内蒙古自治区赤峰市赤峰二中2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

内蒙古自治区赤峰市赤峰二中2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

赤峰二中高二年级上学期数学第一次月考试题（文）‎ 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.)‎ ‎1.命题“若，则”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（）．‎ A. B. C. D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据原命题与逆否命题同真假,逆命题与否命题同真假,只需判断原命题和逆命题的真假就可以得到真命题的个数了..‎ ‎【详解】因为原命题”若，则”假命题;所以其逆否命题也是假命题,‎ 因为逆命题”若,则”是真命题.所以否命题也是真命题.‎ 所以命题“若，则”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为2个.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了四种命题,属基础题.‎ ‎2.已知命题，命题.若命题是的必要不充分条件，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求得集合A,B，然后结合题意和恒成立的条件可得实数a的取值范围.‎ ‎【详解】由题意可得：命题：，命题：，‎ 命题是的必要不充分条件，故不等式，即在区间上恒成立，‎ 据此可知：的取值范围是.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的表示，由必要不充分条件求参数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎3.方程（3x-y+1）（y-）=0表示曲线为（　　）‎ A. 一条线段和半个圆 B. 一条线段和一个圆 C. 一条线段和半个椭圆 D. 两条线段 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由原方程可得y=（-1≤x≤1，）或3x-y+1=0（-1≤x≤1），进一步求出轨迹得答案．‎ ‎【详解】由方程（3x-y+1）（y-）=0得y=（）或3x-y+1=0，且满足-1≤x≤1，‎ 即或3x-y+1=0（-1≤x≤1），‎ ‎∴方程（3x-y+1）（y-）=0表示一条线段和半个圆．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查曲线的方程和方程的曲线概念，关键是注意根式有意义的范围，是中档题．‎ ‎4.若双曲线的离心率大于2，则该双曲线的虚轴长的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据离心率大于2得到不等式：计算得到虚轴长的范围.‎ ‎【详解】，，，‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查了双曲线的离心率，虚轴长，意在考查学生的计算能力.‎ ‎5.平行四边形ABCD的顶点A，C的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D在直线3x－y＋1＝0上移动，则顶点B的轨迹方程为(　　)‎ A. 3x－y－20＝0 B. 3x－y－10＝0‎ C. 3x－y－12＝0 D. 3x－y－9＝0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出和的坐标,把的坐标用的坐标表示，代入直线方程后即可得到结论.‎ ‎【详解】设点的坐标为，取直线上点的坐标为，‎ 向量，‎ 由， 得，即,‎ 因为，‎ 所以，‎ 整理得，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查逆代法求轨迹方程，属于中档题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.‎ ‎6.已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设A（，），B（，），因为A、B在椭圆上将两式相减可得直线AB的斜率与直线OM的斜率的关系，建立关于a，b，c的方程，从而求出所求；‎ ‎【详解】设A（，），B（，），又的中点为，则 又因为A、B在椭圆上 所以 两式相减，得：‎ ‎∵,‎ ‎∴，∴，平方可得, ∴=,，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了点差法求斜率，以及椭圆的几何性质，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．‎ ‎7.已知双曲线,四点，中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：先判断，在双曲线上，则一定不在双曲线上，则在双曲线上，则可得，求出 ，再根据离心率公式计算即可．‎ 详解：根据双曲线的性质可得，在双曲线上，则一定不在双曲线上，则在双曲线上，解得 ‎ ‎ 故选C．‎ 点睛：本题考查了双曲线的简单性质和离心率的求法，属于基础题 ‎8.椭圆的焦点为，过点作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦长为，‎ ‎ 的周长为20，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵△MF2N的周长=MF1+MF2+NF1+NF2=‎2a+‎2a=‎4a=20，∴a=5，‎ 又由椭圆的几何性质，过焦点的最短弦为通径长 ‎∴MN==，‎ ‎∴b2=16，c2=a2﹣b2=9，‎ ‎∴c=3，∴e==，‎ 故选B．‎ ‎9.过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为直线的斜率为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】设直线与的交点，则中点，且，将代入可得：，，以上两式相减可得，则由于，所以，即，所以，应选答案D。‎ 点睛：解答本题的思路是运用点差法进行求解。解答这类弦及弦中点问题通常运用这种方法，要注意不存在的情形出现。求解本题时，先将弦的两个交点的坐标设出，巧妙运用“设而不求”的技巧，使得问题整体处理，巧妙获解。‎ ‎10.