2019届二轮复习复数＆向量学案（全国通用）

2019届二轮复习复数＆向量学案（全国通用）

‎2018二模汇编高考最后冲刺讲义——复数 向量 一、 考纲解读 内容 要求 记忆水平 解释性理解水平 探究性理解水平 一 ‎、‎ 复数初步 数的概念 的扩展 知道数集扩展的意义和基本原理 复数的概念 理解复数及有关概念 复平面 建立复平面，用复平面上的点表示复数 掌握复数的向量表示、复数的模、共轭复数等概念；具有数形结合的思想方法；会用复数关系式描述复平面上简单的几何图形 复数的 四则运算 ‎ 理解复数加、减法的几何意义 掌握复数的四则运算及其运算性质。会用复数方程表示平面区域和线段的垂直平分线、圆等，并用来解决简单的问题 实系数 一元二次 方程的解 ‎ 会解决负数开平方的问题。会在复数集内解实系数一元二次方程，掌握实系数一元二次方程的解的特征 一 ‎、‎ 平面向量的坐标表示 平面向量 的数量积 掌握向量的数量积运算 及其性质 平面向量 分解定理 理解平面向量分解定理 向量的 坐标表示 ‎ 掌握平面直角坐标系中的向量的坐标表示 向量运算的 坐标表示 掌握平面向量运算的坐标表示 向量平行及 向量垂直的 坐标关系 ‎ 会利用坐标讨论两个向量平行或垂直的条件 向量的 度量计算 会求向量的长度以及两个向量的夹角。初步懂得运用向量方法进行简单的几何证明（如：三角形的中位线定理，等腰三角形的性质定理）和计算，并能用于解决一些简单的平面几何问题 二、第三轮知识梳理 ‎1、复数问题实数化时，设复数，不要忘记条件.两复数，，的条件是.这是复数求值的主要依据.根据条件，求复数的值经常作实数化处理.‎ ‎［举例 若复数满足：，则＿＿＿＿＿.‎ 分析：设，原式化为，得，求得.‎ ‎2、实系数一元二次方程若存在虚根，则此两虚根互为共轭.若虚系数一元二次方程存在实根不能用判别式判断.‎ ‎［举例 若方程的两根满足，求实数的值.‎ 分析：在复数范围内不一定成立，但一定成立.对于二次方程，韦达定理在复数范围内是成立的.，，则或，所以或.‎ ‎3、的几何意义是复平面上对应点之间的距离，的几何意义是复平面上以对应点为圆心，为半径的圆.‎ ‎［举例 若表示的动点的轨迹是椭圆，则的取值范围是＿＿＿.‎ 分析：首先要理解数学符号的意义：表示复数对应的动点到复数与对应的两定点之间的距离之和等于4.而根据椭圆的定义知，两定点之间的距离要小于定值4，所以有，而此式又表示对应的点在以对应点为圆心，4为半径的圆内，由模的几何意义知.‎ ‎4、对于复数，有下列常见性质：（1）为实数的充要条件是；（2）为纯虚数的充要条件是且；（3）；（4）.‎ ‎［举例 设复数满足：（1）（2），求复数.‎ 分析：由则或.当时，则，由得或（舍去）；当时，可求得.综上知：.‎ ‎5、向量加法的几何意义：起点相同时适用平行四边形法则（对角线），首尾相接适用“蛇形法则”，‎ 表示△ABC的边BC的中线向量.向量减法的几何意义：起点相同适用三角形法则，（终点连结而成的向量，指向被减向量），表示A、B两点间的距离；以、为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量+、（或）.‎ ‎［举例 已知非零向量满足：，则向量的关系是――――（　　）‎ A、平行；　　　　　　B、垂直；　　　　　　C、同向；　　　　　　D、反向.‎ 分析：注意到向量运算的几何意义：与表示以和为一组邻边的平行四边形的两对角线的长.我们知道：对角线相等的平行四边形是矩形，从而有.选B.‎ 另一方面，本例也可以利用向量的运算来进行求解.，化简得：，有.‎ ‎6、理解单位向量、平行向量、垂直向量的意义.与非零向量同向的单位向量，反向的单位向量.‎ ‎［举例 已知△ABC，点P满足则点P的轨迹是（　　）‎ A、BC边上的高所在直线；　　　　　　　　　B、BC边上的中线所在直线；‎ C、平分线所在直线；　　　　　　　　　　D、BC边上中垂线所在直线.‎ 分析：这是一道很“漂亮”的与向量相关的问题.，它涵盖了单位向量、向量加法的意义、数与向量乘积的概念等.注意到分别是上的单位向量，则是以上的单位向量为邻边的菱形的对角线上的向量，所以所在直线是平分线所在直线，则P点的轨迹是平分线所在直线.选C.‎ ‎7、两向量所成的角指的是两向量方向所成的角.两向量数量积；其中可视为向量在向量上的射影.‎ A B C ‎［举例1 已知△ABC是等腰直角三角形，＝90°，AC＝BC＝2，则＝＿＿；‎ 分析：特别注意的是，向量与的夹角不是△ABC的内角B， 与的夹角 A B C D P 是的外角.（如图）由，则，‎ 则.‎ ‎［举例2 P是△ABC边BC的中线AD上异于A、D的动点，‎ AD＝4，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿.‎ 分析：由D是BC的中点知，与反向，它们所成角为.设，则.那么.所以其取值范围为.‎ ‎8、向量运算中特别注意的应用.研究向量的模常常先转化为模平方再进行向量运算.‎ ‎［举例 已知，且的夹角为，又，求.‎ 分析：，则，由题知，所以.‎ 注意：有关向量的运算也可以利用数形结合的方法来求解，本例就可以由作图得解.