2016年广东省汕头市高考模拟试卷数学文

2016年广东省汕头市高考模拟试卷数学文

2016 年广东省汕头市高考模拟试卷数学文 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合要求的. 1.已知全集 U={1，2，3，4，5}，集合 A={1，2}，B={2，3}，则(CUA)∪B=( ) A.{3} B.{4，5} C.{1，2，3} D.{2，3，4，5} 解析：∵全集 U={1，2，3，4，5}，集合 A={1，2}，∴CUA={3，4，5}， ∵B={2，3}，则(CUA)∪B={2，3，4，5}. 答案：D 2.已知向量 a =(1，2)，2 + b =(3，2)，则 =( ) A.(1，2) B.(1，-2) C.(5，6) D.(2，0) 解析： =(1，2)，2 + =(3，2)， 则 =(2 + )-2 =(3，2)-2(1，2)=(3，2)-(2，4)=(3-2，2-4)=(1，-2). 答案：B. 3.已知 i 是虚数单位，若(2-i)·z=i3，则 z=( ) A. 1 5 - 2 5 I B.- + i C.- - i D. + i 解析：∵(2-i)·z=i3，∴(2+i)(2-i)z=-i(2+i)，5z=-2i+1，∴z= - i， 答案：A 4.从数字 1，2，3 中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于 30 的概率为 ( ) A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 解析：从数字 1，2，3 中任取两个不同的数字构成一个两位数，基本事件总数 n=A2 3=6， 则这个两位数大于 30 包含的基本事件个数 m=2， ∴这个两位数大于 30 的概率为 P= 21 63 m n . 答案：B. 5.已知 cos( 2  +α)= 3 5 ，且α∈( ， 3 2  )，则 tanα=( ) A. 4 3 B. 3 4 C.- D.± 解析：∵cos( +α)= ；∴sinα=- ； 又α∈( ， )，∴cosα=- 21sin  =- 4 5 ，∴tanα= sin3 cos4    . 答案：B 6.已知函数 f(x)=sin(2x- )(x∈R)下列结论错误的是( ) A.函数 f(x)的最小正周期为π B.函数 f(x)是偶函数 C.函数 f(x)在区间[0， ]上是增函数 D.函数 f(x)的图象关于直线 x= 4  对称 解析：对于函数 f(x)=sin(2x- )=-cos2x， 它的最小正周期为 2 2  =π，且函数 f(x)为偶函数，故 A、B 正确； 在区间[0， ]上，2x∈[0，π]，故函数 f(x)在区间[0， ]上是减函数； 当 x= 时，f(x)=0，不是最值，故函数 f(x)的图象不关于直线 x= 4  对称， 答案：D. 7.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1=1，Sn=2an+1，则当 n＞1 时，Sn=( ) A.( 3 2 )n-1 B.2n-1 C.( 2 3 )n-1 D. 1 3 ( 1 1 12 n   ) 解析：∵Sn=2an+1，a1=1，∴a1=2a2，解得 a2= 1 2 . 当 n≥2 时，Sn-1=2an，∴an=2an+1-2an，化为 1 3 2 n n a a   . ∴数列{an}从第二项起为等比数列，公比为 3 2 .∴Sn=2an+1=2× ×( 3 2 )n-1=( )n-1. 答案：A. 8. 执行如图所示的程序框图，若输入 A 的值为 2，则输出 P 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析：A=2，P=1，S=0， 满足条件 S≤2，则 P=2，S= 1 2 ， 满足条件 S≤2，则 P=3，S= 4 3 ， 满足条件 S≤2，则 P=4，S= 35 12 不满足条件 S≤2，退出循环体，此时 P=4. 答案：C 9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为( ) A.4 3 π B.12π C.24π D.48π 解析：由三视图可知几何体为三棱锥 P-ABC，PA⊥平面 ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2， 取 PC 中点 O，AC 中点 D，连结 OA，OD，BD，OB，则 AC= 22ABBC =2 2 ，PC= 22PA AC =2 . ∴OP=OC= 3 ，OA= 1 2 PC= ，BD= AC= ，OD= PA=1，∴OB= 22OD BD = ， ∴OA=OB=OC=OP，∴O 是棱锥 P-ABC 外接球的球心，外接球半径 r=OA= ， ∴外接球表面积 S=4πr2=12π. 答案：B 10.