2018-2019学年河南省实验中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年河南省实验中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年河南省实验中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．=(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用诱导公式将化为，结合特殊角的三角函数可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为 ,‎ 所以 ，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.‎ ‎2．若是第一象限角，则终边在 ( )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或第三象限 D．第一象限或第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】利用是第一象限角，得出角的范围，从而可得的范围.‎ ‎【详解】‎ 因为是第一象限角，所以，所以，;‎ 当为偶数时，终边在第一象限；当为奇数时，终边在第三象限；故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查角的终边所在象限，一般是利用角的范围求解.题目较为简单.‎ ‎3．已知D是△ABC边AB上的中点，则向量（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用向量的线性运算，用基底表示向量.‎ ‎【详解】‎ 因为D是△ABC边AB上的中点，所以.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量的线性运算，利用基向量表示向量时，注意把目标向量向基向量靠拢.‎ ‎4．已知，，与的夹角为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先利用向量夹角，求出，再利用模长公式求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，，与的夹角为，所以;‎ 所以，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的数量积运算，利用数量积求解模长问题，一般是把目标式先进行平方，再开方可得模长.‎ ‎5．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析角之间的关系，利用倍角公式可求.‎ ‎【详解】‎ 因为，,所以；‎ ‎，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用倍角公式的求值问题，给值求值问题，一般是先找已知角和所求角之间的关系，再结合相关公式进行求解.‎ ‎6．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A．先向左平移平移，再横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B．先向左平移个单位，再横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变.‎ C．先横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，再向左平移个单位.‎ D．先横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，再向左平移个单位.‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用平移伸缩变换规律直接判断即可。‎ ‎【详解】‎ 将函数的图象先横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，‎ 得到：函数的图象，再将它向左平移个单位得到：‎ 函数的图象.即：的图象。‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的平移、伸缩规律，属于基础题。‎ ‎7．函数的定义域为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】结合对数函数的定义域，可知真数要大于零；结合根式的意义，可知被开方式非负，从而可求.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，解得，其中；‎ 当时，两式取交集可得；当时，两式取交集可得；‎ 当时，两式取交集可得；综上可知选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数定义域的求解，根据解析式的特点，列出相应的限制条件，求出各限制条件的交集，可得函数的定义域.‎ ‎8．已知是方程的两个根，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用根与系数的关系，求出，结合和角公式求出，再结合范围求出.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，；‎ 所以；‎ 因为，，，‎ 所以，所以.‎ 因为，所以.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两角和的正切公式，给值求角问题，一般是先求角的函数值，结合角的范围及函数值，可得所求角.‎ ‎9．已知点为的重心，过点作直线与，两边分别交于两点，且 ，则（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由为的重心，可得，结合，，根据三点共线，得到的关系式，整理后即可得到答案 ‎【详解】‎ 为的重心，‎ ‎，‎ 与共线 存在实数使得 即 由向量相等的定义可得 消去可得 两边同时除以整理可得 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查的知识点是向量的线性性质以及几何意义，向量的共线定理以及三角形的重心，属于中档题。‎ ‎10．已知函数，则下列说法正确的是(　　)‎ A．的最小正周期为 B．的值域为[-1,1]‎ C．在区间上单调递减 D．的图象关于中心对称 ‎【答案】D ‎【解析】先化简函数解析式，讨论去掉绝对值，结合解析式的特点，求解函数的性质.‎ ‎【详解】‎ 因为，故A错误；‎ 当时，；当时，；‎ 因为，所以的值域为，故B错误；‎ 当时，，此时为增函数，故C错误；‎ ‎，所以D正确.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图像和性质，研究函数的性质时，注意定义域优先的原则.‎ ‎11．已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为,则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用，确定点O的位置，结合三角形面积公式求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以,‎ 分别取的中点,则,.‎ 所以,即三点共线且.如图所示，‎ 则,由于D为AC中点，所以,所以.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量的应用，利用向量的线性运算及共线定理确定点的位置是求解本题的关键.‎ ‎12．已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为(　　)‎ A．7 B．9 C．11 D．13‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据的零点和对称轴确定出的取值及的范围，结合在单调确定的最大值.‎ ‎【详解】‎ 因为为的零点，所以；因为为图像的对称轴，所以，所以；‎ 因为在单调，所以，所以.‎ 若，此时，，在递增，在递减，不符合题意；‎ 若，此时，，在递减，符合题意；故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图像和性质，利用性质确定函数的解析式时，注意参数的取值范围.‎ 二、填空题 ‎13．已知扇形AOB周长为3，当扇形面积最大时，扇形的圆心角为_______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】利用扇形周长和面积计算公式求解，确定面积的最大时的条件，求出圆心角.