请同学们自己完成.‎ ‎9、向量的坐标运算是高考中的热点内容，要熟练掌握.已知 则.若，‎ 则－，其坐标形式中是向量的终点坐标减去起点坐标.‎ 请注意：向量的坐标形式实质上是其分解形式的“简记”.其中分别表示与轴、轴正方向同向的单位向量.与向量坐标运算最重要的两个结论：若向量是非零向量则有：；.‎ ‎［举例 设O是直角坐标原点，，在轴上求一点P，使最小，并求此时的大小.‎ 分析：设，则则=‎ ‎，所以当时，的最小值为此时，，‎ 所夹角等于，所以.所以.‎ ‎10、利用向量求角时，要注意范围.两向量所成角的范围是.特别注意不能等同于所成角是锐角.当同向时也满足.‎ ‎［举例1 已知△ABC，则“”是“△ABC为钝角三角形”的――――（　　）‎ A、充分不必要条件；　　　　　　　　　　B、必要不充分条件；‎ C、充分必要条件；　　　　　　　　　　　D、既不充分又不必要条件.‎ 分析：对于△ABC，由可知是钝角，但△ABC为钝角三角形，不一定A是钝角.选A.‎ ‎［举例2 是过抛物线焦点的直线，它与抛物线交于A、B两点，O是坐标原点，则△ABO是――――――――――――――――――――――――――（　　）‎ A、锐角三角形；　　B、直角三角形；　　C、钝角三角形；　　D、不确定与P值有关.‎ 分析：由直线过焦点，设其方程为，联立得：，‎ 即：，设，则，又=‎ ‎.则，则一定是钝角.选C.‎ ‎11、关注向量运算与其它知识的联系，与三角函数综合是高考中的常见题型.‎ ‎［举例 已知向量.设.‎ ‎（1）若且，求的值；‎ ‎（2）若函数的图像按向量平移后得到函数的图像，求实数的值.‎ 分析：‎ ‎（1）由题知：，由题：，又，所以.‎ ‎（2）函数是由函数向左平移，再向上平移1个单位而得，所以.‎ 三、2018二模汇编 四、近年高考真题 ‎1、填空题 ‎（2010年春季高考3）计算： .（为虚数单位）‎ 答案：‎ ‎（2010年高考理 2文 4）若复数（为虚数单位），则 .‎ 答案：‎ ‎（2010年高考文 13）.在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点，若（、），则、满足的一个等式是 。‎ 答案：‎ ‎（2010年高考理 13）如图所示，直线与双曲线的渐近线交于、两点，记，，任取双曲线上的点P，若，则a、b满足的一个等式是________．‎ x O y E1‎ E2‎ 答案：‎ ‎（2011年高考文 12理 11）在正三角形中，是边上的点，若，则 ‎= ‎ 答案：‎ ‎（2011年春季高考14）为求解方程的虚根，可以把原方程变形为 ‎，再变形为，‎ 由此可得原方程的一个虚根为 .‎ 答案：，中的一个．‎ ‎（2012年春季高考4）若复数 满足（为虚数单位），则__________.‎ ‎ 答案：‎ ‎（2012年高考理 1文 1）计算： .（为虚数单位）‎ 答案：‎ ‎（2012年高考文 4）若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）‎ 答案：‎ ‎（2012年高考理 4）若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。‎ 答案：‎ ‎(2012年高考文 12)在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 ‎ 答案： ‎ ‎(2012年高考理 12)在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 ‎ 答案： ‎ ‎ （2013年春季高考7）复数（是虚数单位）的模是 .‎ ‎ 答案：‎ ‎（2013年高考理 2文 3）设，是纯虚数，其中是虚数单位，‎ 则 ．‎ 答案：‎ ‎（2013年高考文 14）已知正方形的边长为1．记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、．若且，则的最小值是 ．‎ 答案：‎ ‎（2014年高考文理 2）若复数，其中是虚数单位，则 ．‎ 答案：‎ ‎（2014年高考文理14）已知曲线，直线．若对于点，存在上的点和上的使得，则的取值范围为 ．‎ 答案： ‎ ‎（2015年高考文理2）若复数满足，其中为虚数单位，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎（2015年高考文13）已知平面向量满足，且，则的最大值 为___________.‎ 分析：首先考查了集合元素的互异性，可能很多同学会填9；解决本题的最好方法就是数形结合，因为已知和之间的关系，在通过向量平行且同向时相加模最大，就能够很容易解决本题目。‎ 答案：‎ ‎（2015年高考理14）在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得：，又,因为DEAF四点共圆，因此 ‎【考点定位】向量数量积，解三角形 ‎（2016年高考理 2）设，期中为虚数单位，则=__________‎ ‎【答案】‎ ‎（2016年高考理 14）如图，在平面直角坐标系中，O为正八边形 的中心，.