下列函数中，在(-1，1)内有零点且单调递增的是( ) A.y=log2x B.y=2x-1 C.y=x2-2 D.y=-x3 解析：y=log2x 在(-1，1)有没有意义的情况，故 A 不对， y=x2-1 在(-1，0)单调递减，故 C 不对， y=-x3 在(-1，1)单调递减，故 D 不对， 故 A，C，D 都不对， ∵y=2x-1，单调递增，f(-1)＜0，f(1)＞0，∴在(-1，1)内存在零点. 答案：B 11.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x)=     2log10 0 xx gxx     ， ， ， ＜ ， 则 g[f(-7)]=( ) A.3 B.-3 C.2 D.-2 解析：函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x)= 设 x＜0，则-x＞0，则 f(-x)=log2(-x+1)， ∵f(-x)=-f(x)，∴f(x)=-f(-x)=-log2(-x+1)， ∴g(x)=-log2(-x+1)(x＜0)， ∴f(-7)=g(-7)=-log2(7+1)=-3，∴g(-3)=-log2(3+1)=-2. 答案：D 12.设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，且对任意的实数 x，恒有 f(x)-f(-x)=0， 当 x∈[-1，0]时，f(x)=x2，若 g(x)=f(x)-logax 在 x∈(0，+∞)上有且仅有三个零点，则 a 的取值范围为( ) A.[3，5] B.[4，6] C.(3，5) D.(4，6) 解析：∵f(x))-f(-x)=0，∴f(x)=f(-x)，∴f(x)是偶函数，根据函数的周期和奇偶性作出 f(x)的图象如图所示： ∵g(x)=f(x)-logax 在 x∈(0，+∞)上有且仅有三个零点， ∴y=f(x)和 y=logax 的图象在(0，+∞)上只有三个交点， ∴ l og 3 1 l og 5 1 1 a a a    ＜ ， ＞ ， ＞ ， 解得 3＜a＜5. 答案：C. 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分. 13. 设 x，y 满 足约束条件 0 10 220 xy xy xy          ， ， ， 则 z=x+3y+m 的最大值 为 4，则 m 的值 为 . 解析：由 z=x+3y+m 得 y=- 1 3 x+ 3 z - 3 m ， 作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)： 平移直线 y=- x+ - 由图象可知当直线 y=- x+ - 经过点 A 时，直线 y=- x+ - 的截距最大， 此时 z 也最大，由 0 2 2 0 xy xy      ， ，解得 2 2 x y    ， ，即 A(2，2)， 将 A 代入目标函数 z=x+3y+m，得 2+3×2+m=4.解得 m=-4， 答案：-4. 14.已知直线 l：y=kx+b 与曲线 y=x3+3x-1 相切，则斜率 k 取最小值时，直线 l 的方程 为 . 解析：由 y=x3+3x+1，得 y′=3x2+3，则 y′=3(x2+1)≥3， 当 y′=3 时，x=0， 此时 f(0)=1，∴斜率 k 最小时直线 l 的方程为 y-1=3(x-0)，即 3x-y+1=0. 答案：3x-y+1=0. 15.已知正项等比数列{an}的公比 q=2，若存在两项 am，an，使得 mnaa =4a1，则 14 mn 的最 小值为 . 解析：正项等比数列{an}的公比 q=2， ∵存在两项 am，an，使得 =4a1，∴ 11 1122mnaa =4a1， ∵a1≠0，∴2m+n-2=24，∴m+n=6. 则  141141414 55 2666 3()2 nmnmmnmnmnmnmn      ，当且仅当 n=2m=4 时 取等号.∴ 14 mn 的最小值为 3 2 . 答案： 16.下列有关命题中，正确命题的序号是 . ①命题“若 x2=1，则 x=1”的否命题为“若 x2=1，则 x≠1”； ②命题“  x∈R，x2+x-1＜0”的否定是“ x∈R，x2+x-1＞0”； ③命题“若 x=y，则 sinx=siny”的逆否命题是假命题. ④若“p 或 q 为真命题，则 p，q 至少有一个为真命题.” 解析：①命题“若 x2=1，则 x=1”的否命题为“若 x2≠1，则 x≠1”；故①错误； ②命题“ x∈R，x2+x-1＜0”的否定是“ x∈R，x2+x-1≥0”；故②错误； ③命题“若 x=y，则 sinx=siny”的逆否命题是若 sinx≠siny，则 x≠y，是真命题，故③错 误； ④若“p 或 q 为真命题，则 p，q 至少有一个为真命题.”正确； 答案：④. 三、解答题.本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程和验算步骤. 17.在△ABC 中角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，b= 2 ，c=1，cosB= 3 4 . (1)求 sinC 的值； (2)求△ABC 的面积. 