【数学】江西省南昌市进贤一中2019-2020学年高二下学期线上测试（理）(解析版)

【数学】江西省南昌市进贤一中2019-2020学年高二下学期线上测试（理）(解析版)

江西省南昌市进贤一中 2019-2020 学年 高二下学期线上测试（理） 一、单选题（每小题 5 分，共 60 分） 1．在空间直角坐标系中点 关于平面 对称点 的坐标是（　　） A．（1，﹣5，6） B．（1，5，﹣6） C．（﹣1，﹣5，6） D．（﹣1，5，﹣6） 2．下列说法中错误的是（ ） A．正棱锥的所有侧棱长相等 B．圆柱的母线垂直于底面 C．直棱柱的侧面都是全等的矩形 D．用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形 3．如图所示的平面中阴影部分绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为（ ） A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球挖去一个长方体 4．已知某圆锥的轴截面为一等腰 ，其中 ，则该圆锥 的体积为（ ） A． B． C． D． 5．已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么△ABC 的平面直观图△A′B′C′的面积为（ ） A． a2 B． a2 C． a2 D． a2 6．如图，空间四边形 OABC 中，向量 ， ， ，且 ， ，则 等于( ) （题目 OA,OB,OC,a,b,c,上面的符号是向量符号，选 项 a,b,c 上面的 r 是向量符号） ( )1,5,6P xoy Q ABC 5, 4AB AC BC= = = 2 21 3 π 21π 4 21 3 π 2 21π 3 4 3 8 6 8 6 16 OA a=  OB b=  OC c=  2OM MA= BN NC= MN A． B． C． D． 7．设 是不同的直线， 是不同的平面，则（ ） A．若 ， ，则 B．若 ， ， ，则 C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则 8．在直三棱柱 中，己知 ， ， ，则异面 直线 与 所成的角为（ ） A． B． C． D． 9．已知 ，点 在直线 上运动，则当 取得最小值时，点 的坐标为（　　）（注 OA,OB,OP,QA,QB 上的符号是向量符号） A． B． C． D． 10．如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点 E 是棱 AB 的中点， 则点 E 到平面 ACD1 的距离为(　　) A． B． C． D． 11．在正方体 中， 是棱 的中点，则对角线 与平面 所成 的角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 12．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的外 接球的表面积为( ) 2 2 1 3 3 2a b c+ +   1 2 2 1 2 1a b c+ −   1 2 2 1 3 2a b c− + +   1 2 3 1 2 2a b c− +   ,m n ,α β / /m α n ⊂ α //m n mα β = n β⊂ n m⊥ n α⊥ / /m α / /n β //m n / /α β m α⊥ n β⊥ n m⊥ α β⊥ 1 1 1ABC A B C− AB BC⊥ 2AB BC= = 1 2 2CC = 1AC 1 1A B 30° 45° 60° 90° ( ) ( ) ( )1,2,3 , 2,1,2 , 1,1,2OA OB OP= = =   Q OP QA QB⋅  Q 1 3 1, ,2 4 3      1 3 3, ,2 2 4      4 4 8, ,3 3 3      4 4 7, ,3 3 3      1 2 2 2 1 3 1 6 1 1 1 1ABCD A B C D− E 1CC 1BD BDE 6 3 3 3 2 3 1 3 A． B． C． D． 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13．已知 ， ，且 ，则 ________.（注 a,b 上的符号是 向量符号） 14．如图，二面角 等于 ， 、 是棱 上两点， 、 分别在半平面 、 内， ， ，且 ，则 的长等于______． 15．一个火柴盒长、宽、高分别为为 、 、 ，一只蚂蚁从火柴盒的一个角 处， 沿火柴盒表面爬到另一个角 处，所经过的最短路径长为__________ . 16．如图，二面角 的大小是 60°，线段 . ， 与 所成的角为 30°.则 与平面 所成的角的正弦值是 . 