数学卷·2018届山西省忻州十中高二上学期期中数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届山西省忻州十中高二上学期期中数学试卷（文科）（解析版）

‎2016-2017学年山西省忻州十中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一．选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.每小题5分，共60分）‎ ‎1．A=，B={（x，y）|x+y≥2}，则A∩B所对应区域面积为（　　）‎ A．2π B．π﹣2 C．π D．π+2‎ ‎2．直线x+y﹣1=0的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎3．给出下列四个命题：‎ ‎（1）平行于同一直线的两个平面平行；‎ ‎（2）平行于同一平面的两条直线平行；‎ ‎（3）垂直于同一直线的两条直线平行；‎ ‎（4）垂直于同一平面的两条直线平行．‎ 其中正确命题的个数是（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎4．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5．两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的公切线条数是（　　）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎6．直线kx﹣y+k=0与圆x2+y2﹣2x=0有公共点，则实数k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（　　）‎ A．2+ B．4+ C．2+2 D．5‎ ‎8．如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎9．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）‎ A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣‎ ‎10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（　　）‎ A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值 D．异面直线AE，BF所成的角为定值 ‎11．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（　　）‎ A．10 B．20 C．30 D．40‎ ‎12．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ 二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）‎ ‎13．已知直线ax﹣y+2a=0和（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a=　　．‎ ‎14．已知向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），且A、B、C三点共线，当k＜0时，若k为直线的斜率，则过点（2，﹣1）的直线方程为　　．‎ ‎15．在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC=2AD=2AB=4，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为　　．‎ ‎16．已知圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称．直线3x+4y﹣11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为　　．‎ ‎　‎ 三.解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分）‎ ‎17．已知直线l过点P（2，3），根据下列条件分别求出直线l的方程：‎ ‎（1）l在x轴、y轴上的截距之和等于0；‎ ‎（2）l与两条坐标轴在第一象限所围城的三角形面积为16．‎ ‎18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，AC=BC，D、E、F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．‎ ‎（1）证明：EF∥平面A1CD；‎ ‎（2）证明：平面A1CD⊥平面ABB1A1．‎ ‎19．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为，若S3=a4+2，且a1，a3，a13成等比数列 ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列{bn}的前n项和为Tn．‎ ‎20．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖．‎ ‎（1）试求圆C的方程．‎ ‎（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B满足CA⊥CB，求直线l的方程．‎ ‎21．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．‎ ‎（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；‎ ‎（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．‎ ‎22．圆C满足：①圆心C在射线y=2x（x＞0）上； ‎ ‎②与x轴相切； ‎ ‎③被直线y=x+2截得的线段长为 ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）过直线x+y+3=0上一点P作圆C的切线，设切点为E、F，求四边形PECF面积的最小值，并求此时的值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山西省忻州十中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.每小题5分，共60分）‎ ‎1．A=，B={（x，y）|x+y≥2}，则A∩B所对应区域面积为（　　）‎ A．2π B．π﹣2 C．π D．π+2‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】由题意作出图象，然根据面积公式计算即可得答案．‎ ‎【解答】解：由A=，B={（x，y）|x+y≥2}，则A∩B所对应区域面积为如图阴影部分的面积，‎ 则为π×4﹣=π﹣2，‎ 故选：B ‎　‎ ‎2．