湖南省常德市2019届高三上学期检测考试数学（文）试题 Word版含解析

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- 1 - 数学（文科试题卷） 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1.已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 解一元二次不等式求得集合 ，解不等式求得集合 ，然后求两个集合的交集. 【 详 解 】 由 ， 解 得 ； 由 ， 解 得 ， 故 .故选 A. 【点睛】本小题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.已知复数 （ 是虚数单位），则 的实部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算化简复数 z，从而得到其实部. 【详解】∵ ，∴z 的实部为 ． 故应选 B． 【点睛】数 运算，难点是乘除法法则，设 ， 则 ， 的 2{ | 4 0} { | 3 2 6}A x x B x x，= - < = - < < A B∩ = )2,2 3(− ( 2,2)− 3( ,3)2 − )3,2(− A B 2 4 0x − < 2 2x− < < 3 2 6x− < < 3 32 x− < < 3 ,22A B  ∩ = −   3 1 2z i = − i z 3 5- 3 5 1 5 − 1 5 ( ) ( )( ) 3 1 2i3 3 6 i1 2i 1 2i 1 2i 5 5z += = = +− − + 3 5 ( )1 2, , , ,z a bi z c di a b c dR= + = + ( )( ) ( )1 2z z a bi c di ac bd ad bc i= + + = − + + - 2 - . 3.如图是一个边长为 5 的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随 机投掷 500 个点，其中落入黑色部分的有 300 个点，据此可估计黑色部分的面积为 （ ） A. 17 B. 16 C. 15 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】 利用面积比列方程，解方程求得黑色部分的面积. 【详解】设黑色部分的面积为 ，则 ，故选 C. 【点睛】本小题主要考查面积测算的问题，考查方程的思想，属于基础题. 4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 ， ，则输出 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 2 2 a bi c di ac bd bc ad iz a bi z c di c di c di c d + − + + −+= = =+ + − + S 300 , 155 5 500 S S= =× 4x = − 1y = z 5 2 5 4 2 3 1 2 - 3 - 运行程序进行计算，当 时，退出程序，输出 的值. 【 详 解 】 运 行 程 序 ， ， ， 判 断 否 ， ， 判 断 否 ， ，判断是，输出 ，故选 B. 【点睛】本小题主要考查计算程序框图输出结果，考查运算求解能力，属于基础题. 5.已知函数 ，则下列说法不正确的是（ ） A. 函数 的周期为 B. 函数 的图像关于点 对称 C. 将函数 的图像向右平行移动 个单位得到函数 的图像 D. 函数 的图像关于直线 对称 【答案】D 【解析】 【分析】 利用三角函数的性质，对四个选项逐一分析，由此得到说法不正确的选项. 【 详 解 】 的 最 小 正 周 期 为 ， 故 A 选 项 正 确 . ，故 B 选项正确. 将函数 的图像向右平行移动 个单位得到函数 ，故 C 选项正确. ， 故 不是 的对称轴，即 D 选项说法错误.所以本小题选 D. 【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性，考查三角函数的对称性，考查三角函数图像变 换，属于基础题. 6.《张丘建算经》卷上第 22 题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三 丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布， 1z x− < z 4, 1x y= − = 1−=z 11, 2x z= − = 1 5,2 4x z= = 5 4z = ( ) 2sin 2 3f x x π = +   ( )y f x= π ( )y f x= ,06 π −   ( )y f x= 6 π 2sin2y x= ( )y f x= 3x π= ( )f x 2π π2T = = π π π2sin 2 06 6 3f     − = × − + =         ( )y f x= 6 π π πsin 2 2sin 26 3y x x   = − + =     π 2sin π 03f   = =   π 3x = ( )f x - 4 - 第 1 天织了 5 尺布，现在一月（按 30 天计算）共织 390 尺布.