数学文卷·2018届山东省师大附中高三下学期第八次模拟考试（2018

数学文卷·2018届山东省师大附中高三下学期第八次模拟考试（2018

绝密 ★ 启用前 试卷类型 A 山东师大附中 2015 级第八次模拟考试 数 学 试 卷（文科） 命题：高三数学备课组 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,满分 150 分．考试用时 120 分钟. 注意事项： 1．答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定 的位置上. 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3．第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位 置,超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1、已知全集 ,集合 , ,则 (　　) A． B． C． D． 2、设 是虚数单位,如果复数 的实部与虚部是互为相反数,那么实数 的值为 (　　) A． B． C． D． 3、若 ,则 (　　) A． B． C． D． 4、已知 是等比数列,若 ,数列 的前 项和为 ,则 为 (　　) A． 　　 B． C． D． 5、已知定义在区间 上的函数 满足 ,在 上随机取一个实 数 ,则使得 的值不小于 的概率为 (　　) A． B． C． D． 6、将函数 的图象向左平移 个单位,所得图 }4,3,2,1,0{=U }3,2,1{=A }4,2{=B =BACU )( }4,2,0{ }4,3,2{ }4,2,1{ }4,3,2,0{ i i ia + + 2 a 3 1 3 1− 3 3− )//()2(),2,1(),1,2( bmababa  −+−== =m 1 2 − 1 2 2 2− }{ na 251 8,2 aaa == }{ na n nS nS 22 −n 12 1 −+n 22 1 −+n 12 −n ]4,4[− mxf x += 2)( 6)2( =f ]4,4[− x )(xf 4 4 3 2 1 8 3 8 1 3cossin2cos32)( 2 −−= xxxxf )0( >mm 象对应的函数为偶函数,则 的最小值为 (　　) A． 　　 B． C． D． 7、函数 的图象大致为 (　　) A． B． C． D． 8、已知三棱锥的三视图如图所示,其中侧视图为直角三角形,俯视图为 等腰直角三角形,则此三棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 9 、已知 是双曲线 的两焦点, 以线段 为边作正三角形 ,若边 的中点在双曲线上,则双 曲线的离心率是 (　　) A. B. C. D. 10、右图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图,它输 出的结果 表示（ ） A． 的值 B. 的值 C. 的值 D. 以上都不对 11、在三棱锥 中,三条侧棱 两两互相垂直, 且 的面积依次为 ,则三棱锥 的外接球的半径为 (　　) m 12 5π 6 π 3 π 3 2π xxf x x cos21 21)( ⋅+ −= 73 + 731 ++ 7321 ++ 7231 ++ 1 2,F F 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1 2F F 1 2MF F 1MF 4 2 3+ 3+1 3 1 2 + 3 1− S 3210 aaaa +++ 3 00 2 01023 xaxaxaa +++ 3 03 2 02010 xaxaxaa +++ ABCP − PCPBPA ,, PBCPACPAB ∆∆∆ ,, 2,1,1 ABCP − A． B． C． D． 12 、 已 知 是 定 义 在 上 的 偶 函 数 , 且 , 当 时 , ,若在区间 内关于 的方程 ( 且 )有且只有 个不同的根,则实数 的取值范围是 (　　) A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题 ：本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13、若数列 为等差数列, 为其前 项和,且 ,则 ________. 14、曲线 在点 处的切线方程为　 　　　. 15、设 满足约束条件 ,则 的最小值为________． 16、已知过点 的直线 与抛物线 交于 两点, 为坐标原点,且 满足 ,则当 最小时,则 ________． 三、解答题：本题有 6 小题,共 70 分. 解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 17、(本题满分 12 分)已知 中,内角 的对边分别为 且 若 ,求角 ； 若 ,求 的面积. 18、（本题满分 12 分）如图,在底面是正三角形的直三棱 2 3 3 4 2 )(xf R )2()2( xfxf −=+ ]0,2[−∈x 1)2 2()( −= xxf )6,2(− x 0)2(log)( =+− xxf a 0>a 1≠a 4 a )1,4 1( )4,1( )8,1( ),8( +∞ }{ na nS n 32 31 −= aa =9S xxxy 2ln += )2,1( R, ∈yx    ≤− ≥−+ ≥+− 03 03 01 x yx yx yxz 3−= )0,2( pM l )0(22 >= ppxy BA, O 3−=⋅OBOA BMAM 4+ =AB ABC∆ CBA ,, ，cba ,, .02 22 =−− baba 6 π=B C 14,3 2 == cC π ABC∆ 柱 中, , 是 的中点． (1)求证： 平面 ； (2)求三棱锥 的体积． 