29π 34π 41π 50π ( )2,1,3a = ( )4,2,b x= − a b⊥  a b− =  lα β− − 120° A B l AC BD α β AC l⊥ BD l⊥ 1AB AC BD= = = CD 3cm 2cm 1cm A B cm lα β− − AB α⊂ B l∈ AB l AB β 三、解答题 17．（10 分）如图四边形 ABCD 为梯形， ，求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积． 18．（12 分）在三棱锥 中， 和 是边长为 的等边三角形， ， 分别是 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求证： 平面 . 19．（12 分）如图，在三棱锥 中， ， 分别为棱 的中点， 平面 平面 . 求证： （1） ∥平面 ； （2）平面 平面 . / / 90AD BC ABC∠ °， ＝ P ABC− ΔPAC ΔPBC 2 2AB = ,O D ,AB PB / /OD PAC OP ⊥ ABC P ABC− PA AB= ,M N ,PB PC PAB ⊥ PBC BC AMN AMN ⊥ PBC 20．（12 分）如图，等腰梯形 MNCD 中，MD∥NC，MN＝ MD＝2，∠CDM＝60°，E 为 线段 MD 上一点，且 ME＝3，以 EC 为折痕将四边形 MNCE 折起，使 MN 到达 AB 的位置， 且 AE⊥DC (1)求证:DE⊥平面 ABCE; (2)求点 A 到平面 DBE 的距离 21．（12 分）如图，在四棱锥 P−ABCD 中，AB//CD，且 . （1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD； 1 2 90BAP CDP∠ = ∠ =  （2）若 PA=PD=AB=DC， ，求二面角 A−PB−C 的余弦值. 22．（12 分）如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角 的正弦值． 90APD∠ =  P ABC− 2 2AB BC= = 4PA PB PC AC= = = = O AC PO ⊥ ABC M BC M PA C− − 30° PC PAM 参考答案 一，选择题：1.B 2 .C 3.B 4.C 5.D 6.C 7.D 8.C 9.C 10.C 11.C 12.B 1．B 【详解】 在空间直角坐标系中， 点 P（1，5，6）关于平面 xOy 对称点 Q 的坐标是（1，5，﹣6）． 故选：B． 2．C 【详解】 对于 A,根据正棱锥的定义知,正棱锥的所有侧棱长相等,故 A 正确； 对于 B,根据圆柱是由矩形绕其一边旋转而成的几何体,可知圆柱的母线与底面垂直,故 B 正 确； 对于 C,直棱柱的侧面都是矩形,但不一定全等,故 C 错误； 对于 D,圆锥的轴截面是全等的等腰三角形,故 D 正确. 综上可知,错误的为 C 故选:C 3．B 【解析】 【分析】 根据旋转体的定义，即可得出结论. 【详解】 由题意知形成的几何体为一个球挖去一个圆柱. 故选:B. 4．C 【详解】 根据题意作出圆锥的轴截面图形如下图所示： 其中 为线段 的中点，设底面圆的半径为 ， 则 ， 故圆锥的体积 ， 故选：C. 5．D 【详解】 如图①②所示的实际图形和直观图. 由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝ OC＝ a，在图②中作 C′D′⊥A′B′于 D′，则 C′D′＝ O′C′＝ a.所以 S△A′B′C′＝ A′B′·C′D′＝ ×a× a＝ a2. 故选：D. 6．C 【详解】 解： ， ， ， ， O BC r 2 2 25 4 21AO AB BO= − = − = 21 1 4 214 213 3 3V r h ππ π= = × = 1 2 3 4 2 2 6 8 1 2 1 2 6 8 6 16 BN NC= 1 ( )2ON OB OC∴ = +   2OM MA= 2 3OM OA∴ =  ，故选：C。 7．D 【详解】 对于 A，若 ， ，则直线 可以平行，也可以异面，所以 A 错误； 对于 B，因为 不一定能成立，所以当 ， ， 时， 不一定 成立，所以 B 错误； 对于 C，若 ， ， ，则 ，或平面 与平面 相交，所以 C 错误； 选项 D：若 ， ， ，则 成立，所以 D 正确. 故选:D. 8．C 【详解】 连接 ， ，如图： 又 ，则 为异面直线 与 所成的角. 因为 且三棱柱为直三棱柱，∴ ∴ 面 ， ∴ ， 又 ， ，∴ ， ∴ ，解得 . 故选 C 【点睛】 9．