此问题中若记该女子一月中的 第 天所织布的尺数为 ，则 的值为（ ） A. 56 B. 52 C. 28 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意设出等差数列的公差 ，然后利用前 项和列方程，解方程求得 的值，由此求得 的值. 【详解】等差数列的首项 ，设公差为 ，故 ，解得 ，故 .故选 D. 【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查中国古代数学文化，属于基础题. 7.已知 ， ， ，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先判断出小于零 数，然后判断出 到 之间的数，最后判断出大于 的数，由此得出 的大小关系. 【 详 解 】 由 于 ， ， ， 故 ，故选 A. 【点睛】本小题主要考查对数比较大小，考查“ ， ”分段法，属于基础题. 8.已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与抛物线交于 ， 两点， 为 的中点，若 ，则点 到 轴的距离为（ ） 的 n na 14 17a a+ d 30 d 14 17a a+ 1 5a = d 30 1 30 2930 3902S a d ×= + = 16 29d = 14 17 12 29 26a a a d+ = + = 0.32a = 23.0=b 2log 0.3c = a b c， ， cba >> a c b> > acb >> b a c> > 0 1 1 , ,a b c 2 2log 0.3 log 1 0c = < = ( )20.3 0.09 0,1b = = ∈ 0.3 02 2 1a = > = cba >> 0 1 2: 4C y x= F F l A B M AB | | 8AB = M y - 5 - A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 利用抛物线的定义和中点坐标公式列方程组，由此求得 到 的距离. 【详解】设 ， ，根据抛物线的定义和中点坐标公式，有 ，故 ，也即 到 的距离为 .故选 A. 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查中点中点坐标公式，属于基础题. 9.如图，网格线上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其正视图，侧视 图均为等边三角形，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由三视图判断出几何体的结构，进而求得几何体的体积. 【详解】等边三角形的高为 ，由三视图可知，该几何体的左边是一个三棱锥， 右 边 是 一 个 半 个 圆 锥 ， 由 此 可 求 得 几 何 体 的 体 积 为 M y ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ( )0 0,M x y 1 2 1 2 1 2 0 2 8 2 AB x x p x x x xx  = + + = + + = += 1 2 32 x x+ = M y 3 8 3 (1 )3 π+ 4 3(2 )π+ 4 3 (2 )3 π+ 4 3(1 )π+ 2 22 1 3− = - 6 - ，故选 C. 【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查锥体体积计算公式，考查运算求解能力， 属于基础题. 10.函数 的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性，以及函数图像上的特殊点，对选项进行分析和排除，由此得出正确选项. 【 详 解 】 ， 定 义 域 为 ， ，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除 两 个选项. ，排除 D 选项，故选 A. 【点睛】本小题主要考查函数图像的判断，考查函数的奇偶性，属于基础题. 11.在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，且 ，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 21 1 1 14 2 2 3 π 2 2 33 2 3 2V = × × × × + × × × × ( )8 3 4 3π 4 3 2 π3 3 3 = + = + ln | |cos xy x x x= + ( ) lncos xf x x x x = + { }| 0x x ≠ ( ) ( )lncos xf x x x f xx  − = − + = −    ,B C ( ) ln ππ π 0πf = − + < ABC∆ A B C， ， a b c， ， sin( )6 2 b cB a π ++ = 2 2 2 4b c a+ - = ABC∆ 1 3 3 2 3 - 7 - 【解析】 【分析】 利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，求得 的值，由此求得三角形 的面积. 