‎（1）若是真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若“或”是真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意得到关于实数k的不等式组，求解不等式组有.‎ ‎(2)由题意可得，命题至少一个是真命题，即一真一假或全为真.据此得到关于实数k的不等式组，求解不等式组可得实数的取值范围是或.‎ 试题解析：‎ ‎（1）命题：“方程表示焦点在轴上的椭圆”，则，解得.‎ ‎（2）命题“方程表示双曲线”，则，解得或.‎ 若“或”是真命题，则至少一个是真命题，即一真一假或全为真.‎ 则或或，‎ 所以或或或.‎ 所以或.‎ ‎20．在直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 曲线的极坐标方程为，与交于点.‎ ‎（1）写出曲线的普通方程及直线的直角坐标方程，并求；‎ ‎（2）设为曲线上的动点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；；；（2）‎ ‎【解析】（1）对曲线的参数方程移项、平方相加，消去参数；由直线的极坐标方程可得直线的普通方程；将代入曲线方程中，求得，进而求得；‎ ‎（2）将极坐标方程化为直角坐标方程得椭圆的方程，再设点坐标为，求出点到直线的最大距离，即可得到面积的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为曲线（为参数），则，‎ 所以曲线的普通方程为：；‎ 直线：的普通方程为：；‎ 将代入，解得：，‎ 所以.‎ ‎（2）曲线的普通方程为，设，‎ 则点到直线的距离，‎ 当时，等号成立，‎ 所以面积的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求距离的最大值，要会转化成三角函数问题，能使运算量更小.‎ ‎21．已知动圆过点，并与直线相切.‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹方程;‎ ‎（2）已知点，过点的直线交曲线于点，设直线的斜率分别为，求证：为定值，并求出此定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）（Ⅰ）由题意圆心为M的动圆M过点（1，0），且与直线x=-1相切，利用抛物线的定义，可得圆心M的轨迹是以（1，0）为焦点的抛物线；（2）先分AB斜率为0和不为0进行讨论，然后结合两点的斜率公式和韦达定理可得为定值.‎ ‎（1）设由 得动圆圆心轨迹方程为 ‎（2）当斜率为时，直线斜率不存在（不合题意，舍去）‎ 当斜率不为时，设方程：，即 设 由，得，且恒成立 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（定值）‎ 点睛：考查抛物线的定义，直线与抛物线的综合问题，求定值问题，首先根据题意写出表达式是解题关键.‎ ‎22．已知为圆上一动点，圆心关于轴的对称点为，点分别是线段上的点，且.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）直线与点的轨迹只有一个公共点，且点在第二象限，过坐标原点且与垂直的直线与圆相交于两点，求面积的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）利用椭圆定义求出点的轨迹方程；（2）由直线与椭圆相切可知，点的坐标为，设直线与垂直交于点，则是点到直线的距离，设直线的方程为，则，利用均值不等式求最值，从而得到面积的取值范围.‎ 详解：（1）因为，所以为的中点，因为，所以，所以点在的垂直平分线上，所以，‎ 因为，所以点在以为焦点的椭圆上，‎ 因为，所以，‎ 所以点的轨迹方程为.‎ ‎（2）由得，，‎ 因为直线与椭圆相切于点， ‎ 所以，即，‎ 解得，‎ 即点的坐标为，‎ 因为点在第二象限，所以，‎ 所以， ‎ 所以点的坐标为，‎ 设直线与垂直交于点，则是点到直线的距离，‎ 设直线的方程为，‎ 则 ‎，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，‎ 有最大值，‎ 所以，‎ 即面积的取值范围为.‎ 点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