数学卷·2018届重庆一中高二上学期期中数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届重庆一中高二上学期期中数学试卷（理科）（解析版）

‎2016-2017学年重庆一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．直线x+y﹣3=0的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎2．3个班分别从5个风景点处选择一处游览，不同的选法种数是（　　）‎ A．53 B．35 C．A53 D．C53‎ ‎3．对任意的实数m，直线y=mx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是（　　）‎ A．相切 B．相交且直线过圆心 C．相交且直线不过圆心 D．相离 ‎4．已知椭圆方程为的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（　　）‎ A．12 B．9 C．6 D．4‎ ‎5．若曲线表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（　　）‎ A．m＜1 B．m＜0 C． D．‎ ‎6．设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若=，则||•||=（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎7．在（x﹣1）n（n∈N+）的二项展开式中，若只有第4项的二项式系数最大，则的二项展开式中的常数项为（　　）‎ A．960 B．﹣160 C．﹣560 D．﹣960‎ ‎8．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎9．P是双曲线的右支上一点，M，N分别是圆x2+y2+10x+21=0和x2+y2﹣10x+24=0上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎10．4个男生4个女生站成一排，要求相邻两人性别不同且男生甲与女生乙相邻，则这样的站法有（　　）‎ A．576种 B．504种 C．288种 D．252种 ‎11．已知点P（x，y）在椭圆上运动，设，则d的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知直线l与坐标轴不垂直且横、纵截距相等，圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=r2，若直线l和圆C相切，且满足条件的直线l恰好有三条，则圆的半径r的取值集合为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为　　．‎ ‎14．已知，则x2+y2的最小值是　　．‎ ‎15．将编号1，2，3，4，5的小球放入编号1，2，3，4，5的盒子中，每个盒子放一个小球，则至多有两个小球的编号与盒子的编号相同的放法共有　　种．‎ ‎16．已知双曲线C的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于不同两点A、B，且A、B两点间的距离恰好等于焦距，若这样的直线l有且仅有两条，则双曲线C的离心率的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．△ABC中，点A（1，2），B（﹣1，3），C（3，﹣3）．‎ ‎（1）求AC边上的高所在直线的方程；‎ ‎（2）求AB边上的中线的长度．‎ ‎18．已知（2x2﹣x+1）（1﹣2x）6=a0+a1x+a2x2+…+a8x8．‎ ‎（1）求a2；‎ ‎（2）求（a2+a4+a6+a8）2﹣（a1+a3+a5+a7）2．‎ ‎19．已知过点P（1，2）的直线l和圆x2+y2=6交于A，B两点．‎ ‎（1）若点P恰好为线段AB的中点，求直线l的方程；‎ ‎（2）若，求直线l的方程．‎ ‎20．设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上投影，M为线段PD上一点，且．‎ ‎（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；‎ ‎（2）过点（3，0）且斜率为的直线交轨迹C于A，B两点，若点F（﹣3，0），△ABF求的面积．‎ ‎21．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线，若抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）在抛物线C上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围．‎ ‎22．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，动点P在椭圆上运动，|PF1|•|PF2|的最大值为25，且点P到F1的距离的最小值为1．‎ ‎（1）求椭圆T的方程；‎ ‎（2）直线l与椭圆T有且仅有一个交点A，且l切圆M：x2+y2=R2（其中（3＜R＜5））于点B，求A、B两点间的距离|AB|的最大值；‎ ‎（3）当过点C（10，1）的动直线与椭圆T相交于两不同点G、H时，在线段GH上取一点D，满足，求证：点D在定直线上．