数学卷·2018届陕西省西安一中大学区高二上学期期中数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届陕西省西安一中大学区高二上学期期中数学试卷（理科）（解析版）

‎2016-2017学年陕西省西安一中大学区高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1．已知向量=（﹣1，1，﹣1），=（2，0，﹣3），则•等于（　　）‎ A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．1‎ ‎2．不等式≥0的解集为（　　）‎ A．[﹣2，1] B．（﹣2，1] C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞）‎ ‎3．下列命题中是假命题的是（　　）‎ A．若a＞0，则2a＞1‎ B．若x2+y2=0，则x=y=0‎ C．若b2=ac，则a，b，c成等比数列 D．若a+c=2b，则a，b，c成等差数列 ‎4．已知{an}是等比数列，a1=4，a4=，则公比q等于（　　）‎ A． B．﹣2 C．2 D．‎ ‎5．命题“任意x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（　　）‎ A．任意x∈R，|x|+x2＜0 B．存在x∈R，|x|+x2≤0‎ C．存在x0∈R，|x0|+x02＜0 D．存在x0∈R，|x0|+x02≥0‎ ‎6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知，，，则用向量，，可表示向量=（　　）‎ A． B． C． D．﹣‎ ‎7．对于实数a，b，c，下列命题正确的是（　　）‎ A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2‎ C．若a＜b＜0，则 D．若a＜b＜0，则 ‎8．若命题￢（p∨（￢q））为真命题，则p，q的真假情况为（　　）‎ A．p真，q真 B．p真，q假 C．p假，q真 D．p假，q假 ‎9．已知变量x，y满足条件，则目标函数z=2x+y（　　）‎ A．有最小值3，最大值9 B．有最小值9，无最大值 C．有最小值8，无最大值 D．有最小值3，最大值8‎ ‎10．已知数列{an}的前n项和Sn=，则a3=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设an=﹣n2+9n+10，则数列{an}前n项和最大值n的值为（　　）‎ A．4 B．5 C．9或10 D．4或5‎ ‎12．方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（　　）‎ A．0＜a≤1 B．a＜1 C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知x＞0，y＞0，n＞0，4x+y=1，则+的最小值为　　．‎ ‎14．不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎15．已知数列{an}的首项a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则数列{an}的通项公式为 　　．‎ ‎16．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共4小题，共44分）‎ ‎17．已知向量=（1，5，﹣1），=（﹣2，3，5）．‎ ‎（1）若（k+）∥（﹣3），求实数k；‎ ‎（2）若（k+）⊥（﹣3），求实数k．‎ ‎18．设命题P：实数x满足2x2﹣5ax﹣3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．‎ ‎（1）若a=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎19．（1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．‎ ‎（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）‎ ‎20．已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．‎ ‎（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年陕西省西安一中大学区高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1．已知向量=（﹣1，1，﹣1），=（2，0，﹣3），则•等于（　　）‎ A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．1‎ ‎【考点】空间向量的数量积运算．‎ ‎【分析】利用向量数量积坐标运算公式求解．‎ ‎【解答】解：∵向量=（﹣1，1，﹣1），=（2，0，﹣3），‎ ‎∴=﹣2+0+3=1．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．不等式≥0的解集为（　　）‎ A．[﹣2，1] B．（﹣2，1] C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞）‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】先将此分式不等式等价转化为一元二次不等式组，特别注意分母不为零的条件，再解一元二次不等式即可 ‎【解答】解：不等式≥0‎ ‎⇔（x﹣1）（2+x）≤0且x≠﹣2‎ ‎⇔﹣2≤x≤1且x≠﹣2⇔﹣2＜x≤1．‎ 即不等式的解集为：（﹣2，1]．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．下列命题中是假命题的是（　　）‎ A．若a＞0，则2a＞1‎ B．若x2+y2=0，则x=y=0‎ C．若b2=ac，则a，b，c成等比数列 D．若a+c=2b，则a，b，c成等差数列 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】A，由指数函数y=2x可得，当a＞0，2a＞1；‎ B，∵x2≥，y2≥0对任意实数恒成立，∴当x2+y2=0时，一定有x=y=0；‎ C，当b2=ac时，a，b，c可能同时为0，此时a，b，c不是等比数列；‎ D，当a+c=2b，一定有b﹣a=c﹣b，则a，b，c一定成等差数列．‎ ‎【解答】解：对于A，由指数函数y=2x可得，当a＞0，2a＞1，故正确；‎ 对于B，∵x2≥，y2≥0对任意实数恒成立，∴当x2+y2=0时，一定有x=y=0，故正确；‎ 对于C，当b2=ac时，a，b，c可能同时为0，此时a，b，c不是等比数列，故错；‎ 对于D，当a+c=2b，一定有b﹣a=c﹣b，则a，b，c一定成等差数列，故正确．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．已知{an}是等比数列，a1=4，a4=，则公比q等于（　　）‎ A． B．