解析：(1)利用同角三角函数基本关系式可求 sinB，由正弦定理可得 sinC 的值. (2)由 c＜b，可得 C 为锐角，由(1)可得 cosC，利用两角和的正弦函数公式可求 sinA 的值， 利用三角形面积公式即可得解. 答案：(1)∵b= 2 ，c=1，cosB= 3 4 .∴sinB= 2 71cos 4B， ∴由正弦定理可得：sinC= 71sin14 4 82 cB b  . (2)∵c＜b，C 为锐角， ∴由(1)可得：cosC= 2 51 sin 8 2C， ∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC= 23 4 751414 4884 ， ∴S△ABC= 1 2 bcsinA= 1 2 × 2 ×1× 14 4 = 7 4 . 18. 已知{an}是公差 d≠0 的等差数列，a2，a6，a22 成等比数列，a4+a6=26；数列{bn}是公比 q 为正数的等比数列，且 b3=a2，b5=a6. (Ⅰ)求数列{an}，{bn}的通项公式； (Ⅱ)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn. 解析：(Ⅰ)利用等差中项及 a4+a6=26 可知 a5=13，进而通过 a2，a6，a22 成等比数列计算可知 d=3，利用 q2= 5 3 b b 及 6 2 a a =4 可知 q=2，进而计算可得结论； (Ⅱ)通过(I)可知 an·bn=(3n-2)·2n-1，进而利用错位相减法计算即得结论. 答案：(Ⅰ)∵{an}是公差 d≠0 的等差数列，且 a4+a6=26，∴a5=13， 又∵a2，a6，a22 成等比数列， ∴(13+d)2=(13-3d)(13+17d)，解得：d=3 或 d=0(舍)， ∴an=a5+(n-5)d=3n-2； 又∵b3=a2，b5=a6，∴q2= 56 32 362 322 ba ba  =4，∴q=2 或 q=-2(舍)， 又∵b3=a2=4，∴bn=b3·qn-3=4·2n-3=2n-1； (Ⅱ)由(I)可知，an·bn=(3n-2)·2n-1， ∴Tn=1·20+4·21+7·22+…+(3n-5)·2n-2+(3n-2)·2n-1， 2Tn=1·21+4·22+…+(3n-5)·2n-1+(3n-2)·2n， 错位相减得：-Tn=1+3(21+22+…+2n-1)-(3n-2)·2n =1+3·  12 1 2 12 n  -(3n-2)·2n =-5-(3n-5)·2n， ∴Tn=5+(3n-5)·2n. 19.某区工商局、消费者协会在 3 月 15 号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣 传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识.组织方从参加活动的群众中随机抽取 120 名群 众，按他们的年龄分组：第 1 组[20，30)，第 2 组[30，40)，第 3 组[40，50)，第 4 组[50， 60)，第 5 组[60，70]，得到的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)若电视台记者要从抽取的群众中选 1 人进行采访，求被采访人恰好在第 2 组或第 4 组的 概率； (Ⅱ)已知第 1 组群众中男性有 2 人，组织方要从第 1 组中随机抽取 3 名群众组成维权志愿者 服务队，求至少有两名女性的概率. 解析：(Ⅰ)设第 2 组[30，40)的频率为 f2，利用概率和为 1，求解即可. (Ⅱ)设第 1 组[30，40)的频数 n1，求出 n1，记第 1 组中的男性为 x1，x2，女性为 y1，y2，y3， y4 列出随机抽取 3 名群众的基本事件，列出至少有两名女性的基本事件，然后求解至少有两 名女性的概率. 答案：(Ⅰ)设第 2 组[30，40)的频率为 f2=1-(0.005+0.01+0.02+0.03)×10=0.35； 第 4 组的频率为 0.02×10=0.2. 所以被采访人恰好在第 2 组或第 4 组的概率为 P1=0.35+0.2=0.55. (Ⅱ)设第 1 组[30，40)的频数 n1，则 n1=120×0.005×10=6. 记第 1 组中的男性为 x1，x2，女性为 y1，y2，y3，y4. 随机抽取 3 名群众的基本事件是：(x1，x2，y1)，(x1，x2，y2)，(x1，x2，y3)，(x1，x2，y4)(x1， y2，y1)，(x1，y3，y2)，(x1，y1，y3)，(x1，y4，y1)，(x1，y2，y4)，(x1，y3，y4)，(x2，y2， y1)，(x2，y3，y2)，(x2，y1，y3)，(x2，y4，y1)，(x2，y2，y4)，(x2，y3，y4)，(y1，y2，y3)， (y1，y2，y4)，(y2，y3，y4)，(y1，y3，y4)共 20 种. 