已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为 ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用离心率乘积为，利用将离心率表示出来，构造一个关于的方程，然后解出的值，从而得到双曲线渐近线方程。‎ ‎【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为，‎ 则，‎ 所以，所以双曲线的渐近线方程为：‎ ‎，即，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆与双曲线的离心率即双曲线的渐近线方程求离心率直接构造出关于的方程从而求出e，求双曲线渐近线方程则只需构造的方程，从而解出，便可得到渐近线方程。‎ ‎11.已知点为双曲线 右支上一点，分别为左右焦点，若双曲线的离心率为，的内切圆圆心为，半径为2，若，则的值是（ ）‎ A. 2 B. C. D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用的内切圆圆心为，半径为2 ，由，结合双曲线的定义求出,通过离心率求出，然后求解即可.‎ ‎【详解】点为双曲线右支上一点,‎ 分别为左右焦点,的内切圆圆心为,半径为2 , 因为，‎ 所以，‎ 可得，‎ 即，‎ 双曲线的离心率为，可得,‎ 则，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的离心率以及双曲线的几何性质，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.‎ ‎12.如图，点在以为焦点的双曲线上，过作轴的垂线，垂足为，若四边形为菱形，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接,可得三角形为等边三角形，过点P作PH⊥x轴于点H, 则∠=60，可得|=‎2c, , ||=, ||=，连接,利用双曲线的性质, ‎2a=||-||=‎-2c=,可得离心率e.‎ ‎【详解】解：由题意得：‎ 四边形的边长为‎2c, 连接,由对称性可知, ||=||=‎2c,则三角形为等边三角形.‎ 过点P作PH⊥x轴于点H, 则∠=60，‎ ‎||=‎2c,在直角三角形中, ||=, ||=,‎ 则P(‎2c,), 连接, 则||=.‎ 由双曲线的定义知,‎2a=||-||=‎-2c=,‎ 所以双曲线的离心率为e===，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的相关性质及菱形的性质，灵活运用双曲线的性质是解题的关键.‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，是的中点，，则点到椭圆左焦点的距离为_____．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用是的中位线求得,再利用椭圆定义列方程即可求解。‎ ‎【详解】如图，是的中位线，‎ 由得：，‎ 由椭圆得：，即：‎ 又，‎ 解得：‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角形中位线结论及椭圆的定义、标准方程，属于基础题。‎ ‎14.函数 （ ）， ，对 ， ，使 成立，则 的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，存在，使得，因此的值域为的值域的子集，故可求实数的取值范围．‎ ‎【详解】由函数的图象是开口向上的抛物线，且关于对称，‎ 所以时，函数的最小值为，最大值为，‎ 可得的值域为，‎ 又因为，所以为单调增函数，‎ 的值域为，即，‎ 因为对， ，使成立， ‎ 所以，解得，所以实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】一般地，已知函数，‎ ‎（1）若，，总有成立，故；‎ ‎（2）若，，有成立，故；‎ ‎（3）若，，有成立，故；‎ ‎（4）若若，，有，则的值域是值域的子集 ．‎ ‎15.设、分别是双曲线的左、右焦点，若点在此双曲线上，且，则=__________．‎ ‎【答案】3或7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点在双曲线上，由双曲线的定义可知，根据，代入即可求解.‎ ‎【详解】由双曲线的方程，可得，‎ 因为点在双曲线上，由双曲线的定义可知，‎ 因为，代入解得或.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的定义的应用，其中解答中熟记双曲线的定义，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎16.在下列命题中：‎ ‎①方程表示的曲线所围成区域面积为；‎ ‎②与两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为；‎ ‎③与两定点距离之和等于的点的轨迹为椭圆；‎ ‎④与两定点距离之差的绝对值等于1的点的轨迹为双曲线．‎ 正确的命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题序号都填上)‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①画出图像，计算出面积.②显然为正确的.③根据到两定点的距离之和的范围来判读命题是否正确.④根据双曲线的定义判断命题是否正确.‎ ‎【详解】对于①，画出图像如下图所示，面积为，故①正确.‎ 对于②，与两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为是正确的.‎ 对于③，由于两定点距离为，故到两定点距离之和等于的点是不存在的，故③错误.‎ 对于④，根据双曲线的定义可知，④是正确的.‎ 综上所述，正确的命题为①②④‎ ‎【点睛】本小题主要考查平面的轨迹方程，考查椭圆和双曲线的定义的理解，属于基础题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.求下列各曲线的标准方程．‎ ‎(1)长轴长为,离心率为,焦点在轴上的椭圆;‎ ‎(2)已知双曲线的渐近线方程为,焦距为,求双曲线的标准方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题主要考查椭圆与双曲线的方程与性质.(1) 设椭圆的方程为,由题意可得‎2a=12,,求出a,b,c可得椭圆方程;(2)分双曲线的焦点在x轴与y轴上两种情况,结合条件渐近线方程为,焦距为进行求解.