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年重庆一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．直线x+y﹣3=0的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】将直线方程化为斜截式，求出斜率再求倾斜角．‎ ‎【解答】解：将已知直线化为y=，‎ 所以直线的斜率为，‎ 所以直线的倾斜角为150°，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．3个班分别从5个风景点处选择一处游览，不同的选法种数是（　　）‎ A．53 B．35 C．A53 D．C53‎ ‎【考点】计数原理的应用．‎ ‎【分析】每班从5个风景点中选择一处游览，每班都有5种选择，根据乘法原理，即可得到结论 ‎【解答】解：∵共3个班，每班从5个风景点中选择一处游览，‎ ‎∴每班都有5种选择，‎ ‎∴不同的选法共有53，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．对任意的实数m，直线y=mx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是（　　）‎ A．相切 B．相交且直线过圆心 C．相交且直线不过圆心 D．相离 ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】对任意的实数m，直线y=mx+1恒过点（0，1），且斜率存在，判断（0，1）在圆x2+y2=4的关系，可得结论．‎ ‎【解答】解：对任意的实数m，直线y=mx+1恒过点（0，1），且斜率存在 ‎∵（0，1）在圆x2+y2=4内，圆心坐标（0，0）不满足y=mx+1，所以直线不经过圆的圆心，‎ ‎∴对任意的实数m，直线y=mx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．已知椭圆方程为的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（　　）‎ A．12 B．9 C．6 D．4‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆方程为焦点在x轴上，a=3，根据椭圆的定义可知：椭圆的定义可知：|AF1|+|AF2|=2a=6，|BF1|+|BF2|=2a=6，则△ABF2的周长 （|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=4a=12．‎ ‎【解答】解：椭圆方程为焦点在x轴上，a=3，b=2，c=，‎ 由椭圆的定义可知：|AF1|+|AF2|=2a=6，|BF1|+|BF2|=2a=6，‎ 则△ABF2的周长 （|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=12，‎ ‎∴△ABF2的周长12，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．若曲线表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（　　）‎ A．m＜1 B．m＜0 C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】将曲线化成焦点在y轴上双曲线的标准方程，得，由此建立关于m的不等式组，解之可得m＜0．‎ ‎【解答】解：∵曲线表示焦点在y轴上的双曲线，‎ ‎∴将曲线化成标准方程，得，‎ 由此可得1﹣m＞0且﹣m＞0，‎ 解得m＜0．‎ 故选：B ‎　‎ ‎6．设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若=，则||•||=（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】设|PF1|=m、|PF2|=n，根据椭圆的定义得到m+n=4．在△F1PF2中利用余弦定理，得4=m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，结合=算出m2+n2=9，两式联解得出mn=，即得||•||的值．‎ ‎【解答】解：椭圆中，a=2，b=，可得c==1，焦距|F1F2|=2．‎ 设|PF1|=m、|PF2|=n，‎ 根据椭圆的定义，可得m+n=2a=4，平方得m2+2mn+n2=16…①．‎ ‎△F1PF2中，根据余弦定理得：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos∠F1PF2，‎ 即4=m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，…②‎ ‎∵=，∴cos∠F1PF2=mncos∠F1PF2=，‎ 代入②并整理，可得m2+n2=9…③，‎ 用①减去③，可得2mn=7，解得mn=，即||•||=．‎ 故选：C ‎　‎ ‎7．在（x﹣1）n（n∈N+）的二项展开式中，若只有第4项的二项式系数最大，则的二项展开式中的常数项为（　　）‎ A．960 B．﹣160 C．﹣560 D．﹣960‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】先求得n=6，再利用二项展开式的通项公式，求得的二项展开式中的常数项．