其中至少有两名女性的基本事件是：(x1，y2，y1)，(x1，y3，y2)，(x1，y1，y3)，(x1，y4，y1)， (x1，y2，y4)，(x1，y3，y4)，(x2，y2，y1)，(x2，y3，y2)，(x2，y1，y3)，(x2，y4，y1)，(x2， y2，y4)，(x2，y3，y4)，(y1，y2，y3)，(y1，y2，y4)，(y2，y3，y4)，(y1，y3，y4)共 16 种. 所以至少有两名女性的概率为 P2= 16 4 20 5 . 20.如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，底面△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4，AA1=6， 点 M 时 BB1 中点. (1)求证；平面 A1MC⊥平面 AA1C1C； (2)求点 A 到平面 A1MC 的距离. 解析：(1)以 B 为原点，BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，BB1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能证明平面 A1MC⊥平面 AA1C1C. (2)由 1AA =(0，0，6)，平面 A1MC 的法向量 n =(3，-3，4)，利用向量法能求出点 A 到平面 A1MC 的距离. 答案：(1)以 B 为原点，BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，BB1 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 由题意 A1(0，4，6)，M(0，0，3)，C(4，0，0)，A(0，4，0)， 1MA =(0，4，3)， MC =(4，0，-3)， 1AA =(0，0，6)， AC =(4，-4，0)， 设平面 A1MC 的法向量为 n=(x，y，z)， 则 1 430 430 nMAyz nMCxz    ， ， 取 x=3，得 n =(3，-3，4)， 设平面 AA1C1C 的法向量 m =(a，b，c)， 则 1· 60 · 440 m AAc m ACab    ， ， 取 a=1，得 =(1，1，0)，∴ m · =0，∴平面 A1MC⊥平面 AA1C1C. (2)∵ 1AA =(0，0，6)，平面 A1MC 的法向量 =(3，-3，4)， ∴点 A 到平面 A1MC 的距离：d= 1 24 12 34 1734 ||AA n n   . 21.已知函数 f(x)=lnx-(1+a)x2-x. (1)讨论 函数 f(x)的单调性； (2)当 a＜1 时，证明：对任意的 x∈(0，+∞)，有 f(x)＜- ln x x -(1+a)x2-a+1. 解析：(1)求出原函数的导函数，对 a 分类求解原函数的单调区间； (2)利用分析法证明，把要证的不等式转化为证明 +lnx-x≤0 成立，即证 ≤x-lnx. 令 g(x)= ，h(x)=x-lnx，由导数求出 g(x)的最大值和 h(x)的最小值，由 g(x)的最大值 小于 h(x)的最小值得答案. 答案：(1)由 f(x)=lnx-(1+a)x2-x，得 f′(x)=     22111 211 axxaxxx  (x＞0)， 当 a=-1 时，f′(x)= 1 x x  ， 当 x∈(0，1)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当 x∈(1，+∞)时，f′(x)＜0，f(x)为减函 数； 当 a≤- 9 8 时，-2(1+a)＞0，-2(1+a)x2-x+1≥0，即 f′(x)＞0，f(x)在(0，+∞)上为增函数； 当- ＜a＜-1 时，-2(1+a)＞0，二次方程-2(1+a)x2-x+1=0 有两根，0＜x1=   1 8 9 41 a a     ＜ x2=   189 41 a a   ， 当 x∈(0，x1)，x∈(x2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当 x∈(x1，x2)时，f′(x)＜0， f(x)为减函数； 当 a＞-1 时，-2(1+a)＜0，二次方程-2(1+a)x2-x+1=0 有两根，x1=   189 41 a a   ＜0，x2=   189 41 a a   ＞0， 当 x∈(0，x2)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当 x∈(x2，+∞)时，f′(x)＜0，f(x)为减函 数. (2)要证 f(x)＜- ln x x -(1+a)x2-a+1， 即证 lnx-(1+a)x2-x＜- -(1+a)x2-a+1，即 +lnx-x＜1-a， ∵a＜1，∴1-a＞0， 也就是证 +lnx-x≤0，即证 ≤x-lnx. 