﹣2 C．2 D．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】把题目给出的条件直接代入等比数列的通项公式求公比．‎ ‎【解答】解：在等比数列{an}中，由，‎ 得，‎ ‎∴q=．‎ ‎∴等比数列{an}的公比为．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．命题“任意x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（　　）‎ A．任意x∈R，|x|+x2＜0 B．存在x∈R，|x|+x2≤0‎ C．存在x0∈R，|x0|+x02＜0 D．存在x0∈R，|x0|+x02≥0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以，命题“任意x∈R，|x|+x2≥0”的否定是存在x0∈R，|x0|+x02＜0．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知，，，则用向量，，可表示向量=（　　）‎ A． B． C． D．﹣‎ ‎【考点】空间向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】从要表示的向量的起点出发，沿着平行六面体的棱把向量顺次首尾相连，写出结果，这样三个向量都是指定的基底中的向量，得到结果．‎ ‎【解答】解：‎ ‎=﹣‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．对于实数a，b，c，下列命题正确的是（　　）‎ A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2‎ C．若a＜b＜0，则 D．若a＜b＜0，则 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】选项是不等式，可以利用不等式性质，结合特例逐项判断，得出正确结果．‎ ‎【解答】解：A，当c=0时，有ac2=bc2 故错．‎ B 若a＜b＜0，则a2﹣ab=a（a﹣b）＞0，a2＞ab； ab﹣b2=b（a﹣b）＞0，ab＞b2，∴a2＞ab＞b2 故对 C 若a＜b＜0，取a=﹣2，b=﹣1，可知，故错．‎ D 若a＜b＜0，取a=﹣2，b=﹣1，可知，故错 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．若命题￢（p∨（￢q））为真命题，则p，q的真假情况为（　　）‎ A．p真，q真 B．p真，q假 C．p假，q真 D．p假，q假 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据复合命题真假判断的真值表，结合题￢（p∨（￢q））为真命题，可得结论．‎ ‎【解答】解：若命题￢（p∨（￢q））为真命题，‎ 则命题p∨（￢q）为假命题，‎ 则命题p和￢q为假命题，‎ ‎∴p假，q真，‎ 故选：C ‎　‎ ‎9．已知变量x，y满足条件，则目标函数z=2x+y（　　）‎ A．有最小值3，最大值9 B．有最小值9，无最大值 C．有最小值8，无最大值 D．有最小值3，最大值8‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最值．‎ ‎【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），‎ 由z=2x+y，得y=﹣2x+z，‎ 平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+‎ z的截距最小，此时z最小．无最大值．‎ 由，解得，‎ 即A（2，4）．‎ 此时z的最小值为z=2×2+4=8，‎ 故选：C ‎　‎ ‎10．已知数列{an}的前n项和Sn=，则a3=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【分析】利用公式可求出数列{an}的通项an．令n=3即可得到a3‎ ‎【解答】解：a3=S3﹣S2=﹣=．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．设an=﹣n2+9n+10，则数列{an}前n项和最大值n的值为（　　）‎ A．4 B．5 C．9或10 D．4或5‎ ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【分析】由题意可得Sn≥Sn+1，解出不等式根据项的符号可作出判断 ‎【解答】解：解：an=﹣n2+9n+10=﹣（n﹣10）（n+1），‎ ‎∵{an}的前n项和Sn有最大值，‎ ‎∴Sn≥Sn+1，得an+1≤0，即﹣[（n+1）﹣10][（n+1）+1]≤0，‎ 解得n≥9，‎ 易得a8=18，a9=10，a10=0，a11=﹣12，则S9=S10最大，此时n=9或10．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（　　）‎ A．0＜a≤1 B．a＜1 C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0‎ ‎【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．‎ ‎【分析】首先，对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，然后在二次项系数不为0时，分两根一正一负和两根均为负值两种情况，最后将两种情况综合在一起找到a所满足的条件a≤1，再利用上述过程可逆，就可以下结论充要条件是a≤1．‎ ‎【解答】解：①a≠0时，显然方程没有等于零的根．‎ 若方程有两异号实根，则由两根之积小于0可得 a＜0；‎ 若方程有两个负的实根，则必有，故 0＜a≤1．‎ ‎②若a=0时，可得x=﹣也适合题意．‎ 综上知，若方程至少有一个负实根，则a≤1．‎ 反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，‎ 因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一负的实根的充要条件是a≤1．‎ 故选 C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知x＞0，y＞0，n＞0，4x+y=1，则+的最小值为　16　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，y＞0，4x+y=1，‎ 则+=（4x+y）=8+≥8+2=16，当且仅当y=4x=时取等号．‎ 其最小值为16．‎ 故答案为：16．‎ ‎　‎ ‎14．不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是　（2，+∞）　．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】先化简，再由二次函数的性质，得到解答．