‎ ‎【解答】解：在（x﹣1）n（n∈N+）的二项展开式中，若只有第4项的二项式系数最大，则n=6，‎ 则=的二项展开式的通项公式为Tr+1=•26﹣r•（﹣1）‎ r•x3﹣r，‎ 令3﹣r=0，求得r=3，可得展开式中的常数项为•23•（﹣1）=﹣160，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为即可得出．‎ ‎【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为．‎ 因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．‎ 因此可知：A，B，D皆有可能，而＜1，故C不可能．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．P是双曲线的右支上一点，M，N分别是圆x2+y2+10x+21=0和x2+y2﹣10x+24=0上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题设通过双曲线的定义推出|PF1|﹣|PF2|=6，利用|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|﹣|NF2|，推出|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2|﹣|NF2|，求出最大值．‎ ‎【解答】解：双曲线双曲线，如图：‎ ‎∵a=3，b=4，c=5，‎ ‎∴F1（﹣5，0），F2（5，0），‎ ‎∵x2+y2+10x+21=0，x2+y2﹣10x+24=0，‎ ‎∴（x+5）2+y2=4和（x﹣5）2+y2=1，‎ ‎∵|PF1|﹣|PF2|=2a=6，‎ ‎∴|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|﹣|NF2|，‎ ‎∴﹣|PN|≤﹣|PF2|+|NF2|，‎ 所以，|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2|+|NF2|‎ ‎=6+1+2‎ ‎=9．‎ 故选D ‎　‎ ‎10．4个男生4个女生站成一排，要求相邻两人性别不同且男生甲与女生乙相邻，则这样的站法有（　　）‎ A．576种 B．504种 C．288种 D．252种 ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】把男生甲与女生乙排在一起作为一个元素，剩余3个男生与3个女生，按照男生、女生不相邻的插空排法共有•不同的站法；‎ 再把男生甲与女生乙放入，符合条件的是••种不同的站法．‎ ‎【解答】解：4个男生4个女生站成一排，把男生甲与女生乙排在一起作为一个元素，‎ 剩余3个男生与3个女生，按照男生、女生不相邻的插空排法，‎ 有•=6×24=144种不同的站法；‎ 现在有7个位置把男生甲与女生乙放入，符合条件的是：‎ ‎••=×7×144=504．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．已知点P（x，y）在椭圆上运动，设，则d的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由设P（2cosα， sinα），则设=﹣cosα=﹣cosα，当sinα=0，cosα=1时，d的最小值．‎ ‎【解答】解：椭圆焦点在x轴上，由点P（x，y）在椭圆上，‎ 设P（2cosα， sinα），则设 ‎=﹣cosα，‎ ‎=﹣cosα，‎ 当sinα=0，cosα=1时，‎ d的最小值为=﹣1=2﹣1，‎ d的最小值2﹣1，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．已知直线l与坐标轴不垂直且横、纵截距相等，圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=r2，若直线l和圆C相切，且满足条件的直线l恰好有三条，则圆的半径r的取值集合为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】当r=1，2时，符合题意，排除B，A，C，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，r=1时，直线过原点，方程x=0，与x轴垂直，另外一条与圆C相切；斜率为﹣1，与圆C相切，有两条，符合题意，排除B．‎ r=2时，直线过原点，方程y=0，与y轴垂直，另外一条与圆C相切；斜率为﹣1，与圆C相切，有两条，符合题意，排除A，C．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为　1　．‎ ‎【考点】抛物线的标准方程．‎ ‎【分析】利用抛物线的标准方程可得 p=1，由焦点到准线的距离为p，从而得到结果．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得p=1，‎ 故答案是：1．‎ ‎　‎ ‎14．已知，则x2+y2的最小值是　5　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】（1）画可行域；‎ ‎（2）设目标函数 z=x2+y2z为以（0，0）为圆心的圆 半径平方（也可以理解为可行域内点到（0，0）点距离平方）；‎ ‎（3）利用目标函数几何意义求最值．