令 g(x)= ln x x ，则 g′(x)= 2 1 l n x x  ， 当 x∈(0，e)时，g′(x)＞0，g(x)为增函数， 当 x∈(e，+∞)时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，∴g(x)max=g(e)= 1 e ； 令 h(x)=x-lnx，h′(x)=1- 11x xx  ， 当 x∈(0，1)时，h′(x)＜0，h(x)为减函数， 当 x∈(1，+∞)时，h′(x)＞0，h(x)为增函数， ∴h(x)min=h(1)=1，∴ ≤x-lnx 成立， 故对任意的 x∈(0，+∞)，有 f(x)＜- -(1+a)x2-a+1. 22.选修 4-1：几何证明选讲 如图所示，已知 PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点 P 的割线交圆于 B、C 两点，弦 CD∥AP，AD、 BC 相交于点 E，F 为 CE 上一点，且 DE2=EF·EC. (1)求证：CE·EB=EF·EP； (2)若 CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求 PA 的长. 解析：(I)由已知可得△DEF∽△CED，得到∠EDF=∠C.由平行线的性质可得∠P=∠C，于是得 到∠EDF=∠P，再利用对顶角的性质即可证明△EDF∽△EPA.于是得到 EA·ED=EF·EP.利用 相交弦定理可得 EA·ED=CE·EB，进而证明结论； (II)利用(I)的结论可得 BP= 15 4 ，再利用切割线定理可得 PA2=PB·PC，即可得出 PA. 答案：(I)∵DE2=EF·EC，∠DEF 公用，∴△DEF∽△CED，∴∠EDF=∠C. 又∵弦 CD∥AP，∴∠P=∠C， ∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA ∴△EDF∽△EPA.∴ EAEP EFED ，∴EA·ED=EF·EP. 又∵EA·ED=CE·EB，∴CE·EB=EF·EP； (II)∵DE2=EF·EC，DE=3，EF=2.∴32=2EC，∴CE= 9 2 . ∵CE：BE=3：2，∴BE=3. 由(I)可知：CE·EB=EF·EP，∴ 9 2 ×3=2EP，解得 EP= 27 4 ， ∴BP=EP-EB= 27 4 ·3=15 4 . ∵PA 是⊙O 的切线，∴PA2=PB·PC，∴PA2= 15 4 ×( 27 4 + 9 2 )，解得 PA= 15 3 4 . 23.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程 1 2 3 2 2xt yt     ， (t 为参数)，以坐标原点为极 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为：ρ=4cosθ. (Ⅰ)直线 l 的参数方程化为极坐标方程； (Ⅱ)求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标(其中ρ≥0，0≤θ≤2π). 解析：(Ⅰ)消去参数 t，求出直线 l 的普通方程，由此能求出直线 l 的极坐标方程. (Ⅱ)求出曲线 C 的直角坐标方程，从而求出直线 l 与曲线 C 交点的直角坐标，由此能求出直 线 l 与曲线 C 交点的极坐标. 答案：(Ⅰ)∵直线 l 的参数方程 (t 为参数)， ∴消去参数 t，得直线 l 的普通方程为 3 x-y-2 =0， ∴直线 l 的极坐标方程为 ρcosθ-ρsinθ-2 =0. (Ⅱ)∵曲线 C 的极坐标方程为：ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-4x=0， 联立 22 23 40 3 0xy xyx    ， ， 得 x2-4x+3=0，解得 x1=1，x2=3， ∴直线 l 与曲线 C 交点的直角坐标为(1，- )，(3， )， ∴直线 l 与曲线 C 交点的极坐标为(2， 5 3  )，(2 ， 6  ). 24.已知关于 x 的不等式|2x-1|-|x-1|≤a. (Ⅰ)当 a=3 时，求不等式的解集； (Ⅱ)若不等式有解，求实数 a 的取值范围. 解析：(Ⅰ)当 a=3 时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等 式组的解集，再取并集，即得所求. (Ⅱ)若不等式有解，则 a 大于或等于 f(x)=|2x-1|-|x-1|的最小值，利用单调性求的 f(x) 的最小值，从而求得 a 的范围. 答案：(Ⅰ)当 a=3 时，关于 x 的不等式即|2x-1|-|x-1|≤3， 故有   1 2 1 2 , 1 3 x xx       ＜ ， ① 或   1 2 1 1 1 2 3 x xx        ， ② ， 或   1 2 1 1 3 x xx      ＞ ， ③． 解①求得-3≤x＜ 1 2 ，解②求得 ≤x≤1，解③求得 1＜x≤3. 综上可得，不等式的解集为[-3，3]. (Ⅱ)若不等式有解，则 a 大于或等于 f(x)=|2x-1|-|x-1|的最小值. 由 f(x)= 1 32 1 2 1 2 1 xx xx xx         ， ＜ ， ， ， ， ＞ ， 可得函数 f(x)的最小值为 f( 1 2 )=- ，故 a≥- .