直线x+y﹣1=0的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：设直线x+y﹣1=0的倾斜角为α．‎ 直线x+y﹣1=0化为．‎ ‎∴tanα=﹣．‎ ‎∵α∈[0°，180°），‎ ‎∴α=150°．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．给出下列四个命题：‎ ‎（1）平行于同一直线的两个平面平行；‎ ‎（2）平行于同一平面的两条直线平行；‎ ‎（3）垂直于同一直线的两条直线平行；‎ ‎（4）垂直于同一平面的两条直线平行．‎ 其中正确命题的个数是（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】对四个选项逐一分析，找出正确的命题．‎ ‎【解答】解：对于命题（1），平行于同一直线的两个平面有可能相交；故是假命题；‎ 对于命题（2）平行于同一平面的两条直线有相交、平行、异面三种可能；故是假命题；‎ 对于命题（3）垂直于同一直线的两条直线有相交、平行和异面三种可能；故是假命题；‎ 对于命题（4）垂直于同一平面的两条直线平行，根据线面垂直的性质可以判断两直线平行；故是真命题．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．‎ ‎【解答】解：输入的a值为1，则b=1，‎ 第一次执行循环体后，a=﹣，不满足退出循环的条件，k=1；‎ 第二次执行循环体后，a=﹣2，不满足退出循环的条件，k=2；‎ 第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件，‎ 故输出的k值为2，‎ 故选：B ‎　‎ ‎5．两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的公切线条数是（　　）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】把两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距小于半径之和，可得两圆相交，由此可得两圆的公切线的条数．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2=9表示以（0，0）为圆心，半径等于3的圆．‎ 圆x2+y2﹣8x+6y+9=0即 （x﹣4）2+（y+3）2=16，表示以（4，﹣3）为圆心，半径等于4的圆．‎ 两圆的圆心距等于=5，小于半径之和，大于半径差，故两圆相交，故两圆的公切线的条数为2，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．直线kx﹣y+k=0与圆x2+y2﹣2x=0有公共点，则实数k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由题意利用点到直线的距离小于等于半径，求出k的范围即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知圆的圆心坐标为（1，0），半径为1，‎ 因为直线kx﹣y+k=0与圆x2+y2﹣2x=0有公共点，所以≤1，‎ 解得﹣≤k≤．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（　　）‎ A．2+ B．4+ C．2+2 D．5‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=‎ 判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．‎ ‎【解答】解：根据三视图可判断直观图为：‎ OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，‎ EA=2，EC=EB=1，OA=1，‎ ‎∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，‎ 运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=‎ ‎∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．‎ S△BCO=2×=．‎ 故该三棱锥的表面积是2，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】本题求解宜用向量法来做，以D为坐标原点，建立空间坐标系，求出两直线的方向向量，利用数量积公式求夹角即可 ‎【解答】解：如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在线为y轴，DP所在线为z轴，建立空间坐标系，‎ ‎∵点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，令PD=AD=1‎ ‎∴A（1，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0）‎ ‎∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0）‎ ‎∴cosθ==‎ 故两向量夹角的余弦值为，即两直线PA与BD所成角的度数为60°．‎ 故选C ‎　‎ ‎9．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）‎ A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣‎ ‎【考点】圆的切线方程；直线的斜率．‎ ‎【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），‎ 故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．‎ ‎∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，‎ ‎∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，‎ 化为24k2+50k+24=0，‎ ‎∴k=或﹣．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（　　）‎ A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值 D．异面直线AE，BF所成的角为定值 ‎【考点】棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】利用证线面垂直，可证AC⊥BE；判断A正确；‎ 根据正方体中上下面平行，由面面平行的性质可证，线面平行，从而判断B正确；‎ 根据三棱锥的底面面积与EF的位置无关，高也与EF的位置无关，可判断C正确；‎ 例举两个特除位置的异面直线所成的角的大小，根据大小不同判断D错误．