‎ ‎【解答】解：已知，‎ 如图画出可行域，得交点A（1，2），B（3，4），‎ 令z=x2+y2，‎ z为以（0，0）为圆心的圆半径平方（也可以理解为可行域内点到（0，0）点距离平方），‎ 因此点A（1，2），‎ 使z最小代入得z=1+4=5‎ 则x2+y2的最小值是5．‎ ‎　‎ ‎15．将编号1，2，3，4，5的小球放入编号1，2，3，4，5的盒子中，每个盒子放一个小球，则至多有两个小球的编号与盒子的编号相同的放法共有　109　种．‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】利用间接法，由分步计数原理计算可得答案．‎ ‎【解答】解：5个球全排列为A55=120种情况 ‎3个球的编号与盒子的相同，先选出3个小球，放到对应序号的盒子里，有C53=10种情况，另外2个球，有1种不同的放法，故10种情况 ‎4个球的编号与盒子的相同，有1种不同的放法，‎ 故至多有两个小球的编号与盒子的编号相同的放法共有120﹣10﹣1=109种不同的放法，‎ 故答案为：109．‎ ‎　‎ ‎16．已知双曲线C的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于不同两点A、B，且A、B两点间的距离恰好等于焦距，若这样的直线l有且仅有两条，则双曲线C的离心率的取值范围为　（1，）∪（2，+∞）　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】讨论当A，B均在右支上，可得c＞，当A，B在左右两支上，可得c＞2a，运用离心率公式，解不等式即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：当A，B均在右支上，可得c＞，‎ 即有2b2＜ac，即2c2﹣ac﹣2a2＜0，‎ 即为2e2﹣e﹣2＜0，‎ 解得1＜e＜；‎ 当A，B在左右两支上，可得c＞2a，‎ 即有e＞2．‎ 故答案为：（1，）∪（2，+∞）‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．△ABC中，点A（1，2），B（﹣1，3），C（3，﹣3）．‎ ‎（1）求AC边上的高所在直线的方程；‎ ‎（2）求AB边上的中线的长度．‎ ‎【考点】待定系数法求直线方程．‎ ‎【分析】（1）由斜率公式易知kAC，由垂直关系可得AC边上的高所在的直线方程的斜率k，代入点斜式易得；‎ ‎（2）求得线段AB的中点坐标为M（0，‎ ‎），然后利用两点间的距离公式进行解答．‎ ‎【解答】解：（1）由斜率公式易知kAC=﹣=﹣，‎ ‎∴AC边上的高所在的直线的斜率k=，‎ 又AC边上的高所在的直线过点B（﹣1，3），代入点斜式易得y﹣3=（x+1），‎ 整理，得：2x﹣5y+17=0．‎ ‎（2）由A（1，2），B（﹣1，3）得到AB边的中点坐标M是（0，），‎ 故中线长|CM|==．‎ ‎　‎ ‎18．已知（2x2﹣x+1）（1﹣2x）6=a0+a1x+a2x2+…+a8x8．‎ ‎（1）求a2；‎ ‎（2）求（a2+a4+a6+a8）2﹣（a1+a3+a5+a7）2．‎ ‎【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．‎ ‎【分析】（1）利用展开式的通项公式，求得a2的值．‎ ‎（2）令x=0，可得a0 =1，再分别令x=1、x=﹣1，可得两个式子，化简这2个式子，可得要求式子的值．‎ ‎【解答】解：（1）分析项的构成，知：．‎ ‎（2）原式=（a1+a2+a3+…+a8）（﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7+a8），‎ 令x=0，得a0=1，‎ 令x=1，得a0+a1+a2+a3+…+a8=2⇒a1+a2+a3+…+a8=1，‎ 令x=﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7+a8=2916⇒﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7+a8=2915‎ 从而原式=2915．‎ ‎　‎ ‎19．已知过点P（1，2）的直线l和圆x2+y2=6交于A，B两点．‎ ‎（1）若点P恰好为线段AB的中点，求直线l的方程；‎ ‎（2）若，求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】（1）圆心为原点O，由已知OP⊥l，求出l的斜率，可得直线l的方程；‎ ‎（2）分类讨论，利用垂径定理，求出直线的斜率，即可求出直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（1）易知圆心为原点O，由已知OP⊥l，所以kOP•kl=﹣1，而kOP=2，解出，‎ 由点斜式可得直线的方程为：x+2y﹣5=0；‎ ‎（2）当直线l的斜率不存在时，刚好满足，此时直线方程为x=1；‎ 若直线斜率存在，设为y﹣2=k（x﹣1），整理为kx﹣y+（2﹣k）=0．‎ 由垂径定理，可得圆心到直线的距离，‎ 所以，解出，此时直线的方程为3x﹣4y+5=0．‎ 综上可知满足条件的直线方程为：x=1或者3x﹣4y+5=0．‎ ‎　‎ ‎20．设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上投影，M为线段PD上一点，且．‎ ‎（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；‎ ‎（2）过点（3，0）且斜率为的直线交轨迹C于A，B两点，若点F（﹣3，0），△ABF求的面积．