陕西省宝鸡市宝鸡中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

陕西省宝鸡市宝鸡中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

宝鸡中学2019-2020学年度第一学期高三期中考试试题文科数学 一、选择题（本题共12小题，共60分）‎ ‎1.已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵集合 ‎∴‎ ‎∵集合 ‎∴，‎ 故选A ‎2.已知，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用二倍角的余弦函数公式即可化简求值得解．‎ ‎【详解】解：∵sin35°＝m，‎ ‎∴﹣cos70°＝﹣cos2×35°＝﹣（1﹣2sin235°）＝﹣（1﹣‎2m2‎）＝‎2m2‎﹣1．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎3.设复数（是虚数单位），则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：根据共轭复数的定义求得，利用复数乘法的运算法则求得，根据复数模的公式可得结果.‎ 详解：因为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故选A.‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎4.向量，，，若与共线，则=（ ）‎ A. 1 B. ‎3 ‎C. 2 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出x的值．‎ ‎【详解】解：向量，，，‎ 则（1，﹣1），‎ 又3与共线，‎ 则1×1﹣（﹣1）•x＝0，‎ 解得x＝﹣1．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题．‎ ‎5.已知命题：实数成等比数列；：.则则的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由a、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得b2＝ac；对于必要性，可以举一个反例，满足b2＝ac，但a、b、c不成等比数列，从而得到正确的选项．‎ ‎【详解】解：若a、b、c成等比数列，‎ 根据等比数列的性质可得：b2＝ac；‎ 若b＝0，a＝2，c＝0，满足b2＝ac，但a、b、c显然不成等比数列，‎ 则p是q的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的等比中项的性质和充要条件的判断．在应用a，b，c成等比数列时，一定要考虑a，b，c都等于0的特殊情况，属于基础题．‎ ‎6.三边分别对应于角,，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用正弦定理可求sinA，根据大边对大角，特殊角的三角函数值可求A的值，进而利用三角形内角和定理可求C的值．‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎∴由正弦定理，可得sinA，‎ ‎∵a＜b，可得A，‎ ‎∴C＝π﹣A﹣B．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎7.不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由原不等式可得lg（x2﹣x﹣2）≤lg10，再利用对数函数的性质，求得x的范围．‎ ‎【详解】解：由不等式lg（x2﹣x﹣2）≤1，可得lg（x2﹣x﹣2）≤lg10，‎ ‎∴，即，即 ．‎ 求得﹣3≤x＜﹣1，或 2＜x≤4，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查对数不等式的解法，对数函数的性质，考查转化能力，属于基础题．‎ ‎8.已知为锐角，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件求得sin（α），再根据sinα＝sin[（α）]利用两角和的正弦公式求得结果．‎ ‎【详解】解：∵cos（α）（α为锐角），‎ ‎∴α为锐角，‎ ‎∴sin（α），‎ ‎∴sinα＝sin[（α）]＝sin（α）coscos（α）sin ‎，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．‎ ‎9.在中，，点D,E分别为边BC,AC的中点，则向量与的数量积（ ）‎ A. 7 B. ‎7 ‎C. 9 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把，都用，表示出来，求出其数量积，再把已知条件带入即可求解．‎ ‎【详解】解：由三角形中线性质可得：（）；；‎ ‎∴•（）•（）•22﹣042＝﹣7；‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查数形结合思想，考查计算能力．‎ ‎10.已知函数（ ）‎ A. 2017 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 推导出f（x）+f（）＝1，1，由此利用分组求和法能求出‎2f（2）+‎2f（3）+……+‎2f（2018）+f（）+f（）+…+f（）f（2018）的值．