2018-2019学年重庆市北碚区高二下学期期末数学试题 解析版

2018-2019学年重庆市北碚区高二下学期期末数学试题 解析版

绝密★启用前 重庆市北碚区2018-2019学年高二下学期期末数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，若，则实数m的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将B集合分为空集和非空集两种情况进行计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：当B为空集时，，可得 当B不是空集时，且，可得 所以：‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的包含关系判断及应用，考查学生分析问题解决问题的能力．‎ ‎2．若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是（ ）‎ A．9 B．4 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 圆的标准方程为：（x+1）2+（y﹣2）2 =4，‎ 它表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于2的圆；‎ 设弦心距为d，由题意可得 22+d2=4，求得d=0，‎ 可得直线经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2=0，‎ 即a+b=1，再由a＞0，b＞0，可得 ‎=（ ）（a+b）=5+≥5+2‎ 当且仅当=时取等号，∴的最小值是9．‎ 故选：A．‎ 点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ ‎3．若函数在上单调递增，则的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：对恒成立，‎ 故，即恒成立，‎ 即对恒成立，构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得．故选C．‎ ‎【考点】三角变换及导数的应用 ‎【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性.‎ 视频 ‎4．已知函数，若在区间内恒成立，则实数的取值范围是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎∵，在内恒成立，∴在 内恒成立，设，∴时，，即在上是单调递减的，∴，∴，即的取值范围是，故选D.‎ 点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增，得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.‎ ‎5．下列命题中，正确的个数是（ ）‎ ‎①单位向量都相等；‎ ‎②模相等的两个平行向量是相等向量；‎ ‎③若，满足且与同向，则；‎ ‎④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；‎ ‎⑤若，则．‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可 ‎【详解】‎ 解：对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误；‎ 对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；‎ 对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；‎ 对于④，向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；‎ 对于⑤，时，，，则与不一定平行．‎ 综上，以上正确的命题个数是0．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的基本概念，意在考查学生对于基础知识的掌握情况.‎ ‎6．中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理化简已知等式可求，进而可求B，由余弦定理，基本不等式可求，进而利用三角形面积公式即可得解．‎ ‎【详解】‎ 解：由正弦定理知：，即，‎ 故，‎ 所以，又，‎ 由余弦定理得，‎ ‎，‎ 故，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎7．已知定义在R上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，(其中为的前n项和).则（）‎ A．3 B． C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由奇函数满足可知该函数是周期为的奇函数，‎ 由递推关系可得：,‎ 两式做差有：，即，‎ 即数列构成首项为，公比为的等比数列，‎ 故：，综上有：‎ ‎，‎ ‎，‎ 则：.‎ 本题选择A选项.‎ ‎8．在下列四个命题中，正确的共有（ ）‎ ‎①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率；‎ ‎②直线的倾斜角的取值范围是；‎ ‎③若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为；‎ ‎④若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为．‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据倾斜角与斜率定义与关系进行判断选择.‎ ‎【详解】‎ 由于和轴垂直的直线的倾斜角为，而此直线没有斜率，故①不正确；‎ 直线的倾斜角的取值范围是，故②不正确；‎ 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为，，且，故③不正确；‎ 若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率不一定为，如当时，不存在，故④不正确．‎ 综上可知，四种说法全部不正确．选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查斜率与倾斜角关系，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎9．某校为了解高二的1553名同学对教师的教学意见，现决定用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，先在总体中随机剔除n个个体，然后把剩下的个体按0001，0002，0003……编号并分成m个组，则n和m应分别是（ ）‎ A．53，50 B．53，30 C．3，50 D．3，31‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 被除余，故可以剔除个个体，分成 组即可，故选C.‎ ‎10．在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为,若,则,‎ ‎，故选A.‎ ‎11．曲线经过伸缩变换后，变成的曲线方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过伸缩变换，代入方程化简得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：由伸缩变换，化为，代入曲线可得，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了伸缩变换及其化简能力，属于基础题．‎ ‎12．已知函数与函数的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可化为g（﹣x）﹣f（x）＝0在（0，+∞）上有解即x+a0在（0，+∞）上有解，即函数y＝x+a与y在（0，+∞）上有交点，画出函数y＝x+a与y在（0，+∞）上的图象，求得直线和曲线相切的条件，即可得到所求a的范围．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意知，方程g（﹣x）﹣f（x）＝0在（0，+∞）上有解，‎ 即ex+2x2+ax﹣lnx﹣ex﹣x2＝0，即x+a0在（0，+∞）上有解，‎ 即函数y＝x+a与y在（0，+∞）上有交点，‎ y的导数为y′，‎ 当x＞e时，y′＜0，函数y递减；‎ 当0＜x＜e时，y′＞0，函数y递增．‎ 可得x＝e处函数y取得极大值，‎ 函数y＝x+a与y在（0，+∞）上的图象如右：‎ 当直线y＝x+a与y相切时，‎ 切点为（1，0），可得a＝0﹣1＝﹣1，‎ 由图象可得a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．‎ 故选：C．‎ ‎【方法点睛】‎ 本题主要考查函数的图象与性质、导数的应用以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．用秦九韶算法计算多项式，当时的值的过程中，的值为______．‎ ‎【答案】301‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用“秦九韶算法”可知：，即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：由“秦九韶算法”可知：，‎ 在求当时的值的过程中，，， ‎ 故答案为：301．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了“秦九韶算法”的应用，属于基础题．‎ ‎14．