C 21 2 1( )2 3 3 2 1 2MN ON OM OB OC OA a b c∴ = − = + +− = − +         / /m α n ⊂ α ,m n α β⊥ mα β = n β⊂ n m⊥ n α⊥ / /m α / /n β //m n / /α β α β m α⊥ n β⊥ n m⊥ α β⊥ 1AC 1BC 1 1AB A B 1BAC∠ 1AC 1 1A B AB BC⊥ ， 1AB CC⊥ ， AB ⊥ 1 1BCC B 1AB BC⊥ 2AB BC= = 1 2 2CC = ( )2 2 1 2 2 2 2 3BC = + = 1tan 3BAC∠ = 1 60BAC∠ = ° 【详解】 ∵点 Q 在直线 OP 上运动，∴存在实数 λ 使得 （λ，λ，2λ）， ∴ ， ． ∴ （1﹣λ）（2﹣λ）+（2﹣λ）（1﹣λ）+（3﹣2λ）（2﹣2λ） ＝6λ2﹣16λ+10＝6 ， 当且仅当 时，上式取得最小值， ∴Q ． 故选 C． 10．C 【详解】 以 为坐标原点，直线 分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所 示： 设 ，则 ， , ， ， 为 的中点，则 ， ， 设平面 的法向量为 ，则 ，即 可得 OQ OPλ= =  ( )1 2 3 2QA λ λ λ= − − − ， ， ( )2 1 2 2QB λ λ λ= − − − ， ， QA QB ⋅ = 24 74( )3 9 λ − + 4 3 λ = 4 4 8 3 3 3     ，， D 1DA DC DD， ， x y z， ， AE x= ( )1 1 01A ，， ( )1 0 01D ，， ( )1 0E x， ， ( )1 0 0A ，， ( )0 2 0C ，， E AB ( )11 0E ，， ( )1 11 1D E∴ = − ，， ( )1 2 0AC = − ，， ( )1 1 01AD = − ，， 1ACD ( )n a b c= ， ， 1 0 0 n AC n AD  ⋅ = ⋅ =   2 0 0 a b a c − + =  − + = 2a b a c =  = 可取 点 到面 的距离为 故选 11．C 【详解】 如图,将正方体 放入空间直角坐标系中,设边长为 2,可得 为 , 为 , 为 , 为 ,则 , , , 设平面 的法向量 ,则 ,即 , 令 ,则 , 所以 , 则对角线 与平面 所成的角的正弦值为 , 故选：C 12．B 【详解】 由三视图知（结合长方体）该几何体的实物图应为三棱锥 ， 故球心肯定在长方体上、下底面的中心连线 上（设上、下底面的中心分别为 . 记球心为点 ，设 ，则 ， ( )21 2n = ，， ∴ E 1ACD 1 2 1 2 1 3 3 D E n d n ⋅ + −= = =    C 1 1 1 1ABCD A B C D− D ( )0,0,0 1D ( )0,0,2 B ( )2,2,0 E ( )0,2,1 ( )1 2, 2,2BD = − − ( )2,2,0DB = ( )2,0,1BE = − BDE ( ), ,n x y z= 0 0 n DB n BE  ⋅ =  ⋅ =   2 2 0 2 0 x y x z + = − + = 1x = ( )1, 1,2n = − 1 1 1 2 2 4 4 2cos , 31 1 4 4 4 4 6 2 3 n BDn BD n BD ⋅ − + += = = = + + ⋅ + + ⋅⋅   1BD BDE 2 3 A BCD− 1 2O O )1 2,O O O 2OO x= 2 2 2 22 2 2 1 1R OO O B OO O A= + = + 结合三视图数据得 ，解得 ，则 ， 故该几何体的外接球的表面积为 故选 B. 13． 【详解】 由题,因为 ,所以 ,即 , 所以 ,则 , 所以 , 故答案为： 【点睛】 本题考查已知向量垂直求坐标,考查坐标法向量的模 14．2 【详解】 ∵A、B 是棱 l 上两点，AC、BD 分别在半平面 α、β 内，AC⊥l，BD⊥l， 又∵二面角 α﹣l﹣β 的平面角 θ 等于 120°，且 AB＝AC＝BD＝1， ∴ ， 60°， ∴ 故答案为 2． 2 2 2 25 3(4 )2 2x x   + = − +       3 2x = 2 17 2R = 2 174 4 342Rπ π π= × = 38 a b⊥  8 2 3 0a b x⋅ = − + + = 2x = ( )4,2,2b = − ( )6, 1,1a b− = − ( )226 1 1 38a b− = + − + = 38 0CA AB AB BD⋅ = ⋅ =    CADB = ＜ ， ＞ 1 1 60CA BD cos⋅ = × × °  2 2( )CD CA AB BD= + +    2 2 2 2 42 2 =CA AB BD CA AB AB BD CA BD= + + + ⋅ + ⋅ + ⋅         | | 2CD = 【点睛】 本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，其中利用 ， 结合向量数量积的运算，是解答本题的关键． 