‎ ‎【详解】解：∵f（x），‎ ‎∴f（x）+f（）1，‎ ‎∵（1）＝1，‎ ‎∴‎2f（2）+‎2f（3）+……+‎2f（2018）+f（）+f（）+…+f（）‎ f（2018）‎ ‎＝[f（2）+f（）+f（2）f（2）]+[f（3）+f（）+f（3）]+…+[f（2018）+f（）+f（2018）]‎ ‎＝2017×2‎ ‎＝4034．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎11.定义域为实数集上的偶函数周期为2，且在上，（参考数据：），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 容易判断0＜ln19﹣2＜1，再根据f（x）是R上的偶函数，周期为2，并且在[0，1]上f（x）＝ex即可得出，从而得出正确选项．‎ ‎【详解】解：∵e2≈7.4，e3≈20.1，‎ ‎∴e2＜19＜e3，‎ ‎∴2＜ln19＜3，0＜ln19﹣2＜1，‎ 又f（x）是R上的偶函数，周期为2，且在[0，1]上f（x）＝ex，‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了偶函数的定义，周期函数的定义，对数的运算性质，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎12.定义在实数集上可导函数是偶函数，若对任意实数都有 恒成立，则使关于的不等式成立的数的取值范围为（ ）‎ A. B. (-1，1) C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出x＜0的取值范围．‎ ‎【详解】解：当x＞0时，由可知：两边同乘以2x得：‎ ‎2xf（x）+x‎2f′（x）﹣2x＜0；‎ 设：g（x）＝x‎2f（x）﹣x2，‎ 则g′（x）＝2xf（x）+x‎2f′（x）﹣2x＜0恒成立；‎ ‎∴g（x）在（0，+∞）单调递减，‎ 由x‎2f（x）﹣f（1）＞x2﹣1；‎ ‎∴x‎2f（x）﹣x2＞f（1）﹣1；‎ 即g（x）＞g（1），‎ 即0＜x＜1；‎ 由于函数f（x）是偶函数，∴g（﹣x）＝（﹣x）‎2f（﹣x）﹣（﹣x）2＝x‎2f（x）﹣x2＝g（x）；‎ 所以g（x）＝x‎2f（x）﹣x2也是偶函数；‎ 当x＜0时，同理得：﹣1＜x＜0．‎ 综上可知：实数x的取值范围为：（﹣1，0）∪（0，1）．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，属于中档题．‎ 二、填空题（本题共4小题，共20分）‎ ‎13.已知，曲线在点(0,1)处的切线方程为_________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数，再由直线方程的斜截式得答案．‎ ‎【详解】解：由f（x）＝x2+ex，得f′（x）＝2x+ex，‎ ‎∴f′（0）＝0+e0＝1．‎ ‎∴曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y＝x+1．‎ 故答案为y＝x+1．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是基础的计算题．‎ ‎14.我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，得棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，‎ 如图，不妨设O为正四面体ABCD外接球球心，F为CD中点，E为A在平面BCD上的射影 ，由棱长为a可以得到BF＝a，BO＝AO＝a－OE，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2＝BE2＋OE2，把数据代入得到OE＝a，所以棱长为a的正四面体内任一点到各个面的距离之和为4×a＝a ‎15.设函数满足对任意，当时总有 成立，那么实数a的取值集合为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得函数是（﹣∞，+∞）上的减函数，则分段函数在每一段上的图象都是下降的，且在分界点即x＝1时，第一段函数的函数值应大于等于第二段函数的函数值．由此不难判断a的取值范围．‎ 详解】∵对任意实数x1，x2，当x1＜x2时，总有f（x1）﹣f（x2）＞0，‎ ‎∴函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，‎ 当x≥1时，y＝logax单调递减，‎ ‎∴0＜a＜1；‎ 而当x＜1时，f（x）＝（‎3a﹣1）x+‎4a单调递减，‎ ‎∴a；‎ 又函数在其定义域内单调递减，‎ 故当x＝1时，（‎3a﹣1）x+‎4a≥logax，得a，‎ 综上可知，a的取值范围为[，）‎ 故答案为[，）‎ ‎【点睛】分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．‎ ‎16.下列命题中真命题的序号为(少填或错填均不得分)______.若一个球的半径缩小为原来的一半，则其体积缩小为原来的八分之一；②若两组数据的平均值相等，则它们的标准差也相等；③直线与圆相切；④若两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面平行.‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于①由球的体积公式可判断；对于②通过举反例，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，对于③利用圆心到直线的距离与半径之间的关系进行判断即可，对于④利用面面关系即可判断．