【详解】由正弦定理得 ，由于 ，故上式化简 得 ， 由 于 是 三 角 形 内 角 ， 故 . 由 余 弦 定 理 得 ， 故 ， 所 以 三 角 形 的 面 积 为 .故选 B. 【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理，考查两角和的正弦公式以及三角形内角和定 理，考查方程的思想，属于中档题. 12.已知双曲线 ： 的左焦点为 ， ， 为曲线 的左、右顶点，点 在曲线 上，且 轴，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ， 为 坐标原点，若 ，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 依题意得到 点的坐标，计算出直线 的方程，由此求得 两点的坐标，利用 列方程，化简求得离心率. 【详解】由于 轴，不妨设 ，而 .故直线 的方程 分 别 为 ， ， 令 ， 求 得 ,A bc ABC π sin sinsin 6 2sin B CB A + + =   ( )BAC += sinsin π 1sin 6 2A − =   A π π π,6 6 3A A− = = 2 2 2 2 cos 4b c a bc A+ − = = 4bc = 1 1 3sin 4 32 2 2bc A = × × = C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > F A B C P C PF x⊥ AP y M BP y N O 1 3ON OM=-   C 2 2 5 2 P PBPA, ,M N 1 3ON OM= −  PF x⊥ 2 , bP c a  −   ( ) ( ),0 , ,0A a B a− PBPA, ( ) ( )2by x aa c a = +− + ( ) ( )2by x aa c a = −− − 0x = - 8 - ，由于 ，故 ，化简得 ，故 选 B. 【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查直线方程的求法，属于中档题. 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13.设向量 ， ，且 ，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】 利用向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得 的值. 【 详 解 】 ， 由 于 ， 所 以 ， 即 ，解得 ，故 . 【点睛】本小题主要考查平面向量坐标运算，考查向量垂直的坐标表示，考查方程的思想， 属于基础题. 14.已知 ，且 满足 ，若 的最大值为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】 画出可行域，向下平移 到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点 处取得最大值为 . 2 2 ,M N b by yc a a c = =− + + 1 3ON OM= −  2 21 3 b b c a c a = − ⋅+ − + 2c a = (3, 1)a = − (1, )b m= ( 2 )a b a+ ⊥  | |b = 65 m ( )2 5, 1 2a b m+ = − +  ( )2a b a + ⊥ ( )2 0a b a+ ⋅ =   ( ) ( )5, 1 2 3, 1 15 1 2 0m m− + ⋅ − = + − = 8m = 21 8 65b = + = x R y R，Î Î ,x y 2 4 0 x y x y y + ≥  + ≤  ≥ 2 5z x y= − 052 =− yx (4,0) 2 4 8× = - 9 - 【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属 于基础题. 15.已知直线 l：kx﹣y+2k﹣1＝0 与圆 x2+y2＝6 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作直线 l 的垂线 与 y 轴交于 C，D 两点，若|AB|＝ ，则|CD|＝_____ 【答案】 【解析】 【分析】 由|AB|＝ ，可得 r2﹣d2＝2，即 ，得 k＝﹣ ，即 tan ,过 D 作 DH⊥AC 于 H，则 HD＝AB，在 Rt△DHC 中，计算 CD＝ 即可. 