2018-2019学年江西省宜春市万载中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2018-2019学年江西省宜春市万载中学高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省宜春市万载中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知全集U=R，集合A＝{x|x＞1}，集合B＝{x|3x﹣4≤0}，满足如图所示的阴影部分的集合是(　 　)‎ A．{x|x＞1} B．{x|1＜x≤} C．{x|x≤1} D．{x|x＞}‎ ‎【答案】D ‎【解析】由图可知,阴影部分表示的集合为,再根据已知计算出即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由图可知,阴影部分表示的集合为,‎ 因为,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了用韦恩图表示集合,考查了集合的补集和交集的运算,属于基础题.‎ ‎2．已知幂函数的图像过（4，2）点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：设函数式为，代入点（4，2）得 ‎【考点】幂函数 ‎3．函数的定义域为(　 　)‎ A．(1，2] B．(1，+∞) C．(2，+∞) D．(﹣∞，0)‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数有意义列式可解得.‎ ‎【详解】‎ 由 ,解得,‎ 所以函数的定义域为.‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了复合函数的定义域,利用真数大于0和偶次根式非负是求定义域时常见的,要熟练掌握,属于基础题.‎ ‎4．关于x的不等式＜125的解集为(　 　)‎ A．(﹣∞，) B．(，+∞) C．[﹣1，+∞) D．(﹣∞，3)‎ ‎【答案】D ‎【解析】将不等式两边化成以5为底的幂后,利用指数函数的单调性可解得.‎ ‎【详解】‎ 由,得,‎ 根据为单调递增函数可得,‎ 解得,‎ 所以关于x的不等式＜125的解集为.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了利用指数函数的单调性解不等式,关键是将两边化成同底的幂,属于基础题.‎ ‎5．已知函数,则（ ）‎ A．-1 B．2 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据分段函数解析式，依次求值即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题：，所以，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 此题考查分段函数求值，关键在于读懂题意，正确判定所求自变量取值在哪一个区间，易错点在于判错范围用错解析式，导致求值错误.‎ ‎6．函数的图像可能是（ ）．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：∵，∴，∴函数需向下平移个单位，不过（0,1）点，所以排除A，‎ 当时，∴，所以排除B，‎ 当时，∴，所以排除C，故选D.‎ ‎【考点】函数图象的平移.‎ ‎7．下列式子中成立的是（ ）‎ A．log76＜log67 B．1.013.4＞1.013.5‎ C．3.50.3＜3.40.3 D．log0.44＜log0.46‎ ‎【答案】A ‎【解析】【详解】试题分析：利用对数函数、幂函数与指数函数的单调性即可判断出结论．‎ 解：A．∵log76＜1＜log67，∴log76＜log67，因此正确；‎ B．∵函数y=1.01x在R上单调递增，∴1.013.4＜1.013.5，因此不正确；‎ C．∵函数y=x0.3在（0，+∞）上单调递增，∴3.50.3＞3.40.3，因此不正确；‎ D．∵函数y=log0.4x在（0，+∞）上单调递减，∴log0.44＞log0.46，因此不正确．‎ 故选A．‎ ‎【考点】对数值大小的比较．‎ ‎8．函数在(﹣1，+∞)上是增函数，则的取值范围是(　 　)‎ A．[6，+∞) B．(﹣∞，﹣6] C．[1，+∞) D．(﹣∞，﹣1]‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用二次函数的对称轴与区间的端点的大小关系列式解得的范围,进一步可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为函数在(﹣1，+∞)上是增函数,‎ 所以,解得,‎ 所以.‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系,属于基础题.‎ ‎9．设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：因为根据题意可知,当x=1时，则,而当x=2时，则，并且前者是递增函数，后者是递减函数那么可知必然交点在该区间取得，故选B.‎ ‎【考点】本题主要考查了函数图像与图像的交点问题的运用，确定零点问题。‎ 点评：解决该试题的关键是根据函数的图像与图像的位置关系来判定交点的位置，也可以通过求解各个区间的左右端点值，是否是满足图像出现交的情况即可。‎ ‎10．函数 的零点的个数是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于函数在定义域内不是连续的，所以并不能通过求导递增来直接判断零点的个数，利用数形结合法解决．‎ ‎【详解】‎ 如图画出与 的图象，由图知与 的图象有两个交点．