‎ ‎【详解】对于①，由球的体积公式可得若球的半径变为原来的一半，则体积变为原来的八分之一，故①对；‎ 对于②，若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错；‎ 对于③，圆心到直线的距离d1，故直线不与圆相切，故③错；‎ 对于④，由面面关系可知，若两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面平行或相交，如正方体相邻三个面，故④错，‎ 故答案为①．‎ ‎【点睛】本题主要考查了命题的真假判断与应用，主要考查了球的体积公式、平均数和方差、直线与圆的位置关系等，属于基础题．‎ 三、解答题（本题共6小题，共70分）‎ ‎17.已知函数.‎ ‎(1)求函数的单调递增区间；‎ ‎(2)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，求的面积.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）＝2sin（2x），利用正弦函数的单调性即可求解其单调递增区间．‎ ‎（2）由题意可得sin（‎2A）＝1，结合范围‎2A∈（，），可求A的值，由正弦定理可得a，由余弦定理b，进而根据三角形的面积公式即可求解．‎ ‎【详解】（1）∵sin2x﹣cos2x＝2sin（2x），‎ 令2kπ2x2kπ，k∈Z，解得kπx≤kπ，k∈Z，‎ ‎∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ，kπ]，k∈Z．‎ ‎（2）∵f（A）＝2sin（‎2A）＝2，‎ ‎∴sin（‎2A）＝1，‎ ‎∵A∈（0，π），‎2A∈（，），‎ ‎∴‎2A，解得A，‎ ‎∵C，c＝2，‎ ‎∴由正弦定理，可得a，‎ ‎∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得6＝b2+4﹣2，解得b＝1，（负值舍去），‎ ‎∴S△ABCabsinC（1）．‎ 点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎18.已知数列的前项和为，，且是和的等比中项.‎ ‎（1）证明：数列是等差数列并求其通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由得，两式相减化简得，又由，得，即可得出结论；‎ ‎（2）化简，利用裂项相消求和即可.‎ ‎【详解】（1） 由得 ， ‎ 所以 ， 又 所以， 故. ‎ 故数列是公差为的等差数列 ，且是和的等比中项， ‎ 即 ，得 ，‎ 解得， 所以 . ‎ ‎（2）由题得，‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列确定，训练了裂项相消法求数列的和，属于中档题．‎ ‎19.如图，在直棱柱中，是BC的中点,点E在棱上运动.‎ ‎(1)证明 ； ‎ ‎(2)当时，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据直三棱柱的性质，得AD⊥BB1，等腰△ABC中利用“三线合一”证出AD⊥BC，结合线面垂直判定定理，得AD⊥平面BB‎1C1C，从而可得AD⊥C1E；‎ ‎（2）根据AC∥A‎1C1，得到∠EC‎1A1（或其补角）即为异面直线AC、C1E 所成的角．由A‎1C1⊥A1B1且A‎1C1⊥AA1，证出A‎1C1⊥平面AA1B1B，从而在Rt△A‎1C1E中得到∠EC‎1A1＝60°，利用余弦的定义算出C1E＝‎2A1C1＝2，进而得到△A1B1E面积为，由此结合锥体体积公式即可算出三棱锥C1﹣A1B1E的体积．‎ ‎【详解】（1）∵直棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥BB1‎ ‎∵△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC 又∵BC、BB1⊂平面BB‎1C1C，BC∩BB1＝B ‎∴AD⊥平面BB‎1C1C，结合C1E⊂平面BB‎1C1C，可得AD⊥C1E；‎ ‎（2）∵直棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，AC∥A‎1C1，‎ ‎∴∠EC‎1A1（或其补角）即为异面直线AC、C1E 所成的角 ‎∵∠BAC＝∠B‎1A1C1＝90°，∴A‎1C1⊥A1B1，‎ 又∵AA1⊥平面A1B‎1C1，可得A‎1C1⊥AA1，‎ ‎∴结合A1B1∩AA1＝A1，可得A‎1C1⊥平面AA1B1B，‎ ‎∵A1E⊂平面AA1B1B，∴A‎1C1⊥A1E 因此，Rt△A‎1C1E中，∠EC‎1A1＝60°，可得cos∠EC‎1A1，得C1E＝‎2A1C1＝2‎ 又∵B‎1C12，∴B1E2‎ 由此可得S△A‎1C1.‎ ‎【点睛】本题给出直三棱柱的底面是等腰直角三角形，在已知侧棱长和底面边长的情况下证明线线垂直并求锥体的体积，着重考查了直棱柱的性质、空间线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．‎ ‎20.已知(e为目然对数的底数).