19、（本题满分 12 分） 某校高三某班的一次月考数学成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的损坏,但可 见部分如图,据此解答如下问题： (1)求分数在 之间的频数,并计算频率分布直方图中 间的矩形的高； (2)根据频率分布直方图估计该班学生在这次考试中的平均分(同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表)； (3)若要从分数在 之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中,求至少 有一份在 之间的概率． 20、（本题满分 12 分）已知椭圆 的离心率为 ,且过点 . (1)求椭圆 的方程； (2)设 是椭圆 长轴上的一个动点,过点 作斜率为 的直线 交椭圆 于 两点,求 证： 为定值． 21、（本题满分 12 分）设函数 （其中 ）. (1)当 时,求函数 的单调区间和极值； (2)当 时,讨论函数 的零点个数. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 111 CBAABC − 21 == ABAA D BC //1CA DAB1 DABA 11 − )80,70[ )80,70[ )70,50[ )60,50[ )0(1: 2 2 2 2 >>=+ bab y a xC 2 2 )1,2( C P C P 2 2 l C BA, 22 PBPA + 2 2)1()( xkexxf x −−= R∈k 2=k )(xf 0>k )(xf [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 中,直线 ,曲线 （ 为参数）,以坐标原点 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线 及曲线 的极坐标方程； (2)若直线 的极坐标方程为 ,设 与曲线 的交点为 ,曲线 的对称中 心为 ,求 的面积及 与 交点的极坐标. [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 设不等式 的解集为 , . (1)求解集 ； (2)比较 与 的大小,并说明理由. 山东师大附中 2015 级第八次模拟考试答案 数 学 试 卷（文科） 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D B C C A C B B C A D 填空题 （13） ； （14） ； （15） ； （16） . 解答题 17.【解析】（1）由已知 又因为 ，所以 由正弦定理 ，因为 ，所以 。 …………6 分 （2） ， ， …12 分 【解析】（1）连接 交 于点 由题意知 为 的中点, 为 中点，所以 xOy 2:1 −=xl    += = θ θ sin22 cos2: y xC θ O x 1l C 2l )R(4 ∈= ρπθ 2l C NM , C C CMN∆ 1l 2l 2120 <−−+< xx M M, ∈ba M 14 −ab ab −2 27 3+−= xy 03 =−+ yx 9− 2 9 0)2)(( =−+ baba 0>+ ba ba 2= 1sin, 2 1sin 2,sinsin === Ab A b B b A a π<< A0 2 π=A 326 ππππ =−−=C ab cbaC 2cos 222 −+= 28,22 1964 2 1 2 22 =⋅⋅ −+=− bbb bb 3142 328sinsin22 1sin2 1 2 =×==⋅⋅=⋅=∆ CbCbbCbaS ABC BA1 1AB O O BA1 D BC ， 因 为 平 面 ， 平 面 ， 所 以 平 面 …………6 分 （2） 。 …………12 分 【解析】（1） ， 【解析】（1）由题意得 解得 所以 …………4 分 证明： 消元得 得 由韦达定理 所以 为定值。…………………12 分 CAOD 1// ⊂OD DAB1 ⊄CA1 DAB1 //1CA DAB1 3 32312 1 3 1 1111 =××××=== −−− ACDBDABCDABA VVV 2510008.0 2 =×=n 04.01025 10,1015-25 =÷= ， 2.7625 29525 78525 107525 46525 255 =×+×+×+×+× 5 3          += =+ = 222 22 112 2 2 cba ba a c      = = = 2 2 4 2 2 2 c b a 124 22 =+ yx mxyl += 2 2: )0,2( mP −       += =+ mxy yx 2 2 124 22 022 22 =−++ mmxx 0)2(4)2( 22 >−−=∆ mm 42 ⇔>′ xxxf ),2][ln0,( +∞−∞ 2ln00)( <<⇔<′ xxf ]2ln,0[ 22ln2)2(ln)2(ln)(,1)0()( 2 −+−==−== fxffxf 极小值极大值 )()( kexxf x −=′ 10 << k )(xf ),0(),ln,( +∞−∞ k )0,(ln k 02)2(,0]1)1[(ln2)(ln,01)0( 22 >−=<+−−=<−= kefkkkff 1=k )(,0)1()( xfexxf x >−=′ ),( +∞−∞ 02)2(,01)0( 2 >−=<−= eff 1>k )(xf ),(ln),0,( +∞−∞ k )ln0( k， ,0]1)1[(ln2)(ln,01)0( 2 <+−−=<−= kkkff 1,1)21(2)1)(1(2)1()( 222 =−−=−+−≥−−= xxkxkxxxkexxf x 21 1 0 kx − = 01) 21 1)(21()( 2 0 =− − −> k kxf 0>k 2cos:1 −=θρl 0sin4,04,4)2(: 22222 =−=−+=−+ θρρyyxyxC θρ sin4= （2） ， 解 得 ， 【解析】（1） 当 时， ，不满足， 所以无解 当 时， ，所以 当 时， ，不满足， 所以无解 综上，不等式的解集为 因为 又因为 ，所以 ，所以 所 以 ， 所 以 ， 所 以 . 命题：高三数学备课组 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,满分 150 分．考试用时 120 分钟. 注意事项： 1．答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定 xyl =:2    =−+ = 0422 yyx xy    = =    = = 2 2 0 0 y x y x )2,0(C 22442 1,2 2 2 =×+×==−= ∆CMNSh    −= −= 2 2 y x )4 522 π，（    −≤− <<−+ ≥ =    −≤−−−− <<−−−+ ≥−−+ =−−+= 2,3 12,12 1,3 2),1(2 12),1(2 1),1(2 12)( x xx x xxx xxx xxx xxxf 1≥x 230 << 12 <<− x 2 1 2 1,2120 <<−<+< xx 2 1 2 1 <<− x 2−≤x 230 <−< 2 1 2 1 <<− x 2222222222 44116)844()1816()2(14 abbaabababbaabab −−+=−+−+−=−−− )14)(14( 22 −−= ba 2 1 2 1,2 1 2 1 <<−<<− ba 4 10,4 10 22 <≤<≤ ba 14,14 22 << ba 0)14)(14(,014,014 2222 >−−<−<− baba 22 )2(14 abab −>− abab −>− 214 的位置上. 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3．第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位 置,超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1、已知全集 ,集合 , ,则 (　　) A． B． C． D． 2、设 是虚数单位,如果复数 的实部与虚部是互为相反数,那么实数 的值为 (　　) A． B． C． D． 3、若 ,则 (　　) A． B． C． D． 4、已知 是等比数列,若 ,数列 的前 项和为 ,则 为 (　　) A． 　　 B． C． D． 5、已知定义在区间 上的函数 满足 ,在 上随机取一个实 数 ,则使得 的值不小于 的概率为 (　　) A． B． C． D． 6、将函数 的图象向左平移 个单位,所得图 象对应的函数为偶函数,则 的最小值为 (　　) A． 　　 B． C． D． 7、函数 的图象大致为 (　　) }4,3,2,1,0{=U }3,2,1{=A }4,2{=B =BACU )( }4,2,0{ }4,3,2{ }4,2,1{ }4,3,2,0{ i i ia + + 2 a 3 1 3 1− 3 3− )//()2(),2,1(),1,2( bmababa  −+−== =m 1 2 − 1 2 2 2− }{ na 251 8,2 aaa == }{ na n nS nS 22 −n 12 1 −+n 22 1 −+n 12 −n ]4,4[− mxf x += 2)( 6)2( =f ]4,4[− x )(xf 4 4 3 2 1 8 3 8 1 3cossin2cos32)( 2 −−= xxxxf )0( >mm m 12 5π 6 π 3 π 3 2π xxf x x cos21 21)( ⋅+ −= A． B． C． D． 8、已知三棱锥的三视图如图所示,其中侧视图为直角三角形,俯视图为 等腰直角三角形,则此三棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 9 、已知 是双曲线 的两焦点, 以线段 为边作正三角形 ,若边 的中点在双曲线上,则双 曲线的离心率是 (　　) A. B. C. D. 10、右图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图,它输 出的结果 表示（ ） A． 