故函数的零点有2个．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的零点，考查数形结合思想的运用，应注意函数在定义域内不是连续的，所以并不能通过求导递增来直接判断零点的个数．‎ ‎11．已知映射f：A→B，其中法则f：(x，y，z)→(2x+y，y﹣z，3|z|+5)．若B={(4，1，8)}，则集合A可以为(　 　)‎ A．{(1，2，1)}‎ B．{(1，2，1)}或{(2，0，﹣1)}‎ C．{(2，0，﹣1)}‎ D．{(1，2，1)}或{(2，0，﹣1)}或{(1，2，1)，(2，0，﹣1)}‎ ‎【答案】D ‎【解析】令解出的值,即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 依题意,令,解得或,‎ 所以或或.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了在映射中,已知像集,求原像集,根据映射的概念列式是解题关键,属于基础题.‎ ‎12．将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最的利润，售价应定为每个（ ）‎ A．115元 B．105元 C．95元 D．85元 ‎【答案】C ‎【解析】略 二、填空题 ‎13．函数在[0,1]上最大值与最小值之和3,则a=___________‎ ‎【答案】 2‎ ‎【解析】讨论与时，函数在上的单调性，求出函数在上的最大值与最小值，由此求出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎①当时，函数在上为单调减函数，‎ 函数在上的最大值与最小值分别为；‎ 又函数在上的最大值与最小值和为3 ,‎ ‎ ,解得 (舍去)；‎ ‎②当时，函数在上为单调增函数，‎ 函数在上的最大值与最小值分别为；‎ 又函数在上的最大值与最小值和为3 ,‎ ‎ ,解得；‎ 综上，，故答案为2.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数函数的单调性以及分类讨论思想的应用，属于中档题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.‎ ‎14．已知函数，若，则x=___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，,当时，由可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为函数，‎ 当时，,‎ 当时，,‎ 可得（舍去），或，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数的解析式，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，以及分类讨论思想的应用，属于简单题.‎ ‎15．一个4元实数集合S的所有子集的元素和的总和等于2016(这里空集的元素和认为是0)，则集合S的所有元素的和为______.‎ ‎【答案】252‎ ‎【解析】先写出集合的所有子集,得到含元素的子集有8个,同理含元素的子集也有8个, 同理含元素的子集也有8个, 同理含元素的子集也有8个,依题意列式即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设集合,其子集有 ‎,,,共16个,‎ 其中含元素的子集共有个, 含元素的子集共有个, 含元素的子集共有个, 含元素的子集共有个,‎ 所以,‎ 所以,‎ ‎,‎ 即集合S的所有元素的和为252.‎ 故答案为:252‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用集合的子集,计算元素之和,关键是得到分别含元素的子集个数,属于基础题.‎ ‎16．已知实数满足，则代数式的值为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据对数的真数大于0以及偶次根式的被开方非负,可得,进一步得,代入所求式子中化简可得答案..‎ ‎【详解】‎ 由 以及有意义,得且,‎ 又 以及,所以且,所以,‎ 所以可化为,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数的真数大于0,考查了偶次根式的被开方非负,考查了对数的运算性质,解题关键是根据对数的真数大于0以及偶次根式的被开方非负得出,属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17．已知全集U＝R，集合 A＝{x|﹣3≤x≤5}，B={x|x＜2m﹣3}．‎ ‎(1)当m＝5时，求 A∩B，(∁UA)∪B；‎ ‎(2)当A⊆B时，求m的取值范围．‎ ‎【答案】(1) A∩B={x|﹣3≤x≤5}，CUA={x|x＜﹣3或x＞5}，(2) (4，+∞)．‎ ‎【解析】(1)根据集合的补集和交集的概念进行运算即可得到答案;‎ ‎(2)利用子集关系列式计算可得.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当m=5时，A={x|﹣3≤x≤5}，B={x|x＜7}，‎ ‎∴A∩B={x|﹣3≤x≤5}，‎ CUA={x|x＜﹣3或x＞5}，‎ ‎∴(CUA)∪B=R． ‎ ‎(2)A={x|﹣3≤x≤5}，‎ ‎∵A⊆B，∴5＜2m﹣3，‎ 即m＞4．实数m的取值范围为(4，+∞)．‎ ‎【点睛】‎ 本题查了集合的补集,交集,并集运算,考查了根据子集关系求参数取值范围,属于基础题.‎ ‎18．计算：‎ ‎(1).