‎ ‎(1)设函数，求函数的最小值；‎ ‎(2)若函数在上为增函数，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）表示出g（x），利用导数可求得其最小值；‎ ‎（2）原问题等价于a≥lnx﹣ex+1在[1，+∞）上恒成立，令h（x）＝lnx﹣ex+1（x≥1），求导后可得函数h（x）在[1，+∞）上单调递减，由a≥h（x）max，进而求得答案．‎ ‎【详解】（1），函数g（x）的定义域为（0，+∞），，‎ 令g′（x）＞0，解得x＞1，故函数g（x）在（1，+∞）单调递增，令g′（x）＜0，解得0＜x＜1，故函数g（x）在（0，1）单调递减，‎ ‎∴g（x）min＝g（1）＝e﹣1+a；‎ ‎（2）由题意，f′（x）＝ex﹣lnx+a﹣1≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥lnx﹣ex+1在[1，+∞）上恒成立，‎ 令h（x）＝lnx﹣ex+1（x≥1），则，显然h′（x）为[1，+∞）的减函数，‎ ‎∴h′（x）≤h′（1）＝1﹣e＜0，‎ ‎∴函数h（x）在[1，+∞）上单调递减，‎ ‎∴h（x）max＝h（1）＝1﹣e，则a≥1﹣e，即实数a的取值范围为[1﹣e，+∞）．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值及单调性，考查不等式的恒成立问题及转化思想，是常规题目．‎ ‎21.已知椭圆的一个焦点为，离心率，左，右顶点分别为A，B，经过点F的直线与椭圆交于C，D两点（与A，B不重合).‎ ‎(1)求椭圆M的方程；‎ ‎(2)记与的面积分别为和，求|的最大值.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由焦点F坐标可求c值，根据离心率e及a，b，c的平方关系可求得a值；‎ ‎（2）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|＝0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为x＝my﹣1，与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用m表示与的面积，再用基本不等式即可求得其最大值．‎ ‎【详解】（1）设椭圆M的半焦距为c，即c＝1，‎ 又离心率e，即 ‎∴a＝2，b2＝a2﹣c2＝3‎ ‎∴椭圆M的方程为.‎ ‎（2）设直线l的方程为x＝my﹣1，C（x1，y2），D（x2，y2），联立方程组 ‎，消去x得，（‎3m2‎+4）y2﹣6my﹣9＝0‎ ‎∴y1+y2，y1y20‎ S1＝S△ABC|AB|•|y1|，S2＝S△ABD|AB|•|y2|，且y1，y2异号 ‎∴|S1﹣S2||AB|•|y1+y2|4×|y1+y2|‎ ‎∵3|m|4，‎ 当且仅当3|m|，即m＝±时，等号成立 ‎∴|S1﹣S2|的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆的标准方程的求解，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，属于中档题．‎ 选做题（任选一题，共10分）‎ ‎22.在平面直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点为极点，以轴为非负半轴为极轴，与坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)若直线与曲线有公共点，求倾斜角的取值范围；‎ ‎(2)设为曲线上任意一点，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）利用互化公式即可把曲线C的极坐标方程ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0化为直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），代入曲线C的直角坐标方程可得t2﹣8tcosα+12=0，根据直线l与曲线C有公共点，可得△≥0，利用三角函数的单调性即可得出．‎ ‎（2）曲线C的方程x2+y2﹣2x﹣3=0可化为（x﹣1）2+y2=4，参数方程为，（θ为参数），设M（x，y）为曲线上任意一点，可得x+y=1+2cosθ+2sinθ，利用和差公式化简即可得出取值范围．‎ 详解：（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，‎ 直线的参数方程为（为参数），‎ 将参数方程代入，整理，‎ ‎∵直线与曲线有公共点，∴，‎ ‎∴，或，∵，‎ ‎∴的取值范围是 ‎（2）曲线的方程可化为，‎ 其参数方程为（为参数），‎ ‎∵为曲线上任意一点，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴取值范围是 点睛：解答解析几何中的最值问题时，对于一些特殊的问题，可根据几何法求解，以增加形象性、减少运算量．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，关于的不等式的解集记为.‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）已知，求证：.‎ ‎【答案】（I）（II）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（I）由得，，三种情况即可求解不等式的解集；‎ ‎（II）由题意，取得，即可运算，进而证得结论．‎ 试题解析：‎ ‎（I）由得，，即 或或，‎ 解得，或.‎ 所以，集合. ‎ ‎（II），. ‎ ‎，，. ‎ ‎. ‎ ‎.‎