的值 B. 的值 C. 的值 D. 以上都不对 11、在三棱锥 中,三条侧棱 两两互相垂直, 且 的面积依次为 ,则三棱锥 的外接球的半径为 (　　) A． B． C． D． 12 、 已 知 是 定 义 在 上 的 偶 函 数 , 且 , 当 时 , ,若在区间 内关于 的方程 ( 且 73 + 731 ++ 7321 ++ 7231 ++ 1 2,F F 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1 2F F 1 2MF F 1MF 4 2 3+ 3+1 3 1 2 + 3 1− S 3210 aaaa +++ 3 00 2 01023 xaxaxaa +++ 3 03 2 02010 xaxaxaa +++ ABCP − PCPBPA ,, PBCPACPAB ∆∆∆ ,, 2,1,1 ABCP − 2 3 3 4 2 )(xf R )2()2( xfxf −=+ ]0,2[−∈x 1)2 2()( −= xxf )6,2(− x 0)2(log)( =+− xxf a 0>a )有且只有 个不同的根,则实数 的取值范围是 (　　) A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题 ：本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13、若数列 为等差数列, 为其前 项和,且 ,则 ________. 14、曲线 在点 处的切线方程为　 　　　. 15、设 满足约束条件 ,则 的最小值为________． 16、已知过点 的直线 与抛物线 交于 两点, 为坐标原点,且 满足 ,则当 最小时,则 ________． 三、解答题：本题有 6 小题,共 70 分. 解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 17、(本题满分 12 分)已知 中,内角 的对边分别为 且 若 ,求角 ； 若 ,求 的面积. 18、（本题满分 12 分）如图,在底面是正三角形的直三棱 柱 中, , 是 的中点． (1)求证： 平面 ； (2)求三棱锥 的体积． 19、（本题满分 12 分） 某校高三某班的一次月考数学成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的损坏,但可 见部分如图,据此解答如下问题： 1≠a 4 a )1,4 1( )4,1( )8,1( ),8( +∞ }{ na nS n 32 31 −= aa =9S xxxy 2ln += )2,1( R, ∈yx    ≤− ≥−+ ≥+− 03 03 01 x yx yx yxz 3−= )0,2( pM l )0(22 >= ppxy BA, O 3−=⋅OBOA BMAM 4+ =AB ABC∆ CBA ,, ，cba ,, .02 22 =−− baba 6 π=B C 14,3 2 == cC π ABC∆ 111 CBAABC − 21 == ABAA D BC //1CA DAB1 DABA 11 − (1)求分数在 之间的频数,并计算频率分布直方图中 间的矩形的高； (2)根据频率分布直方图估计该班学生在这次考试中的平均分(同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表)； (3)若要从分数在 之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中,求至少 有一份在 之间的概率． 20、（本题满分 12 分）已知椭圆 的离心率为 ,且过点 . (1)求椭圆 的方程； (2)设 是椭圆 长轴上的一个动点,过点 作斜率为 的直线 交椭圆 于 两点,求 证： 为定值． 21、（本题满分 12 分）设函数 （其中 ）. (1)当 时,求函数 的单调区间和极值； (2)当 时,讨论函数 的零点个数. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 中,直线 ,曲线 （ 为参数）,以坐标原点 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线 及曲线 的极坐标方程； (2)若直线 的极坐标方程为 ,设 与曲线 的交点为 ,曲线 的对称中 )80,70[ )80,70[ )70,50[ )60,50[ )0(1: 2 2 2 2 >>=+ bab y a xC 2 2 )1,2( C P C P 2 2 l C BA, 22 PBPA + 2 2)1()( xkexxf x −−= R∈k 2=k )(xf 0>k )(xf xOy 2:1 −=xl    += = θ θ sin22 cos2: y xC θ O x 1l C 2l )R(4 ∈= ρπθ 2l C NM , C 心为 ,求 的面积及 与 交点的极坐标. [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 设不等式 的解集为 , . (1)求解集 ； (2)比较 与 的大小,并说明理由. C CMN∆ 1l 2l 2120 <−−+< xx M M, ∈ba M 14 −ab ab −2