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）由题意可知：M的坐标为（x，y），P的坐标为（x'，y'），则，解得：，代入x'2+y'2=25，整理得点M的轨迹C的方程；‎ ‎（2）设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理可知：x1+x2=3，x1•x2=﹣8，利用弦长公式求出丨AB丨，求出点F到AB的距离，即可求△ABF的面积．‎ ‎【解答】解：（1）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（x'，y'），‎ 由，解得：，‎ ‎∵P在圆上，‎ ‎∴x'2+y'2=25，即x2+（y）2=25，整理得．‎ ‎（2）直线，代入C的方程，整理得：x2﹣3x﹣8=0‎ ‎∴由韦达定理可知：x1+x2=3，x1•x2=﹣8，‎ ‎∴线段AB的长度为，‎ 点F到AB的距离为，故．‎ ‎　‎ ‎21．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线，若抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）在抛物线C上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由抛物线的定义知：P到直线的距离等等于P到焦点的距离，则P距离之和的最小值为点F到直线l1的距离，利用点到直线的距离公式，即可求得p的值，求得抛物线C的方程；‎ ‎（2）可设直线AB：x=﹣ky+m．代入抛物线方程，由韦达定理及中点坐标公式可知：．又AB与抛物线有两个不同的交点，故△=16k2+16m＞0．代入即可求得k的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）焦点在x轴上，焦点F（，0），‎ 由抛物线的定义知：P到直线的距离等等于P到焦点的距离，‎ ‎∴P到两直线的距离之和的最小值为点F到直线l1的距离，‎ 由点到直线的距离公式可知： =2，解得：p=2，‎ ‎∴抛物线的方程为y2=4x．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），关于直线y=kx+3对称，‎ 故可设直线AB：x=﹣ky+m．‎ ‎，整理得：y2+4ky﹣4m=0．‎ 由韦达定理可知：y1+y2=﹣4m，则，‎ ‎∴．‎ ‎∵点M（x0，y0）在y=kx+3上，则﹣2k=k（2k2+m）+3．即．‎ 又AB与抛物线有两个不同的交点，故△=16k2+16m＞0．‎ 将m代入上式得：，即k（k+1）（k2﹣k+3）＜0，‎ k2﹣k+3＞0恒成立，‎ ‎∴解得：﹣1＜k＜0，‎ 由故k的取值范围为（﹣1，0）．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，动点P在椭圆上运动，|PF1|•|PF2|的最大值为25，且点P到F1的距离的最小值为1．‎ ‎（1）求椭圆T的方程；‎ ‎（2）直线l与椭圆T有且仅有一个交点A，且l切圆M：x2+y2=R2（其中（3＜R＜5））于点B，求A、B两点间的距离|AB|的最大值；‎ ‎（3）当过点C（10，1）的动直线与椭圆T相交于两不同点G、H时，在线段GH上取一点D，满足，求证：点D在定直线上．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由于，则|PF1|•|PF2|的最大值为a2，a2=25，a﹣c=1，c=4，即可求得b的值，求得椭圆T的方程；‎ ‎（2）设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，由直线与圆相切代入即可求得A，B坐标，由两点之间的距离公式，利用韦达定理即可求得A、B两点间的距离|AB|的最大值；‎ ‎（3）设G、H、D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x，y），由题设知，于是且．从而．又G、H在椭圆上，则，化简整理得点D在定直线18x+5y﹣45=0上．‎ ‎【解答】解：（1）由于，‎ 所以|PF1|•|PF2|的最大值为a2，‎ 当|PF1|=|PF2|时取等号，由已知可得a2=25，即a=5，又a﹣c=1，c=4，‎ 所以b2=a2﹣c2=9，‎ 故椭圆的方程为．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）分别为直线l与椭圆和圆的切点，设直线AB的方程为y=kx+m．‎ 因为A既在椭圆上，又在直线AB上，从而有，消y得（25k2+9）x2+50kmx+25（m2﹣9）=0．‎ 由于直线与椭圆相切，故，△=（50km）2﹣4（25k2+9）×25（m2﹣9）=0，‎ 从而可得m2=9+25k2①，且②．‎ 由，消y得（k2+1）x2+2kmx+m2﹣R2=0．由于直线与椭圆相切，得m2=R2（1+k2）③，且④．‎ 由①③得，‎ 故，‎ ‎=，‎ ‎，即|AB|≤2．‎ 当且仅当时取等号，所以|AB|的最大值为2．‎ ‎（3）证明：设G、H、D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x，y），由题设知，‎ 均不为零，记，则λ＞0且λ≠1，又C、G、D、H四点共线，则．‎ 于是且．从而．‎ 又G、H在椭圆上，则，消去x1，y1，x2，y2得90x+25y=9×25，‎ 即点D在定直线18x+5y﹣45=0上．‎ ‎　‎ ‎2017年1月14日