【详解】如图所示，设圆心到直线 l 的距离为 d，由|AB|＝ ，可得 r2﹣d2＝2, ∴d＝2，即 ，解得 k＝﹣ ,∴直线 AC 的斜率为 ，可得 tan ， 过 D 作 DH⊥AC 于 H，则 HD＝AB,在 Rt△DHC 中，CD＝ . 22 10 2 3 22 2 | 2 1| 2 1 k k − = + 3 4 3HCD 4 ∠ = HD 10 2 sin HCD 3 =∠ 22 2 | 2 1| 2 1 k k − = + 3 4 4 3 3HCD 4 ∠ = HD 5 10 22 2sin HCD 3 3 = × =∠ - 10 - 故答案为： 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，转化为解直角三角形是关键，属于中档题． 16.已知函数 为偶函数，当 时， ，则曲线 在点 处 的切线方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】 利用奇偶性求得函数在 时的解析式，然后利用导数求得切线方程. 【 详 解 】 设 ， 则 ， 由 于 函 数 为 偶 函 数 ， 故 . ， ， 故 切 线 方 程 为 ， 即 . 【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，属于基 础题. 三、解答题（本大题共 70 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知等比数列 的各项均为正数，且 ， ，数列 的前 项和为 . （Ⅰ）求 ； 10 2 3 ( )f x 0x ≤ 1( ) 2xf x e x+= + ( )y f x= (1, 1)− 3 2 0x y+ − = 0x > 0x > 0<− x ( ) ( ) 1 2xf x f x e x− += − = − ( )' 1 2xf x e− += − − ( )' 01 2 3f e= − − = − ( ) ( )1 3 1y x− − = − − 3 2 0x y+ − = { }na 1 1a = 7321 =++ aaa }{ nn ab − n 2 nS n= na - 11 - （Ⅱ）求数列 的前 项和 ． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【解析】 【分析】 （I）将已知条件转化为 ，由此求得 的值，进而求得 的通项公式.（II）利用 求得 的表达式，由此求得 的表达式，利用分组求和法求 的值. 【详解】（Ⅰ）设等比数列 的公比 即 ， 解得： 或 ， 又 的各项为正， ，故 （Ⅱ）设 ，数列 前 n 项和为 . 由 解得 . . , . 【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查数列通项公式的求法，考查分组求和 法，所以中档题. 18.如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， . }{ nb n nT 12n na -= 2 2 1nn + − 1a q, q na 1n nS S −− nn ab − nb nT { }na q  1 2 3 7a a a+ + = 21 7q q+ + = 2q = 3− { }na 0q∴ > 2q = ∴ 12n na −= n n nc b a= − { }nc 2 nS n= 1 1 , 1, , 2.n n n S nc S S n− ==  − ≥ 2 1nc n= − 2 1n nb a n∴ − = − 12 1 2 1 2n n nb n a n −∴ = − + = − + ( ) ( )1 1 2 1 3 + 2 1 1 2 2n n nT b b b n   − ∴ = + + + = + + − + + +  2 21 2 2 11 2 n nn n −= + = + −− P ABCD− PD ⊥ ABCD / /AB CD AB BC⊥ 4AB BC= = 2 2CD CE= = - 12 - (Ⅰ)证明：平面 平面 ； (Ⅱ)若 的面积为 ，求三棱锥 的体积. 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) . 【解析】 【分析】 （I）利用勾股定理证明 ，根据 平面 证得 ，由此证得平面 平面 .（II）利用三角形 的面积列方程求得 的长，然后计算出三棱锥 的体积. 