福建省莆田市第一联盟体2020届高三上学期期末联考数学（文）试题

福建省莆田市第一联盟体2020届高三上学期期末联考数学（文）试题

莆田市第一联盟体2019-2020学年上学期高三联考试卷 ‎ 文科数学 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号和座位号填写在答题卡上；‎ ‎2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；‎ ‎3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效；‎ ‎4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．‎ 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，则=‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．已知，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎3．若，则是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知等比数列满足，，则的值为 A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4 ‎ ‎5.某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为，则图中的值为 A． 2 ‎ B. ‎ C. 1 ‎ D．‎ ‎6．已知，则满足（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．已知直线与抛物线相交于两点，是的中点，则点到抛物线准线的距离为 A． B．‎4 ‎C．7 D．8 ‎ ‎8．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，如函数的图像大致是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．关于函数有下述四个结论：‎ ①是周期函数； ②的最小值为；‎ ③的图像关于轴对称； ④在区间单调递增.‎ 其中所有正确结论的编号是 A．①② B．①③ ‎ C．②③ D．②④‎ ‎10．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆 的切线，与双曲线右支交于点，若，则双曲线的渐近线斜率为 A． B． C． D．‎ ‎11. ‎2019年11月18日国际射联步手枪世界杯总决赛在莆田市综合体育馆开幕，这是国际射联步手枪世界杯总决赛时隔10年再度走进中国。为了增强趣味性，并实时播报现场赛况，我校现场小记者李明和播报小记者王华设计了一套播报转码法，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密的方法是：密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的a，b，c，…，z的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数,通过变换公式：‎ ‎，将明文转换成密文，如，即变换成；，即变换成．若按上述规定，若王华收到的密文是ukweat，那么原来的明文是 A．fujian B．puxian C．putian D．fuxian ‎ ‎12．已知对任意实数都有，，若，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ 二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知复数满足（为虚数单位），则复数________.‎ ‎14．已知满足，则的取值范围是_________.‎ ‎15．在三棱锥中，，，点到底面的距离为，若三棱锥的外接球表面积为，则的长为________.‎ ‎16．在锐角中，角所对的边分别为，点为外接圆的圆心，，且，则的最大值为______．‎ 三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（本小题12分）‎ 在中，内角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设，. 若在边上，且，求的长．‎ ‎18．（本小题12分）‎ 设数列的前项和为，且，为正项等比数列，‎ 且.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）设，求的前项和．‎ ‎19．（本小题12分）‎ 如图，正方形的边长为，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．‎ ‎（1）证明：平面⊥平面；‎ D C B A C A B P ‎（2）若是的中点，设，且三棱锥的体积为，‎ 求的值．‎ ‎20.（本小题12分）‎ 已知椭圆 的右焦点为，左，右顶点分别为，离心率为且过点 （1） 求的方程；‎ ‎（2）设过点的直线交于(异于)两点，直线的斜率分别为. 若，求的值.‎ ‎21．（本小题12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）函数在处的切线过点，求的方程；‎ ‎（2）若且函数有两个零点，求的最小值.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题计分.‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题10分）‎ 在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.设点的极坐标为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.‎ ‎23.[选修4—5：不等式选讲]（本小题10分）‎ 已知函数，，且的解集为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若都为正数，且，证明：.‎ 莆田市第一联盟体2019-2020学年上学期高三联考 文科数学参考答案 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C D A B C A B A B A C D 二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．； 14． ； 15． ； 16．.‎ 三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（本小题12分）‎ 解：（1）因为=，‎ 由正弦定理可得=， …………………………………1分 化简得：，‎ 所以， ………………………………2分 即. ………………………………………………3分 又因为，所以.‎ 则. ……………………………………………………4分 因为，所以，所以 . ………………………………5分 因为，所以 . ……………………………………………………6分 ‎（2）因为， …………7分 因为，所以，即， ………………8分 因为，即，所以. ……………………9分 在中，，，，‎ 由余弦定理得：， ……………………10分 则， ………………………………………………11分 所以 . ……………………………………………………………12分 ‎18．（本小题12分）‎ 解：（1）由，得当时，， …………………………1分 当时，，‎ 所以当时， ， ……………………………………2分 也满足此式.‎ 所以. ……………………………………………3分 又，， ………………………………………………4分 因为为正项等比数列，设的公比为（＞0）.‎ 所以，即， ………………………………………………………5分 所以. ………………………………………………6分 ‎（2）因为，. ……………………7分 所以==. ………………8分 ‎=. ………………………… ………………10分 所以 ‎=， …………………11分 ‎=. ‎ 所以. ………………………………………12分 ‎19．（本小题12分）‎ 解：（1）取中点，连结.‎ 因为，所以 ……………………1分 在中，，‎ 则 ………………………………2分 所以， …………………………………………………………………3分 又，且， …………………………………4分 所以， ………………………………………………………………5分 又，所以面面. …………………………………6分 ‎（2）因为面面，‎ 又面面，且，‎ 所以面， ……………………………………………………………7分 所以 . ……………………………………8分 又因为，，‎ 所以. ……………………………………………………………………9分 因为，所以.……………………10分 又， ………………………………………………………11分 所以，得=. ……………………………………………………12分 ‎20.（本小题12分）‎ 解：（1）依题意得椭圆的离心率为， …………………………1分 则. ……………2分 将点代入椭圆方程得， …………………………3分 则， ……………………………………………………………4分 故椭圆的方程为.……………………………………………………………5分 ‎（2）设直线的斜率为，.‎ 由题意可知，直线的斜率不为，故可设直线：.……………………6分 由消去，得，………………………………7分 所以. ………………………………8分 所以 ………………………………9分 ‎ . ………………………………10分 又因为点在椭圆上，所以， ………………………………11分 则，所以. ………………………………12分 ‎21．（本小题12分）‎ 解：（1）因为（），‎ 所以， ………………………………………1分 所以又， ………………………………………………2分 所以在处切线方程为，‎ 即. …………………………………………………………………3分 又因为直线过点，所以得即. …………………4分 所以直线方程为即. ………………………………5分 ‎（2）因为.‎ 令得即， ………………………………………………6分 因为所以，‎ 所以当时，，当时，＞0，‎ 则在）上单调递减，在（上单调递增，‎ 所以 . ……………………………………………………7分 因为有两个零点，所以即得， ………………8分 又因为 ， ……………………………………………………………9分 ‎.‎ 设（）‎ 则，因为在（1，）上单调递增，‎ 所以，所以在（1，）单调递增，‎ 所以.‎ 又，所以， ……………………………………………………10分 故在上有一个零点，在上有一个零点，‎ 即在（0，）上有两个零点， …………………………………………11分 则又且≈7.39，‎ 所以得最小值为8. ……………………………………………………………12分 ‎（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程](10 分)‎ 解：（1）曲线的普通方程为：, ……………..2分 将曲线上的点按坐标变换得到，代入得，…..3分 即的方程为：. ……..4分 化为极坐标方程为： . ……..5分 ‎(2)点在直角坐标为 ， 因为直线过且倾斜角为， ……………..6分 设直线的参数方程为（为参数）， ……………..8分 代入得：. ……………..9分 设两点对应的参数分别为，则，.‎ 所以. ………………………………10分 ‎23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 解:（1）由得得， …………………2分 因为的解集为， ………………………………4分 所以 . ………………………………5分 ‎（2）由（1）得， ………………6分 所以= ………………7分 ‎ ………………8分 ‎ . ………………9分 当且仅当时取等号， ‎ 所以成立. ………………10分