‎ 试题解析：‎ ‎(1)设椭圆的方程为,‎ 由题意可得‎2a=12,,‎ 求解可得,‎ 所以椭圆的标准方程为;‎ ‎(2)当双曲线的焦点在x轴上时,‎ 设双曲线的方程为 因为双曲线的渐近线方程为,焦距为,‎ 所以,‎ 求解可得,‎ 所以双曲线的方程为;‎ 当双曲线的焦点在y轴上时,‎ 设双曲线的方程为 因为双曲线的渐近线方程为,焦距为,‎ 所以,‎ 求解可得,‎ 所以双曲线的方程为.‎ 所以双曲线的标准方程为或.‎ ‎18.已知命题p：任意，x2-a≥0恒成立；命题q：函数的值可以取遍所有正实数.‎ ‎（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数a的范围；‎ ‎（Ⅱ）若命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）变量分离，研究二次函数的最小值即可；（II）求出q是真命题时a的范围，利用复合命题的真假，列出不等式组求解即可．‎ ‎【详解】（I）若p为真命题，在恒成立， ‎ ‎（II）若为真命题，则恒成立，解得，或.‎ 因为命题为假命题, 为真命题,，所以命题一真一假，‎ ‎①真假，解得；‎ ‎②假真，解得 综上所述的取值范围是 ‎【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎19.已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，渐近线方程为y＝±x，且双曲线过点P(4，－)．‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)若点M(x1，y1)在双曲线上，求的范围．‎ ‎【答案】（1）x2－y2＝6.（2）≥－6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 设双曲线的方程为x2－y2＝λ,代入点坐标得到方程即可；（2）根据第一问得到c＝，＝(－－x1，－y1)，＝(－x1，－y1)，∴，再由点在曲线上得到，进而得到范围。‎ ‎【详解】(1)设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．‎ ‎∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.‎ ‎∴双曲线的方程为x2－y2＝6.‎ ‎(2)由(1)可知，a＝b＝，∴c＝，‎ ‎∴F1(－，0)，F2(，0)，‎ ‎＝(－－x1，－y1)，＝(－x1，－y1)，‎ ‎∴，‎ ‎∵点M(x1，y1)在双曲线上，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵≥0，∴≥－6.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是双曲线的方程以及几何意义的应用，和向量坐标化的应用，中等难度.‎ ‎20.已知点、的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为.‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）若过点的直线交动点的轨迹于、两点， 且为线段，的中点，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设M（x，y），写出直线AM与直线BM的斜率，利用线AM与直线BM的斜率之积为﹣2，得到x与y的关系，进而得到答案；（2）根据题意可得直线l的斜率存在，设直线l方程和，，将C,D坐标代入曲线方程后，利用点差法可得直线l的斜率，从而得到直线方程．‎ ‎【详解】（1）设，因为，所以化简 得：‎ ‎（2）设，当直线轴时，直线的方程为，则，，其中点不是，不合题意 设直线的方程为 将， 代入得 ‎ （1）‎ ‎ （2）‎ ‎（1）-（2） 整理得： ‎ 直线的方程为 即所求直线的方程为 ‎【点睛】本题考查利用直接法求曲线的轨迹方程，考查点差法的应用，属于中档题.‎ ‎21.已知椭圆右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．当轴时，的面积为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线、的斜率分别为、，证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知条件得b2＝a2﹣1，利用通径公式得出|AB|的表达式，再由△ABM的面积得出有关a的方程，求出a的值，可得出椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）对直线l与x轴垂直、与y轴垂直以及与斜率存在且不为零三种情况讨论．在前两种情况下可直接进行验证；在第三种情况下，设直线l的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），将直线l的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式并代入韦达定理，通过化简计算得出结论成立．‎ ‎【详解】（1）依题意得，即，‎ 所以当时，解得，当轴时，，‎ 因为，所以，解得，‎ 所以椭圆的标准方程为. ‎ ‎（2）当与轴重合时，，满足条件；当与轴垂直时，满足条件，‎ 当与轴不重合且不垂直时，设为，，，‎ 把代入，得，‎ 则，，‎ 因为 ，‎ 而，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理在椭圆综合问题中的应用，同时考查计算能力与推理能力，属于中档题．‎ ‎22.已知椭圆的方程为：， 且平行四边形的三个顶点都在椭圆上，为坐标原点．‎ ‎（1）当弦的中点为时，求直线的方程；‎ ‎（2）证明：平行四边形的面积为定值．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据中点可得，利用点差法可得斜率，从而可得方程；‎ ‎（2）设出直线方程与椭圆联立，结合韦达定理，求出平行四边形的面积表达式，得出定值.‎ ‎【详解】（1）的中点坐标为，‎ 设，∴，‎ ‎∴，两式相减可得，‎ 即，∴，‎ ‎∴直线的方程为，即；‎ 证明（2）：当直线斜率不存在时，平行四边形为菱形，易得 设直线的方程为：与椭圆相交于两点，设，‎ 将其代入得，‎ 即 又，‎ ‎∴，‎ ‎∵四边形平行四边形. ‎ ‎∴‎ ‎∴点坐标为 ‎∵点在椭圆上，∴，整理得 ‎∴‎ ‎∵点到直线的距离为，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线方程的求解和椭圆中的定值问题，直线方程求解时，主要有待定系数法和点差法，点差法主要适用于已知弦中点求解方程的类型.椭圆的定值问题一般求解方法是：先求解目标的表达式，结合其它条件把目标式中未知量转化为一个，一般都可以消去参数得到定值.‎ ‎ ‎