专题09 综合训练1（第02期）-2017年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列

专题09 综合训练1（第02期）-2017年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列

‎2017届高考数学（理）大题狂练 专题09 综合训练1‎ ‎1.已知为数列的前项和满足，.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）当时，，因为，所以，‎ 当时，，‎ 即，因为，所以所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以数列的前项和为.‎ 考点：数列求通项与求和.‎ ‎2.‎ 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）‎ 几何题 代数题 总计 男同学 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 女同学 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 总计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎（Ⅰ）能否据此判断有97．5%的把握认为视觉和空军能力与性别有关？‎ ‎（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．‎ ‎（Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为，求的分布列及数学期望．‎ 附表及公式 ‎0．15‎ ‎0．10‎ ‎0．05‎ ‎0．025‎ ‎0．010‎ ‎0．005‎ ‎0．001‎ ‎2．072‎ ‎2．706‎ ‎3．841‎ ‎5．024‎ ‎6．635‎ ‎7．879‎ ‎10．828‎ ‎【答案】（I）有的把握认为视觉和空军能力与性别有关；（II）；（III）分布列见解析，.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由表中数据得的观测值 所以根据统计有97．5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．‎ ‎（Ⅲ）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种 可能取值为0，1，2，，‎ ‎，‎ 的分布列为：‎ ‎．‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 考点：独立性检验，分布列. ‎ ‎3.如图，在直三棱柱中，，，是棱上的一点，是的延长线与的延长线的交点，且平面．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的平面角的正弦值．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎（2）在直三棱柱中，，，‎ ‎．以为坐标原点，以，，所在直线建立空间直角坐标系如图所示．由（Ⅰ）知为中点，点，，，坐标分别为，，，．设平面的法向量，‎ 且，取，，同理，平面的法向量．设二面角平面角为，则，‎ ‎．‎ 考点：全等三角形的性质及空间向量的数量积公式等有关知识的综合运用．‎ ‎4.已知椭圆的短轴长为，离心率．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，求的内切圆半径的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据题意列出待定系数的方程组，即可求得方程；（2）设的内切圆的半径为，‎ 易得的周长为，所以，因此最大，就最大. 把分解为和,从而得到，整理方程组， 求出两根和与两根既即得到面积与的函数关系，通过换元，利用均值不等式即可求得的最大值，此时.‎ ‎（2）设，设的内切圆的半径为，‎ 因为的周长为，，‎ 因此最大，就最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎，‎ 由题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，‎ 由得，‎ 所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 又因直线与椭圆交于不同的两点，‎ 故，即，则 ‎．．．．．．．．．．．．10分 令，则，‎ ‎．‎ 令，由函数的性质可知，函数在上是单调递增函数，‎ 即当时，在上单调递增，‎ 因此有，所以，‎ 即当时，最大，此时，‎ 故当直线的方程为时，内切圆半径的最大值为．．．．．．．．．．．12分 考点：椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系.‎ ‎5.已知函数.‎ ‎（I）求函数的单调区间；‎ ‎（II）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？‎ ‎（III）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（I）当时，函数的单调增区间是，单调减区间是，当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；（II）；（III）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I），当时，由得，由得，当时，由得，由得；（II）由题，即，，此时，，则，若在区间上存在极值，则应有，又为开口向上的抛物线，且，所以应有，于是可以求出的取值范围；（III）时，，令，则，然后分，进行讨论，即可以求出的取值范围.‎ ‎（II）由，，‎ 故，‎ ‎， ……………………………5分 在区间上总存在极值，‎ 有两个不等实根且至少有一个在区间内 又是开口向上的二次函数，且，‎ 由，解得， ……………………………6分 由，‎ 在上单调递减，所以，‎ ‎， ……………………………7分 综上可得，，‎ 所以当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值.‎ ‎（III），令，则 ‎， ……………………………9分 当时，由得，从而，‎ 所以，在上不存在使得； 10分 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值；3、导数的几何意义；4、函数与导数.‎ ‎6.已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为，（为参数）.‎ ‎（1）求直线与曲线的直角坐标方程.‎ ‎（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求 的最大值.‎ ‎【答案】（1）与；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）两边平方后可的圆的方程为；直线参数方程利用加减消元法消去参数得；（2）将代入得，化为参数方程得，所以，故最大值为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）直线的方程为：，曲线的直角坐标方程为：‎ ‎（2）因为，所以，代入得 设椭圆的参数方程为，（为参数），‎ 则 所以得最大值为4.‎ 考点：坐标系与参数方程.‎ ‎7.设函数.‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ 试题解析：‎ ‎（I），‎ 当，，，‎ 当，，，‎ 当，，，‎ 综上所述.‎ ‎（II）易得，若，恒成立，‎ 则只需，‎ 综上所述.‎ 考点：不等式选讲.‎