【详解】(Ⅰ)在直角梯形 中， ， ， ， = ， ， , 平面 ， 平面 ， ，又 平面 ，又 平面 ， 平面 平面 . (Ⅱ)设 ， = ， , PAD ⊥ PDE }0,1{− 212 P ADE− 5 5 3 AD DE⊥ PD ⊥ ABCD PD DE⊥ PAD ⊥ PDE PAB PD ABCD 4AB BC= = 2CD = 1CE = ABE ECD∠ = ∠ ∴ 2 2DE CE CD= + 5 2 2 5AB BE AB= + = 2 2( )AD AB CD BC= − + 2 5= ∴ 2 2 2DE AE AD+ = ∴ AD DE⊥  PD ⊥ ABCD DE ⊂ ABCD ∴ PD DE⊥ AD PD D∩ = ∴ DE ⊥ PAD DE ⊂ PDE ∴ PAD ⊥ PDE PD h= 2 2BD CD BC= + 2 5 2 5AD = ∴ 2 20PA PB h= = + ∴ 2 21 1 2 2PABS AB PA AB∆  = ⋅ ⋅ −   22 16h= ⋅ + 2 21= ∴ 5h = - 13 - 又 . 【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积计算，属于中档题. 19.某地因受天气，春季禁渔等因素影响，政府规定每年的 7 月 1 日以后的 100 天为当年的捕 鱼期.某渔业捕捞队对吨位为 的 20 艘捕鱼船一天的捕鱼量进行了统计，如下表所示： 捕鱼量(单位：吨) 频数 2 7 7 3 1 根据气象局统计近 20 年此地每年 100 天的捕鱼期内的晴好天气情况如下表（捕鱼期内的每个 晴好天气渔船方可捕鱼，非晴好天气不捕鱼）： 晴好天气(单位： 天) 频数 2 7 6 3 2 （同组数据以这组数据的中间值作代表） （Ⅰ）估计渔业捕捞队吨位为 的渔船一天的捕鱼量的平均数； （Ⅱ）若以（Ⅰ）中确定的平均数作为上述吨位的捕鱼船在晴好天气捕鱼时一天的捕鱼量. ①估计一艘上述吨位的捕鱼船一年在捕鱼期内的捕鱼总量； ②已知当地鱼价为 2 万元/吨，此种捕鱼船在捕鱼期内捕鱼时，每天成本为 10 万元/艘；若不 捕鱼，每天成本为 2 万元/艘，请依据往年天气统计数据，估计一艘此种捕鱼船年利润不少于 1600 万元的概率. 1 52ADES AD DE∆ = ⋅ = ∴ 1 5 5 3 3P ADE ADEV S h− ∆= ⋅ = 40t [ )5,10 [ )10,15 [ )15,20 [ )20,25 [ ]25,30 [ )50,60 [ )60,70 [ )70,80 [ )80,90 [ ]90,100 40t - 14 - 【答案】（Ⅰ）16 吨；（Ⅱ）①1168 吨；② . 【解析】 【分析】 （I）先计算出总的捕鱼量，然后除以 ，得到平均数.（II） ①先计算出近 年晴好天气 数的平均值，乘以每天捕鱼量的平均数，得到一年捕鱼总量的估计值.②先求得年利润的表达 式，利用年利润不少于 列不等式，解不等式求得需要晴好天气天数，再根据表格数据求 得概率. 【详解】（Ⅰ）此吨位的捕鱼船一天的捕鱼量的平均数为： 吨 , （Ⅱ）①此吨位的捕鱼船 20 年的此地的晴好天气天数的平均值为： 天 又 吨 所以预计一艘上述吨位的捕鱼船下一年在捕鱼期内的捕鱼量大约 1168 吨 . ②设每年 100 天的捕鱼期内晴好天气天数为 则年利润为 由 得： . 一艘此种捕鱼船年利润不少于 1600 万元，即捕鱼期内的晴好天气天数不低于 75， 又 100 天 捕鱼期内的晴好天气天数不低于 75 的频率为 预测一艘此种捕鱼船年利润不少于 1600 万元的概率为 . 【点睛】本小题主要考查由频数分布计算平均数，考查古典概型的计算，属于基础题. 20.已知椭圆 的离心率为 ，下顶点为 ， 为椭圆的左、 右焦点，过右焦点的直线与椭圆交于 两点，且 的周长为 . （I）求椭圆 的方程； (II)经过点 的直线与椭圆 交于不同的两点 (均异于点 )，试探求直线 与 的斜率之和是否为定值，证明你的结论. , 的 0.4 20 20 1600 ( )1 7.5 2 12.5 7 17.5 7 22.5 3 27.5 1 1620x = × + × + × + × + × = ( )1 55 2 65 7 75 6 85 3 95 2 7320 × + × + × + × + × = 16 73 1168× = x ( ) ( )16 2 10 2 100 24 200y x x x= × − − − = − 24 200 1600x − ≥ 75x ≥ 3 3 2 0.420 + + = 0.4 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 2 A 21 FF， M N、 1F MN∆ 24 C (1,1) C ,P Q A AP AQ - 15 - 【答案】（I） ；(II) 证明见解析. 【解析】 【分析】 （I）根据离心率和三角形 的周长列方程，解方程求得 的值，进而求得 的值，从 而求得椭圆方程.（II）先求得直线 斜率不存在时， 与 得斜率之和.当直线 斜 率存在时，设出直线 的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，利用 两点的坐标表示出 ，化简后得到 .由此判断出直线 与 的斜率 之和为定值 . 【详解】（Ⅰ）由题设知 ， 由椭圆的定义知： 的周长为 ，解得 . 故 因此 ，所以椭圆的方程为 . （Ⅱ）由题设知， 当直线 的斜率不存在时，直线方程为 ， 此时 ，则 . 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， 联立 ，得 . 