‎ ‎【解答】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE⊂平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A正确；‎ ‎∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故B正确；‎ ‎∵EF=，∴△BEF的面积为定值×EF×1=，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO为棱锥A﹣BEF的高，∴三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确；‎ ‎∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E与D1重合时sinα=，α=30°；当F与B1重合时tanα=，∴异面直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误；‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（　　）‎ A．10 B．20 C．30 D．40‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．‎ ‎【解答】解：圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=52，‎ 由题意得最长的弦|AC|=2×5=10，‎ 根据勾股定理得最短的弦|BD|=2=4，且AC⊥BD，‎ 四边形ABCD的面积S=|AC|•|BD|=×10×4=20．‎ 故选B ‎　‎ ‎12．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】球内接多面体；由三视图求面积、体积；球的体积和表面积．‎ ‎【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．‎ ‎【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则 ‎8﹣r+6﹣r=，‎ ‎∴r=2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）‎ ‎13．已知直线ax﹣y+2a=0和（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a=　0或1　．‎ ‎【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．‎ ‎【分析】当a=0 时，其中有一条直线的斜率不存在，经检验满足条件，当a≠0 时，两直线的斜率都存在，‎ 由斜率之积等于﹣1，可求 a．‎ ‎【解答】解：当a=0 时，两直线分别为 y=0，和x=0，满足垂直这个条件，‎ 当a≠0 时，两直线的斜率分别为a 和，由斜率之积等于﹣1得：a•=﹣1，‎ 解得 a=1．‎ 综上，a=0 或a=1．‎ 故答案为 0或1．‎ ‎　‎ ‎14．已知向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），且A、B、C三点共线，当k＜0时，若k为直线的斜率，则过点（2，﹣1）的直线方程为　2x+y﹣3=0　．‎ ‎【考点】三点共线．‎ ‎【分析】先求出和的坐标，利用向量和共线的性质x1y2﹣x2y1=0，解方程求出k的值．利用点斜式可得直线方程．‎ ‎【解答】解：由题意可得=（4﹣k，﹣7），=（6，k﹣5），由于和共线，‎ 故有故有（4﹣k）（k﹣5）+42=0，解得 k=11或 k=﹣2．‎ ‎∵当k＜0时，若k为直线的斜率，‎ ‎∴过点（2，﹣1）的直线方程为y+1=﹣2（x﹣2），即2x+y﹣3=0．‎ 故答案为2x+y﹣3=0．‎ ‎　‎ ‎15．在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC=2AD=2AB=4，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为　　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：‎ 旋转体是底面半径为2，高为4的圆柱，挖去一个相同底面高为2的倒圆锥，‎ 几何体的体积为： =．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．已知圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称．直线3x+4y﹣11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为　x2+（y+1）2=18　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】要求圆C的方程，先求圆心，设圆心坐标为（a，b），根据圆心与P关于直线y=x+1对称得到直线PC垂直与y=x+1且PC的中点在直线y=x+1上分别列出方程①②，联立求出a和b即可；再求半径，根据垂径定理得到|AB|、圆心到直线AB的距离及圆的半径成直角三角形，根据勾股定理求出半径．写出圆的方程即可．‎ ‎【解答】解：设圆心坐标C（a，b），根据圆心与P关于直线y=x+1对称得到直线CP与y=x+1垂直，‎ 而y=x+1的斜率为1，所以直线CP的斜率为﹣1即=﹣1化简得a+b+1=0①，‎ 再根据CP的中点在直线y=x+1上得到=+1化简得a﹣b﹣1=0②‎ 联立①②得到a=0，b=﹣1，所以圆心的坐标为（0，﹣1）；圆心C到直线AB的距离d==3， |AB|=3‎ 所以根据勾股定理得到半径，‎ 所以圆的方程为x2+（y+1）2=18．‎ 故答案为：x2+（y+1）2=18‎ ‎　‎ 三.解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分）‎ ‎17．已知直线l过点P（2，3），根据下列条件分别求出直线l的方程：‎ ‎（1）l在x轴、y轴上的截距之和等于0；‎ ‎（2）l与两条坐标轴在第一象限所围城的三角形面积为16．‎ ‎【考点】直线的一般式方程．‎ ‎【分析】本题（1）分类写出直线的方程，根据要求条件参数的值；（2）写出直线的截距式方程，根据要求条件参数的值，得到本题结论．‎ ‎【解答】解：（1）①当直线l经过原点时在x轴、y轴上的截距之和等于0，‎ 此时直线l的方程为，‎ ‎②当直线l经不过原点时，设直线l的方程为 ‎∵P（2，3）在直线l上，‎ ‎∴，‎ a=﹣1，即x﹣y+1=0．‎ 综上所述直线l的方程为3x﹣2y=0或x﹣y+1=0．‎ ‎（2）设l在x轴、y轴上的截距分别为a，b（a＞0，b＞0），‎ 则直线l的方程为 ‎∵P（2，3）在直线l上，‎ ‎∴．‎ 又由l与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为16，‎ 可得ab=32，‎ ‎∴a=8，b=4或．‎ ‎∴直线l的方程为或．‎ 综上所述直线l的方程为x+2y﹣8=0或9x+2y﹣24=0．