‎ ‎(2)；‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】(1)根据指数幂的运算性质进行运算即可得到;‎ ‎(2)根据对数的运算性质以及对数恒等式,换底公式进行运算可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎(2)log3+lg25+lg4++log23•log34‎ ‎=log3﹣1+2lg5+2lg2+2+•2log32‎ ‎=﹣+2+2+2‎ ‎=；‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数幂的运算性质,考查了对数的运算性质,考查了对数恒等式,换底公式,属于基础题.‎ ‎19．某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件），可近似看做一次函数y=kx+b的关系（图象如图所示）．‎ ‎（1）根据图象，求一次函数y=kx+b的表达式；‎ ‎（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S元，‎ ‎①求S关于x的函数表达式；‎ ‎②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．‎ ‎【答案】(1) y＝－x＋1000(500≤x≤800)‎ ‎(2) 销售单价定为750元时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件 ‎【解析】【详解】‎ 解：（1）由图像可知，，解得，，‎ 所以． ‎ ‎（2）①由（1）,‎ ‎，． ‎ ‎②由①可知，，其图像开口向下，对称轴为，‎ 所以当时，． ‎ 即该公司可获得的最大毛利润为62500元，此时相应的销售单价为750元/件．‎ ‎20．已知二次函数满足以下要求：①函数的值域为；②对恒成立。‎ 求：（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）设，求时的值域。‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】（1）将写成顶点式，然后根据最小值和对称轴进行分析；（2）先将表示出来，然后利用换元法以及对勾函数的单调性求解值域.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵‎ 又∵‎ ‎∴对称轴为 ‎∵值域为 ‎∴且 ‎ ‎∴,，则函数 ‎ ‎（2）∵‎ ‎∵‎ ‎∴令,则 ‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎∵∴，则 所求值域为 ‎【点睛】‎ 对于形如的函数，其单调增区间是：和，单调减区间是：和.‎ ‎21．已知函数 ‎(1)求函数的单调递减区间；‎ ‎(2)若方程＝1有三个不同的实数根，求实数的取值范围；‎ ‎(3)不等式在上恒成立，当取得最大值时，求实数的值.‎ ‎【答案】(1) (，)；(2) ＞2 (3) ‎ ‎【解析】(1)将函数化为分段函数后,作出图像,根据图像可得单调递减区间;‎ ‎(2)结合(1)中的图像列式可解得;‎ ‎(3)分两种情况:①,②讨论,结合图像解方程后,再求的最大值即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)作出函数的图像，如图所示，由图像可知函数的递减区间为(，)；‎ ‎(2)要使方程＝1有三个不等实数根，‎ 则＞1，解得＞2(＜－2舍去)‎ ‎(3)当，即时，由，‎ 解得，‎ 当，即时，由解得， ‎ ‎，此时 ‎【点睛】‎ 本题考查了利用函数图像求函数的单调区间,考查了数形结合思想,考查了根据方程根的个数求参数的取值范围,考查了不等式恒成立问题,属于中档题.‎ ‎22．已知函数对任意x∈R满足＋＝0，＝，若当x∈[0，1)时，(a＞0且a≠1)，且．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求实数的值；‎ ‎(3)求函数的值域．‎ ‎【答案】(1) f(1)＝0 (2) a=．b=﹣1．(3) [﹣，)．‎ ‎【解析】(1) 分别在＋＝0，＝中令和 后,联立解方程组可得答案;‎ ‎(2)在＋＝0令得,结合可得,利用,结合周期可得;‎ ‎(3)求出时,的值域,结合奇函数的性质得在上的值域,结合周期得在上的值域,换元,令,转化为二次函数求值域可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵f(x)+f(﹣x)=0，∴f(1)+f(-1)=0……①‎ ‎∵f(x﹣1)=f(x+1)，∴f(－1)=f(1)……②，‎ 由①②可得f(1)＝0 ‎ ‎(2)∵f(x)+f(﹣x)=0‎ ‎∴f(﹣x)=﹣f(x)，即f(x)是奇函数．‎ 所以,所以,即 ‎ ‎∵f(x﹣1)=f(x+1)，∴f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，‎ 又f()=f()=f()=1=，‎ 解得a=,‎ 所以.‎ ‎(3)当x∈[0，1)时，f(x)=ax+b=()x﹣1∈(﹣，0]，‎ 由f(x)为奇函数知，‎ 当x∈(﹣1，0)时，f(x)∈(0，)，‎ ‎∴当x∈R时，f(x)∈(﹣，)，‎ 设t=f(x)∈(﹣，)，‎ ‎∴g(x)=f2(x)+f(x)=t2+t=(t+)2﹣，‎ 即y=(t+)2﹣∈[﹣，)．‎ 故函数g(x)=f2(x)+f(x)的值域为[﹣，)．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性,考查了函数的周期性,考查了求函数的值域,考查了换元法,属于中档题.‎