‎ ‎【解答】解：不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，‎ 即（a+2）x2+4x+a﹣1＞0对一切x∈R恒成立 若a+2=0，显然不成立 若a+2≠0，则解得a＞2．‎ 综上，a＞2‎ ‎　‎ ‎15．已知数列{an}的首项a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则数列{an}的通项公式为 　　．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】先看n≥2根据题设条件可知an=3Sn﹣1，两式想减整理得an+1=4an，判断出此时数列{an}为等比数列，a2=3a1=3，公比为4‎ 求得n≥2时的通项公式，最后综合可得答案．‎ ‎【解答】解：当n≥2时，an=3Sn﹣1，‎ ‎∴an+1﹣an=3Sn﹣3Sn﹣1=3an，‎ 即an+1=4an，‎ ‎∴数列{an}为等比数列，a2=3a1=3，公比为4‎ ‎∴an=3•4n﹣2，‎ 当n=1时，a1=1‎ ‎∴数列{an}的通项公式为 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围为　0＜a≤1或a≥　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】画出前三个不等式构成的不等式组表示的平面区域，求出A，B的坐标，得到当直线x+y=a过A，B时的a值，再由题意可得a的取值范围．‎ ‎【解答】解：如图，联立，解得A（）．‎ 当x+y=a过B（1，0）时，a=1；‎ 当x+y=a过A（）时，a=．‎ ‎∴若不等式组表示的平面区域是一个三角形，‎ 则0＜a≤1或a≥．‎ 故答案为：0＜a≤1或a≥．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共4小题，共44分）‎ ‎17．已知向量=（1，5，﹣1），=（﹣2，3，5）．‎ ‎（1）若（k+）∥（﹣3），求实数k；‎ ‎（2）若（k+）⊥（﹣3），求实数k．‎ ‎【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．‎ ‎【分析】直接求出k+，﹣3，（1）利用向量共线的充要条件求解即可．‎ ‎（2）通过斜率的数量积为0，求解即可．‎ ‎【解答】解：因为k+=（k﹣2，5k+3，﹣k+5），﹣3=（1，5，﹣1）﹣3（﹣2，3，5）=（7，﹣4，﹣16）.4分 ‎（1）因为（k+）∥（﹣3），所以==⇒k=﹣.7分 ‎（2）因为（k+）⊥（﹣3），所以7（k﹣2）﹣4（5k+3）﹣16（5﹣k）=0⇒k=.10分 ‎　‎ ‎18．设命题P：实数x满足2x2﹣5ax﹣3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．‎ ‎（1）若a=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】（1）首先分别求出命题P与命题q的集合简化形式B与A；p∧q为真，则p，q均为真，实则是求B∩A．‎ ‎（2）由¬p是¬q的充分不必要条件，则 ‎（q能推导出p，p推导不出q）．则说明B⊆A．‎ ‎【解答】解：（1）若a=2，则2x2﹣5ax﹣3a2＜0可化为x2﹣5x﹣6＜0，‎ 解得：﹣1＜x＜6．‎ 由得，‎ ‎∴不等式的解集为．‎ 若p∧q为真，则p，q均为真，∴由可得．‎ ‎（2）解2x2﹣5ax﹣3a2＜0得：．‎ 若¬p是¬q的充分不必要条件，则．‎ 设，，则B⊆A．‎ ‎∴3a≥2且，即，∴实数a的取值范围是．‎ ‎　‎ ‎19．（1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．‎ ‎（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）‎ ‎【考点】向量语言表述线面的垂直、平行关系；四种命题；向量语言表述线线的垂直、平行关系．‎ ‎【分析】（1）证法一：做出辅助线，在直线上构造对应的方向向量，要证两条直线垂直，只要证明两条直线对应的向量的数量积等于0，根据向量的运算法则得到结果．‎ 证法二：做出辅助线，根据线面垂直的性质，得到线线垂直，根据线面垂直的判定定理，得到线面垂直，再根据性质得到结论．‎ ‎（2）把所给的命题的题设和结论交换位置，得到原命题的逆命题，判断出你命题的正确性．‎ ‎【解答】证明：（1）证法一：如图，过直线b上任一点作平面α的垂线n，设直线a，b，c，n对应的方向向量分别是，则共面，‎ 根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得，‎ 则=‎ 因为a⊥b，所以，‎ 又因为a⊂α，n⊥α，‎ 所以，‎ 故，从而a⊥c 证法二 如图，记c∩b=A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P做PO⊥π，垂足为O，则O∈c，‎ ‎∵PO⊥π，a⊂π，‎ ‎∴直线PO⊥a，‎ 又a⊥b，b⊂平面PAO，PO∩b=P，‎ ‎∴a⊥平面PAO，‎ 又c⊂平面PAO，‎ ‎∴a⊥c ‎（2）逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b，‎ 逆命题为真命题 ‎　‎ ‎20．已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．‎ ‎（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式，再求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求出数列{cn}的通项，利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n，‎ ‎∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5，‎ n=1时，a1=S1=11，∴an=6n+5；‎ ‎∵an=bn+bn+1，‎ ‎∴an﹣1=bn﹣1+bn，‎ ‎∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1．‎ ‎∴2d=6，‎ ‎∴d=3，‎ ‎∵a1=b1+b2，‎ ‎∴11=2b1+3，‎ ‎∴b1=4，‎ ‎∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1；‎ ‎（Ⅱ）cn===6（n+1）•2n，‎ ‎∴Tn=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，‎ ‎∴2Tn=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，‎ ‎①﹣②可得﹣Tn=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]=12+6×﹣6（n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，‎ ‎∴Tn=3n•2n+2．‎ ‎　‎ ‎2017年1月13日