15． 【详解】 展开火柴盒所在长方体的表面，使 AB 在同一个矩形的对角线端点， 这样的不同矩形共有三个，其对角线长度分别为： 这种情况对角线长为 ， 这种情况对角线长为 ， 这种情况对角线长为 所以最短路径 . 故答案为： 【点睛】 此题考查求物体表面的最短路径，常用办法是展开成平面图形，利用两点之间线段最短求最 短路径. 2 2( )CD CA AB BD= + +    3 2 4 16 2 5+ = 1 25 26+ = 9 9 3 2+ = 3 2 3 2 16． 【解析】 试题分析：过点 A 作平面 β 的垂线，垂足为 C， 在 β 内过 C 作 l 的垂线．垂足为 D， 连接 AD，有三垂线定理可知 AD⊥l， 故∠ADC 为二面角 α-l-β 的平面角，为 60°， 又由已知，∠ABD=30°， 连接 CB，则∠ABC 为 AB 与平面 β 所成的角 设 AD=2，则 AC= ，CD=1 AB= =4 ∴sin∠ABC= = ； 故答案为 ． 考点：本题主要考查二面角的计算． 点评：基础题，本解法反映了求二面角方法的“几何法”—“一作、二证、三计算”． 17． ；体积 ． 【解析】 【分析】 直角梯形绕直角腰旋转一周形成的是圆台，四分之一圆绕半径所在的直线旋转一周，形成的 是半球，所以阴影部分绕 旋转一周形成的是组合体，圆台挖去半球， ， . 【详解】 3 4 3 0 AD sin30 AC AB 3 4 3 4 68S π=表 140 3 π 圆中阴影部分是一个圆台，从上面挖出一个半球 S 半球= ×4π×22=8π S 圆台侧=π×(2+5)×5=35π S 圆台底=25π 故所求几何体的表面积 S 表＝8π+35π+25π＝68π V 圆台= V 半球= . 故所求几何体的体积 V＝V 圆台－V 半球= . 18．（1）答案见解析； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】 （1）要证 平面 ，只需证 ，即可求得答案； （2）要证 平面 ，只需证 ， ，即可求得答案. 【详解】 （1） 分别为 的中点， . 又 平面 ， 平面 ， 平面 . （2）∵ ， ， 为 中点， ， ， . 同理， ， . / /OD PAC / /OD PA OP ⊥ ABC PO OC⊥ PO AB⊥  ,O D ,AB PB ∴ / /OD PA  PA ⊂ PAC OD ⊄ PAC ∴ / /OD PAC 2AC BC= = 2AB = ∴ AC BC⊥  O AB 2AB = ∴ OC AB⊥ 1OC = PO AB⊥ 1PO = 又 ， . . . ， ， ， 平面 . 【点睛】 本题主要考查了求证线面平行和线面垂直，解题关键是掌握线面平行判断定理和线面垂直判 断定理，考查了分析能力，属于中档题. 19．（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 【分析】 （1）证得 MN∥BC，由线面平行的判定定理证明即可；（2）证得 平面 . 由面面垂直的判定定理证明即可 【详解】 （1）∵ 分别为棱 的中点，∴MN∥BC 又 平面 ，∴ ∥平面 . （2）∵ ，点 为棱 的中点， ∴ ， 又平面 平面 ，平面 平面 ，∴ 平面 . ∵ 平面 ，∴平面 平面 . 【点睛】 本题考查线面平行，面面垂直的判定，考查定理，是基础题 20．（1）见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）等腰梯形中，MD＝4，CD＝MN＝2，利用余弦定理求出 ，由勾股定理得到 CE DE，然后得到 AE⊥平面 CED，所以 ，从而可以得到 DE⊥平面 ABCE.（2） 2PC = ∴ 2 2 2 2PC OC PO= + = ∴ 90POC °∠ = ∴ PO OC⊥  PO OC⊥ PO AB⊥ AB OC O∩ = ∴ PO ⊥ ABC AM ⊥ PBC ,M N ,PB PC BC ⊄ AMN BC AMN PA AB= M PB AM PB⊥ PAB ⊥ PBC PAB ∩ PBC PB= AM ⊥ PBC AM ⊂ AMN AMN ⊥ PBC 3 21 7 CE ⊥ AE DE⊥ 由（1）得到的 CE⊥AE，可求出 的面积，由 DE⊥平面 ABCE，求出三棱锥 的体积，利用勾股定理得到 的长，然后求出 的面积，利用等体积转化，求出点 A 到平面 DBE 的距离. 