‎ ‎【详解】‎ 设扇形弧长为，半径为,则，扇形的面积,当时，取到最大值；此时.由得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查扇形的面积最值问题，明确面积的表达式，结合表达式的特征，利用二次函数求出最值或取到最值的条件.‎ ‎14．已知向量，.若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用向量的坐标运算先表示向量，结合夹角为锐角，可求的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以，.‎ 因为向量与的夹角为锐角，所以且与不同向. 由得；与不同向时得；所以实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量的夹角问题，向量夹角为锐角则数量积为正且两个向量不同向，向量夹角为钝角则数量积为负且两个向量不反向.‎ ‎15．______．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】化切为弦，利用倍角公式，化简可得.‎ ‎【详解】‎ 因为 ‎,‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的恒等变换求值问题，三角函数的恒等变换的主要求解思路：统一角度，统一函数，降低次数.‎ ‎16．已知边长为2的正方形ABCD的顶点A、B分别在两条互相垂直的射线OP、OQ上滑动，则的最大值为_______．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】利用向量的线性运算，用基向量表示出,求出的表达式，再求其最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎,,所以 .‎ ‎ 设AB的中点为E，则,‎ ‎.‎ 所以当时，取到最大值8.故填8.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量的应用，合理选择基向量，是求解这类问题的关键.‎ 三、解答题 ‎17．已知，计算下列各式的值．‎ ‎(1)；‎ ‎(2).‎ ‎【答案】(1);(2)-3.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用同角基本关系式化简计算即可；（2）利用诱导公式及商数关系化简计算即可.‎ 试题解析：‎ 由题易得：‎ ‎（Ⅰ）原式 ‎（Ⅱ）原式 ‎ 点睛：1．利用sin2＋cos2＝1可以实现角的正弦、余弦的互化，利用＝tan可以实现角的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin＋cos，sincos，sin－cos这三个式子，利用(sin±cos)2＝1±2sincos，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2＋cos2，sin2＝1－cos2，cos2＝1－sin2.‎ ‎18．已知、、是在同一平面内的三个向量，其中 ‎(1)若，且∥，求坐标；‎ ‎(2)若，且⊥，求与的夹角.‎ ‎【答案】(1) c=(2,4)或（-2，-4）;(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）由，设，可设，利用列方程求出的值，从而可得结果；（2）由可得，由可求得的模，结合，利用公式可得结果.‎ 详解：（1），设，则，又，解得或.‎ ‎（2）平面内向量夹角的的取值范围是， ， ，又 ，解得 ‎， 与的夹角为，故答案为（1）或；（2）.‎ 点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 ‎ 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）‎ ‎19．已知函数. ‎ ‎（1）已知角的顶点和原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，求的值；‎ ‎（2）若，，求的值.‎ ‎【答案】（1） (2) ‎ ‎【解析】（1）根据三角函数的定义求出角，然后根据两角和的余弦公式求解；（2）由得，所以，再求出，最后根据求解可得所求．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵角的终边过点，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用三角变换求值，考查转化求解的能力，解题的关键是结合题意选择合适的公式，同时对于给值求值问题，要注意将所给条件作为一个整体，并通过适当的角的变换进行求解，属于基础题．‎ ‎20．设平面向量， ，函数.‎ ‎(1)求的最小正周期，并求出的单调递减区间；‎ ‎(2)若方程在内无实数根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）最小正周期为．单调递减区间为， （2）‎ ‎【解析】（1）根据向量坐标运算公式，求出的表达式，化简为标准型，从而可得周期和单调区间；‎ ‎（2）求出的值域，结合图像特点，得出范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意得 .‎ ‎∴的最小正周期为． ‎ 由，‎ 得．‎ ‎∴函数的单调递减区间为， ． ‎ ‎(2)由可得：‎ ‎∵，∴，∴令,则. ‎ 只需直线与图像没有交点即可.‎ ‎∴或者 ‎ 解得：或 ‎ 故的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图像与性质，利用恒等变换先把函数化为标准型，再结合换元法可求单调区间及最值等.‎ ‎21．为了及时向群众宣传“十九大”党和国家“乡村振兴”战略，需要寻找一个宣讲站，让群众能在最短的时间内到宣讲站．设有三个乡镇，分别位于一个矩形MNPQ的两个顶点M、N及P、Q的中点S处，，‎ ‎，现要在该矩形的区域内（含边界），且与M、N等距离的一点O处设一个宣讲站，记O点到三个乡镇的距离之和为．‎ ‎（1）设 ，将表示为的函数；‎ ‎（2）试利用（1）的函数关系式确定宣讲站O的位置，使宣讲站O到三个乡镇的距离之和最小．‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) 宣讲站位置满足：时,可使得三个乡镇到宣讲站的距离之和最小．‎ ‎【解析】（I）根据锐角三角函数的定义表示出OM，ON，OS，从而得出L关于x的函数；‎ ‎（II）利用反解法确定函数的取之范围，从而求出L（x）取得最小值时x的大小．‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）过O作OA⊥MN，垂足为T，则T为MN的中点，‎ ‎∴MTMN＝5，‎ ‎∴OM＝ON，OS＝5OT＝55tanx，‎ ‎∴L55tanx（0≤x）．‎ ‎（Ⅱ）　L（x）＝5（1），‎ ‎ ‎ 令 ，‎ 则 ，‎ 得：或（舍）， ‎ 当时，，取最小值，‎ 即宣讲站位置O满足：时 可使得三个乡镇到宣讲站的距离之和最小．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数解析式的求解，利用反解法确定函数最值，属于中档题．‎ ‎22．已知向量（其中），记，且满足.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若关于的方程在上有三个不相等的实数根，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）根据向量坐标运算公式，求出的表达式，化简为标准型，结合周期可得的解析式；‎ ‎（2）结合所给区间，求出的值域，再利用根的分布问题求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ ‎ ‎ 由，得是函数的一个周期，‎ 所以，的最小正周期，解得 ‎ 又由已知，得 ,‎ 因此，.‎ ‎（2） 由，得 ‎ 故：‎ 因此函数的值域为.‎ 设，‎ 使关于的方程在 上有三个不相等的实数根，当且仅当关于的方程在和上分别有一个实数根，或有一个实数根为1，另一实数根在区间上 令 ‎ ‎①当关于的方程在和上分别有一个实数根时，‎ 解得 ‎ ‎②当方程的一个根是时，，‎ 另一个根为，不满足条件；‎ ‎③当方程的一个根是时，，‎ 另一个根为，不满足条件；‎ 因此，满足条件的实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图像与性质，利用恒等变换先把函数化为标准型，再结合周期可求解析式；结合换元法可求最值问题等.‎