任取不同的两点，点P满足，则点P 落在第一象限的概率是__________‎ ‎【答案】‎ ‎（2017年高考5）已知复数满足，则 ‎ ‎【答案】‎ ‎2、选择题 ‎（2011年高考文 18）设是平面上给定的4个不同点，则使成立的点的个数为（ ）‎ ‎（A） （B）1 （C）2 （D）4‎ 答案：B ‎（2011年高考理 17）设是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点的个数为（ ）‎ ‎ A．0 B．1 C．5 D．10 ‎ 答案：B ‎（2013年高考理 18）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值，其中,,则满足（ ）. ‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 答案：作图知，只有，其余均有，故选D．‎ ‎（2014年高考文 16理 11）．已知互异的复数满足，集合，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 答案：‎ ‎（2014年高考文 17）如图，四个边长为的小正方体排成一个大正方形，是 ‎ 大正方形的一条边，是小正方形的其余顶点，‎ ‎ 则的不同值的个数为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 答案：‎ ‎（2014年高考理 16）如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是 ‎ 一条侧棱，是上底面上其余的八个点，‎ ‎ 则的不同值的个数为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 答案：‎ ‎（2015年高考文理 15）设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（ ）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎【答案】B ‎3、解答题 ‎（2009年高考文 19）‎ 已知复数（a、b）(是虚数单位)是方程的根。复数满足，求 u 的取值范围.‎ ‎ 解析：原方程的根为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2010年高考文 23）‎ 已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点.‎ ‎（1）若点满足，求点的坐标；‎ ‎（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；‎ ‎（3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆的两个交点、满足？令，，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标.‎ 答案：(1) ； (2) 由方程组，消y得方程， 因为直线交椭圆于、两点， 所以D>0，即， 设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)， 则， 由方程组，消y得方程( 2- 1)x=p， 又因为，所以， 故E为CD的中点； ‎ ‎(3) 因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率 2，由知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率，从而得直线l的方程． ，直线OF的斜率，直线l的斜率， 解方程组，消y：x2-2x-48=0，解得P1(-6,-4)、P2(8,3)．‎ ‎（2011年高考理 19文 19）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求.‎ 解析： ‎ ‎ 设，则，‎ ‎ ∵ ，∴ .‎ ‎（2012年高考理 23）对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质．例如具有性质．‎ ‎（1）若，且具有性质，求的值；‎ ‎（2）若具有性质，求证：，且当时，；‎ ‎（3）若具有性质，且、（为常数），求有穷数列的通项公式。‎ 解：（1）选取，中与垂直的元素必有形式.所以,从而. ‎ ‎ （2）证明：取.设满足.‎ ‎ 由得，所以异号.‎ ‎ 因为是中唯一的负数，所以中之一为，另一为，故.‎ 假设，其中，则 选取，并设满足，即，‎ 则异号，从而之中恰有一个为.‎ 若，则，矛盾；‎ 若，则，矛盾；‎ 所以.‎ ‎（3）设，则等价于.记，‎ 则数集具有性质当且仅当数集关于原点对称.‎ 注意到是中的唯一负数，共有个数，‎ 所以也只有个数.由于，已有个数，‎ 对以下三角数阵: ‎ ‎ 注意到，所以，从而数列的通项公式为 ‎ ‎