由题意知 ，因此设 ， 则 ， 故有直线 的斜率之和为 2 2 12 x y+ = 1F MN a ,c b PQ AP AQ PQ PQ ,P Q AP AQk k+ 2AP AQk k+ = AP AQ 2 2 2 ce a = = 1F MN∆ 4 4 2a = 2a = 1,c = 1b = 2 2 12 x y+ = PQ 1x = 2 21, , 1,2 2P Q    −          2AP AQk k+ = PQ PQ ( )1 1y k x= − + ( ) 2 2 1 1 2 2 0 y k x x y  = − +  + − = ( ) ( ) ( )2 21 2 4 1 2 2 0k x k k x k k+ − − + − = 0∆ > ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y ( ) ( ) 1 2 1 22 2 4 1 2 2,1 2 1 2 k k k kx x x xk k − −+ = =+ + ,AP AQ ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2AP AQ y y kx k kx k x xk k k kx x x x x x + + + − + − ++ = + = + = + − - 16 - 即直线 的斜率之和为定值 2. 【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查斜率公式，考 查运算和求解能力，所以中档题. 21.已知函数 . (Ⅰ)讨论函数 的单调性； (Ⅱ)设 ，若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围. 【答案】(Ⅰ) (1)若 ， 在 上单调递增；(2)若 ， 在 上单调 递增；在 上单调递减； (Ⅱ) . 【解析】 【分析】 （I）先求得函数的导数和定义域，然后对 分成 两类，讨论函数的单调性.（II） 将原不等式恒成立转化为“ 对任意的 恒成立”，根据（I）的结论，结合函数 的单调性，以及 恒成立，求得 的取值范围. 【详解】(Ⅰ) , (1)若 ，则 ，函数 在 上单调递增； (2)若 ，由 得 ；由 得 函数 在 上单调递增；在 上单调递减. (Ⅱ)由题设， 对任意的 恒成立 即 对任意的 恒成立 ( ) ( ) ( ) ( )4 12 2 2 2 1 22 2 k kk k k kk k −= + − = − − =− ,AP AQ 21 1( ) ln ( 1) ( )2 2f x x ax a x a R= + + + + ∈ ( )f x a R∈ 0x > 21 1'( ) ln2 2xf x ax x≤ − + a 0a ≥ ( )f x (0, )+∞ 0a < ( )f x )1,0( a − 1( , )a − +∞ 1a ≤ − a 0, 0a a≥ < ( ) 0f x ≤ 0x > ( )max 0f x ≤ a ( ) ( )( )1 11 1 x axf x ax ax x + += + + + =′ ( 0)x > 0a ≥ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,+∞ 0a < ( ) 0f x′ > 10 x a < < − ( ) 0f x′ < 1x a > − ∴ ( )f x 10, a  −   1 ,a  − +∞   ( ) 21 1ln2 2xf x ax x≤ − +′ 0x > ( )21 1ln 1 02 2x ax a x+ + + + ≤ 0x > - 17 - 即 对任意的 恒成立 , 由(Ⅰ)可知， 若 ，则 ， 不满足 恒成立, 若 ，由(Ⅰ)可知，函数 在 上单调递增；在 上单调递减. ，又 恒成立 ，即 , 设 ，则 函数 在 上单调递增，且 ， ，解得 的取值范围为 . 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究不等式恒成立问 题，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，综合性很强，属于难题. 请考生在第 22，23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分． 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系中，已知曲线 （ 为参数）， .