‎ ‎　‎ ‎18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，AC=BC，D、E、F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．‎ ‎（1）证明：EF∥平面A1CD；‎ ‎（2）证明：平面A1CD⊥平面ABB1A1．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明EF∥A1D即可证明EF∥平面A1CD；‎ ‎（2）根据面面垂直的判定定理即可证明平面A1CD⊥平面ABB1A1．‎ ‎【解答】证明：（1）连结DE，‎ ‎∵D，E分别是AB，BC的中点 ‎∴DE∥AC，DE=AC，‎ ‎∵F为棱A1C1的中点．‎ ‎∴A1F=A1C1，‎ ‎∴A1F∥AC，‎ 即DE∥A1F，DE=A1F，‎ ‎∴四边形A1DEF为平行四边形，‎ ‎∴A1D∥EF 又∵EF⊄平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，‎ ‎∴EF∥平面A1CD．‎ ‎（2）∵A1A⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，‎ ‎∴AA1⊥CD，‎ ‎∵AC=BC，D为AB的中点，‎ ‎∴AB⊥CD，‎ ‎∵A1A∩AB=A ‎∴CD⊥平面ABB1A1‎ ‎∵CD⊂平面A1CD，‎ ‎∴平面A1CD⊥平面ABB1A1．‎ ‎　‎ ‎19．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为，若S3=a4+2，且a1，a3，a13成等比数列 ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列{bn}的前n项和为Tn．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的性质，解方程可得d=2，a1=1，进而得到所求通项公式；‎ ‎（2）求得，再由裂项相消求和即可得到所求．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，‎ 由S3=a4+2得：3a1+3d=a1+3d+2∴a1=1，‎ 又∵a1，a3，a13成等比数列，∴，‎ 即，解得：d=2，‎ ‎∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1；‎ ‎（2），‎ ‎∴‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎20．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖．‎ ‎（1）试求圆C的方程．‎ ‎（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B满足CA⊥CB，求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程；圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得．‎ ‎（2）设直线l的方程是：y=x+b．根据CA⊥CB，可知圆心C到直线l的距离，进而求得b，则直线方程可得．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知此平面区域表示的是以 O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，‎ 且△OPQ是直角三角形，‎ 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，‎ 所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．‎ ‎（2）设直线l的方程是：y=x+b．‎ 因为，所以圆心C到直线l的距离是，‎ 即=‎ 解得：b=﹣1．‎ 所以直线l的方程是：y=x﹣1．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．‎ ‎（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；‎ ‎（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的性质；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（I）运用E是AD的中点，判断得出BE⊥AC，BE⊥面A1OC，考虑CD∥DE，即可判断CD⊥面A1OC．‎ ‎（II）运用好折叠之前，之后的图形得出A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，平行四边形BCDE的面积S=BC•AB=a2，运用体积公式求解即可得出a的值．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（I）在图1中，‎ 因为AB=BC==a，E是AD的中点，‎ ‎∠BAD=，‎ 所以BE⊥AC，‎ 即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，‎ 从而BE⊥面A1OC，‎ 由CD∥BE，‎ 所以CD⊥面A1OC，‎ ‎（II）即A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，‎ 根据图1得出A1O=AB=a，‎ ‎∴平行四边形BCDE的面积S=BC•AB=a2，‎ V==a=a3，‎ 由a=a3=36，得出a=6．‎ ‎　‎ ‎22．圆C满足：①圆心C在射线y=2x（x＞0）上； ‎ ‎②与x轴相切； ‎ ‎③被直线y=x+2截得的线段长为 ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）过直线x+y+3=0上一点P作圆C的切线，设切点为E、F，求四边形PECF面积的最小值，并求此时的值．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）圆心C的坐标为（a，2a）（a＞0），半径为r，利用条件建立方程组，即可求圆C的方程；‎ ‎（2）四边形PECF的面积取最小值时，|PC|最小，从而可求的值．‎ ‎【解答】解：（1）圆心C的坐标为（a，2a）（a＞0），半径为r．‎ 则有，解得…‎ ‎∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4…‎ ‎（2）由切线的性质知：四边形PECF的面积S=|PE|•r=r=‎ ‎∴四边形PECF的面积取最小值时，|PC|最小，…‎ 即为圆心C（1，2）到直线x+y+3=0的距离d=3．‎ ‎∴|PC|最小为 ‎∴四边形PEMF的面积S的最小值为…‎ 此时||=||=，设∠CPE=∠CPF=α，则…‎ ‎∴=||2cos2α=||2 （1﹣2sin2α）=…‎ ‎　‎ ‎2017年1月13日