【详解】 (1)等腰梯形 MNCD 中，MD∥NC，CD＝ MD＝2 ∴MD＝4，CD＝MN＝2， △CED 中，∠CDE＝60°，ED＝MD-EM＝1， 则由余弦定理 ∴CE ，∴CE2+ED2=CD2 ∴CE DE，∴CE ME，CE AE 又 AE⊥DC，DC CE＝C， ∴AE⊥平面 CED 而 平面 CED ∴ ，又 ，AE CF＝E ∴DE⊥平面 ABCE (2)由(1)因 CE⊥AE，则 因 DE⊥平面 ABCE，则 等腰梯形 MCD 中 MD∥NC，MD＝4， CD=MN＝2，CE⊥DE，DE＝1 则 NC=MD-2DE=2，故 BC＝2， ABE△ D ABE− BE BDE 1 2 2 2 2 2 cos60 3CE DE DC DE CD °= + − ⋅ ⋅ = 3= ⊥ ⊥ ⊥  DE ⊂ AE DE⊥ DE CE⊥  1 3 3 2 2ABES BE CE∆ = ⋅ = 1 3 3 2D ABE ABEV S DE− ∆= ⋅ = 2 2 1 77, 2 2BDEBE EC BC S BE ED∆= + = = ⋅ = 设点 A 到平面 DBE 的距离为 h，因 DE⊥平面 ABCE 则 ，得 h＝ 所以点 A 到平面 DBE 的距离为 【点睛】 本题考查线面垂直的性质和判定，等体积法求点到面的距离，属于中档题. 21．（1）见解析；（2） . 【解析】 【详解】 （1）由已知 ，得 AB⊥AP，CD⊥PD． 由于 AB//CD ，故 AB⊥PD ，从而 AB⊥平面 PAD． 又 AB 平面 PAB，所以平面 PAB⊥平面 PAD． （2）在平面 内作 ，垂足为 ， 由（1）可知， 平面 ，故 ，可得 平面 . 以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐 标系 . 由（1）及已知可得 ， ， ， . 1 3D ABE A DBE BDEV V S h− − ∆= = ⋅ 3 3 2123 77 2 ⋅ = 3 21 7 3 3 − 90BAP CDP∠ = ∠ = ° ⊂ PAD PF AD⊥ F AB ⊥ PAD AB PF⊥ PF ⊥ ABCD F FA x AB F xyz- 2 ,0,02A       20,0, 2P       2 ,1,02B       2 ,1,02C  −    所以 ， ， ， . 设 是平面 的法向量，则 即 可取 . 设 是平面 的法向量，则 即 可取 . 则 ， 所以二面角 的余弦值为 . 【名师点睛】 高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面： ①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角； ②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角； ③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的 坐标是解题的关键. 22．（1）见解析（2） 【解析】 【分析】 (1)根据等腰三角形性质得 PO 垂直 AC，再通过计算，根据勾股定理得 PO 垂直 OB，最后根 据线面垂直判定定理得结论;(2)根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组 解出平面 PAM 一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹 角相等或互补关系列方程，解得 M 坐标，再利用向量数量积求得向量 PC 与平面 PAM 法向 2 2,1,2 2PC  = − −     ( )2,0,0CB = 2 2,0,2 2PA  = −     ( )0,1,0AB = ( ), ,n x y z= PCB 0, 0, n PC n CB  ⋅ =  ⋅ =   2 2 0,2 2 2 0, x y z x − + − =  = ( )0, 1, 2n = − − ( ), ,m x y z = PAB 0, 0, m PA m AB  ⋅ =  ⋅ =   2 2 0,2 2 0. x z y  − =  = ( )1,0,1m = 3cos , 3 n mn m n m ⋅= = −     A PB C− − 3 3 − 3 4 量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果. 【详解】 （1）因为 ， 为 的中点，所以 ，且 . 连结 .因为 ，所以 为等腰直角三角形， 且 ， . 由 知 . 由 知 平面 . （2）如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 . 由已知得 取平面 的法向量 . 设 ，则 . 设平面 的法向量为 . 由 得 ，可取 ， 所以 .由已知得 . 所以 .解得 （舍去）， . 所以 .又 ，所以 . 所以 与平面 所成角的正弦值为 . 【点睛】 利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐 标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的 法向量；第四，破“应用公式关”.