以 原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （I）写出曲线 与圆 的极坐标方程； （II）在极坐标系中，已知射线 分别与曲线 及圆 相交于 ，当 时，求 的最大值. ( ) 0f x ≤ 0x > 0a ≥ ( ) 3 31 02 2f a= + > ∴ ( ) 0f x ≤ 0a < ( )f x 10, a  −   1 ,a  − +∞   ( )max 1f x f a  ∴ = −   1 1 1ln 2 2a a  = − − −   ( ) 0f x ≤ ( )max 0f x∴ ≤ 1 1 1ln 02 2a a  − − − ≤   ( ) 1ln 2 2 xg x x= + − 1 0g a  − ≤    ( )g x ( )0,+∞ ( )1 0g = 10 1a ∴ < − ≤ 1a ≤ − a∴ 1a ≤ − 2 2: 21 2 x t C y t  = −  = + t 2 2: 4 0M x y x+ − = O x C M ( ): 0l θ α ρ= ≥ C M ,A B 0, 2 πα  ∈   OMB OMA S S ∆ ∆ - 18 - 【答案】（I） , ；（II） . 【解析】 【分析】 （I）将曲线 参数消去转化为普通方程，然后转化为极坐标方程.利用普通方程与极坐标 方程的互化公式将圆 的普通方程转化为直角坐标方程.（II）由于两个三角形的高相同， 故将面积的比转化为 ，将 代入曲线 和圆 的极坐标方程，求得 ， ， 由此求得 的表达式，利用辅助角公式进行化简，并根据三角函数的值域，求得 的 最大值. 【详解】(Ⅰ)曲线 的普通方程为 ，由普通方程与极坐标方程的互化公式的 的极 坐 标 方 程 为 ： ， 即 . 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 ： . (Ⅱ)因为 与 以点 为顶点时，它们的高相同，即 , 由(Ⅰ)知， ，所以 , 由 得 ，所以当 即 时， 有最大值为 , 因此 的最大值为 . 【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查普通方程转化为极坐标方程，考查 三角形面积的比，考查极坐标系下长度的计算，属于中档题. 的 sin( ) 14 πρ θ + = 4cosρ θ= 2 2 2+ C M OB OA θ α= C M OA OB OB OA OMB OMA S S ∆ ∆ C 1x y+ = C ( )cos sin 1ρ θ θ+ = sin 14 πρ θ + =   M 4cosρ θ= OBM∆ OAM∆ M OMB OMA OBS S OA ∆ ∆ = 1 , 4cossin cosA BOA OBρ ρ αα α= = = =+ ( ) ( )24cos sin cos 2sin2 4cos 2 1 sin2 cos2 2 2 2sin 2 4 OB OA πα α α α α α α α = + = + = + + = + +   0 ,2 πα< < 524 4 4 π π πα< + < 2 ,4 2 π πα + = 8 πα = OA OB 2 2 2+ OMB OMA S S ∆ ∆ 2 2 2+ - 19 - 选修 4-5：不等式选讲 23.已知函数 ， . (Ⅰ)当 ，求不等式 的解集； (Ⅱ)若函数 满足 ，且 恒成立，求 的取值范围. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) . 【解析】 【分析】 （I）当 时，利用零点分段法去绝对值，将所求不等式转化为不等式组来求解出 来.（II）根据 求得 图像关于 对称，由此求得 的值，将不等 式恒成立问题，转化为 恒成立.利用分离常数法，结合基本不等式，求得 的取值范围. 【详解】(Ⅰ)当 ， ， 等价于 或 ，解得 ， 所以原不等式的解集为 ； (Ⅱ)因为 ， 所以函数 的图像关于直线 对称， , 因为 恒成立，等价于 恒成立， 令 ，当 时， ，可知 ； 原不等式等价于 ； 当 时， ； 综上， 的取值范围为 . 【点睛】本小题主要考查利用零点分段法解绝对值不等式，考查利用分离常数法求解不等式 恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. BA, ( ) | |g x a x b= − 1, 2a b= = ( ) ( )f x g x≤ ( )g x (1 ) (1 )g x g x+ = − ( ) 3 ( )f x g x+ ≥ a { | 1 2}x x− ≤ ≤ ( ,2 2]−∞ 1 2a b= =， ( ) ( )1 1g x g x+ = − ( )g x 1x = b 2 2 3 1x x a x− + ≥ − a 1 2a b= =， ( ) ( )f x g x ≤ 2 2 2x x x∴ − ≤ − 2 2 2 2 x x x x ≥  − ≤ − 2 2 2 2 x x x x <  − ≤ − + 1 2x− ≤ ≤ { | 1 2}x x− ≤ ≤ ( ) ( )1 1g x g x+ = − ( )g x 1x = 1b∴ = ( ) ( )3f x g x+ ≥ 2 2 3 1x x a x− + ≥ − 1x t− = 1x ≠ ( ) 2 2tt t ϕ += 2t t = + ( )0, 2 2t tϕ> ≥ ( )min 2 2a tϕ≤ = 1x = a R∈ a ( ,2 2−∞  - 20 - - 21 -