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如下图，连接DO交BC于点G，设D，E，F重合于S点，正三角形的边长为x(x>0)，则 .‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 三棱锥的体积 .‎ 设，x>0，则，‎ 令，即，得，易知在处取得最大值.‎ ‎∴.‎ 点睛:对于三棱锥最值问题，需要用到函数思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决.‎ ‎15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，且满足，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用正弦定理边化角，求得∠B的值，然后结合数量积的定义求解的值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 根据正弦定理得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎16．已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则，解得，故m的取值范围是.‎ ‎【考点】分段函数，函数图象 ‎【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．如图，在中，，，点D在线段BC上．‎ ‎(1)当时，求的值；‎ ‎(2)若AD是的平分线，，求的面积．‎ ‎【答案】(1) (2) 或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用正弦定理可求，由已知利用二倍角的正弦函数公式可得，在中，利用正弦定理可求的值；‎ ‎（2）设，则，由余弦定理可得x的值，进而可求DC，又由（1）可求的值，利用三角形面积公式即可求值得解．‎ ‎【详解】‎ 解：（1），B是三角形内角，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴在中，．‎ ‎（2）设，则，‎ 在中，由余弦定理可得：，‎ 解得：或．‎ 因为AD是的平分线，‎ 所以，‎ 即，而，‎ 所以．‎ 又由（1）知，‎ ‎①当时，；‎ ‎②当时，．‎ 综上，的面积为或．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，二倍角的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．‎ ‎18．如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（I）见解析（II）（III）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面的法向量，且，据此有，则平面．‎ ‎（Ⅱ）由题意可得平面的法向量，结合(Ⅰ)的结论可得，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）设，，则，而平面的法向量，据此可得，解方程有或．据此计算可得．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，∴，，‎ 设平面的法向量，∴不妨设，又，‎ ‎∴，∴，又∵平面，∴平面．‎ ‎（Ⅱ）∵，，设平面的法向量，‎ ‎∴不妨设，∴，‎ ‎∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）设 ，，∴，‎ ‎∴，又∵平面的法向量，‎ ‎∴，∴，∴或．‎ 当时，，∴；当时，，∴．‎ 综上，．‎ ‎19．已知数列满足，，，其中．‎ ‎(1)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前n项和为．‎ ‎【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）=. ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由,，,作差代入,再利用等差数列的通项公式即可得出,进而得出.（Ⅱ）,可得.利用“裂项求和”可得:数列的前项和为=‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：∵=‎ ‎=，∴数列是公差为2的等差数列，‎ 又，∴，‎ 故∴，解得． ‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，∴‎ ‎∴数列的前项和为 ‎=. ‎ 点晴：本题考查的是数列中的递推关系和数列求和问题.第一问中关键是根据==得到是公差为2的等差数列;第二问中的通项由可得 ， 利用“裂项求和”可得:数列的前项和为=.‎ ‎20．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：‎ ‎ ‎ ‎（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；‎ ‎（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：‎ 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 ‎（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。‎ 附：‎ P(K2≥k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）0.62（2）有99%的把握 （3）新养殖法优于旧养殖法 ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 试题分析：‎ ‎(1)由频率近似概率值，计算可得旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为0.62.据此，事件A的概率估计值为0.62.‎ ‎(2)由题意完成列联表，计算K2的观测值k＝≈15.705＞6.635，则有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．‎ ‎(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．‎ 试题解析：‎ ‎(1)旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为 ‎(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.‎ 因此，事件A的概率估计值为0.62.‎ ‎(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 ‎62‎ ‎38‎ 新养殖法 ‎34‎ ‎66‎ K2的观测值k＝≈15.705.‎ 由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．‎ ‎(3) 由频率分布直方图可得：‎ 旧养殖法100个网箱产量的平均数1＝（27.5×0.012+32.5×0.014+37.5×0.024+42.5×0.034+47.5×0.040+52.5×0.032+57.5×0.032+62.5×0.012+67.5×0.012）×5‎ ‎＝5×9.42＝47.1；‎ 新养殖法100个网箱产量的平均数2＝（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.054+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008）×5＝5×10.47＝52.35；‎ 比较可得：12，‎ 故新养殖法更加优于旧养殖法．‎ 点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．‎ ‎21．已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆 的一个焦点F在抛物线的准线上，且椭圆过点，直线与椭圆交于A，B两个不同点．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若直线的斜率为，且不过点P，设直线PA，PB的斜率分别为，，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设椭圆C的方程为，由题意可得，解得的值，即可求得椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线，与椭圆的方程联立方程组，利用根与系数的关系，得到，再利用斜率的公式，化简得到，得到证明．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，抛物线的准线方程为，焦点坐标为，‎ 设椭圆C的方程为．‎ 则由题意可得，解得，故椭圆C的方程为，‎ ‎（2）由直线的斜率为，且不过点，可设直线，‎ 联立方程组，消y得，‎ 又设，，故有，‎ 所以 ‎，‎ 所以为定值0．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．‎ ‎22．已知数列中，，‎ ‎(1)求，，的值，猜想数列的通项公式；‎ ‎(2)运用(1)中的猜想，写出用三段论证明数列是等差数列时的大前提、小前提和结论．‎ ‎【答案】（1），猜想：；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由首项和递推公式写出数列的第2、3、4项，猜想数列的通项公式；（2）应用等差数列的定义写出三段论.‎ 试题解析：（1）∵数列中，，，‎ 猜想：；‎ ‎（2）∵通项公式为的数列，若，是常数，‎ 则是等差数列，…大前提 又∵为常数；…小前提 ‎∴数列是等差数列.…结论.‎