数学理卷·2018届福建省晋江市季延中学高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届福建省晋江市季延中学高二下学期期中考试（2017-04）

季延中学2017年春高二年期中考试 理科数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题者：杨淑芬 一．选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1．i是虚数单位，=……………………………………………………（ ）‎ A．1+2i B．-1-2i C．1-2i D．-1+2i ‎ ‎2．设，则等于…………………………（ ）‎ A B C D不存在 ‎3. 设，则……………………………………………………（ ）‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎4. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示： ‎ ‎…‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ 按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为……………………（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 函数的单调递增区间是…………………………………（ ）‎ A. B．(0,3) C．(1,4) D. ‎ ‎6. 对于上可导的任意函数，若满足，则必有…………（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7．若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是…………………………………………………………………（ ）‎ A.　 B.　 C.　 　 D.　‎ ‎8. 从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 …………………………………………………（ ） A 85 B 56 C 49 D 28 ‎ ‎9．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的…………………………………………（　　 ）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎10．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是……………………………………………（ ）‎ ‎ A. 36 B. 42 C. 48 D. 60 ‎ ‎11．已知函数 ，若存在零点，则实数的取值范围是……………………………………………………………………………（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 在上的可导函数，极大值点，极小值点，则的取值范围是……………………………………………（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题:（每小题5分，共20分）‎ ‎13. = ‎ ‎14．曲线在点处的切线方程为 ‎ ‎15．已知复数，是z的共轭复数，则= ‎ ‎16．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 ‎ 三．解答题（6题共70分）‎ ‎17、（10分） 已知曲线与.求两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积S.‎ ‎18、（10分）已知且，求证：中至少有一个小于2.‎ ‎19、（10分）已知函数，求此函数的 ‎（1）单调区间； （2）值域. ‎ ‎20、（13分）用数学归纳法证明：＋＋＋…＋>(n≥2)．‎ ‎21、（13分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元。‎ ‎（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；‎ ‎（Ⅱ）求该容器的建造费用最小值时的.‎ ‎22、（14分）设函数有两个极值点，且 ‎（I）求的取值范围，并讨论的单调性；‎ ‎（II）证明：‎ 季延中学2017年春高二年期中考试理科数学试卷（答案）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C A C D A D C D C A C ‎13. 14. 15. 16. 18 17. 18.(略)‎ ‎19.（1）增区间：，减区间（2）值域：‎ ‎20.[证明]　①当n＝2时，左＝>0＝右，‎ ‎∴不等式成立．‎ ‎②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立．‎ 即＋＋…＋>成立．‎ 那么n＝k＋1时，＋＋…＋ ‎＋＋…＋ ‎>＋＋…＋>＋＋＋…＋ ‎＝＋＝，‎ ‎∴当n＝k＋1时，不等式成立．‎ 据①②可知，不等式对一切n∈N*且n≥2时成立．‎ ‎21. （1）设容器的容积为，‎ ‎ 由题意知 ，又，‎ ‎ 故 ‎ ‎ 由于 ，‎ ‎ 因此 ‎ ‎ 所以建造费用 ‎ ‎ 因此 ‎ ‎ （2）由（1）得，‎ ‎ 由于 ，所以 ，‎ ‎ 当 时，‎ 令 ，则 所以 ‎ ‎① 当即时，‎ ‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ ‎ 所以 是函数的极小值点，也是最小值点.‎ ‎② 当即时 ‎ 当时，，函数单调递减，‎ 所以，是函数的最小值点.‎ 综上所述，当时，建造费用最小时 ‎ 当时，建造费用最小时。‎ ‎22．（I）‎ ‎ 令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得 ‎⑴当时，在内为增函数；‎ ‎⑵当时，在内为减函数；‎ ‎⑶当时，在内为增函数；‎ ‎（II）由（I），‎ 设，‎ 则 ‎⑴当时，在单调递增；‎ ‎⑵当时，，在单调递减。‎ 故．‎ ‎ ‎