数学卷·2018届江苏省南通市启东中学高二上学期10月月考数学试卷（解析版）

数学卷·2018届江苏省南通市启东中学高二上学期10月月考数学试卷（解析版）

‎2016-2017学年江苏省南通市启东中学高二（上）10月月考数学试卷 ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．‎ ‎1．命题：∀x∈R，sinx＜1的否定是　　．‎ ‎2．椭圆+=1的焦点坐标为　　．‎ ‎3．圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣1）2+（y+1）2=4有　　条公切线．‎ ‎4．“p∧q为假”是“p∨q为假”的　　条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个）‎ ‎5．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的　　命题．‎ ‎6．若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相离，则m取值范围是　　．‎ ‎7．已知圆C：x2+y2=1，点A（﹣2，0）及点B（2，a），若从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是　　．‎ ‎8．椭圆的离心率为，则m=　　．‎ ‎9．过点M（1，1）且与椭圆+=1交于A，B两点，则被点M平分的弦所在的直线方程为　　．‎ ‎10．已知点P是椭圆+=1（a＞b＞0）上的动点，F1，F2为椭圆的左右焦点，焦距为2c，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且MF1⊥MP，则OM的取值范围为　　．‎ ‎11．若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是　　．‎ ‎12．设F是椭圆+=1的右焦点，点A（1，2），M是椭圆上一动点，则MA+MF取值范围为　　．‎ ‎13．已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1•k2的值为　　．‎ ‎14．椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，AF⊥BF，∠ABF=a，a∈[，]，则椭圆的离心率的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．已知命题p：实数m满足m2﹣7ma+12a2＜0（a＞0），命题q：满足方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎16．设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．‎ ‎17．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）‎ ‎（Ⅰ）证明：无论m取什么实数，l与圆恒交于两点；‎ ‎（Ⅱ）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．‎ ‎18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x=3上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为5，圆弧C2过点A（﹣1，0）．‎ ‎（1）求圆弧C2的方程；‎ ‎（2）曲线C上是否存在点P，满足PA=PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．‎ ‎19．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M（1，），N（﹣，）两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）在椭圆上是否存在点P（x，y）到定点A（a，0）（其中0＜a＜3）的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及点P的坐标；若不存在，请给予证明．‎ ‎20．已知平面直角坐标系xOy中，已知椭圆=1（a＞0，b＞0）的右顶点和上顶点分别为A，B，椭圆的离心率为，且过点（1，）．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）如图，若直线l与该椭圆交于点P，Q两点，直线BQ，AP的斜率互为相反数．‎ ‎①求证：直线l的斜率为定值；‎ ‎②若点P在第一象限，设△ABP与△ABQ的面积分别为S1，S2，求的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江苏省南通市启东中学高二（上）10月月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．‎ ‎1．命题：∀x∈R，sinx＜1的否定是　∃x∈R，sinx≥1　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：∀x∈R，sinx＜1的否定是：∃x∈R，sinx≥1．‎ 故答案为：∃x∈R，sinx≥1．‎ ‎　‎ ‎2．椭圆+=1的焦点坐标为　（0，﹣1），（0，1）　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆的方程求得半焦距c的值，根据椭圆的性质即可求得椭圆的焦点坐标．‎ ‎【解答】解：由椭圆的性质可知焦点在y轴上，c===1，‎ ‎∴椭圆的焦点坐标为（0，﹣1），（0，1），‎ 故答案为：（0，﹣1），（0，1），．‎ ‎　‎ ‎3．圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣1）2+（y+1）2=4有　2　条公切线．‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】根据两圆的方程的标准形式，分别求出圆心和半径，两圆的圆心距小于两圆的半径之和，大于半径之差，故两圆相交，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：圆C1：x2+y2=1，圆心C1（0，0），半径为1，‎ ‎ 圆C2：（x﹣1）2+（y+1）2=4，圆心C2（1，﹣1），半径 为2，‎ 两圆的圆心距为，正好小于两圆的半径之和，大于半径之差，故两圆相交，故两圆的公切线只有二条，‎ 故答案为2．‎ ‎　‎ ‎4．“p∧q为假”是“p∨q为假”的　必要不充分　条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个）‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复合命题之间的关系进行判断即可．‎ ‎【解答】解：若“p∨q为假”则p，q同时为假命题，‎ 若““p∧q为假”则p，q至少有一个为假命题，‎ p∧q为假”是“p∨q为假”的必要不充分，‎ 故答案为：必要不充分 ‎　‎ ‎5．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的　否　命题．‎ ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】设命题p为：若m，则n．根据已知写出命题r，s，t，结合四种命题的定义，可得答案．‎ ‎【解答】解：设命题p为：若m，则n．‎ 那么命题r：若￢m，则￢n，‎ 命题s：若￢n，则￢m．‎ 命题t：若n，则m．‎ 根据命题的关系，s是t的否命题．‎ 故答案为：否 ‎　‎ ‎6．若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相离，则m取值范围是　m＞2　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】根据直线与圆相离得到圆心到直线的距离d大于r，利用点到直线的距离公式列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可确定出m的范围．‎ ‎【解答】解：∵x+y+m=0与圆x2+y2=m相离，‎ ‎∴圆心到直线的距离d＞r，即＞，‎ 解得：m＞2，‎ 故答案为：m＞2．‎ ‎　‎ ‎7．已知圆C：x2+y2=1，点A（﹣2，0）及点B（2，a），若从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是　a＞或a．‎ ‎　．‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】先求过A与圆C：x2+y2=1相切的直线方程，再求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：过A与圆C：x2+y2=1相切的直线的斜率是，切线方程是y=（x+2），‎ 若从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，B在x=2的直线上，且a＞或a．‎ 故选A＞或a．‎ ‎　‎ ‎8．椭圆的离心率为，则m=　3或　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】方程中4和m哪个大，哪个就是a2，利用离心率的定义，分0＜m＜4和m＞4两种情况求出m的值．‎ ‎【解答】解：方程中4和m哪个大，哪个就是a2，‎ ‎（ⅰ）若0＜m＜4，则a2=4，b2=m，‎ ‎∴c=，∴e==，得 m=3； ‎ ‎（ⅱ）m＞4，则b2=4，a2=m，‎ ‎∴c=，∴e==，得 m=；‎ 综上：m=3或m=，‎ 故答案为：3或．‎ ‎　‎ ‎9．过点M（1，1）且与椭圆+=1交于A，B两点，则被点M平分的弦所在的直线方程为　x+4y﹣5=0　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设过M点的直线与椭圆两交点的坐标，分别代入椭圆方程，得到两个关系式，分别记作①和②，①﹣②后化简得到一个关系式，然后根据M为弦AB的中点，由中点坐标公式，表示出直线AB方程的斜率，把化简得到的关系式变形，将A和B两点的横纵坐标之和代入即可求出斜率的值，然后由点M的坐标和求出的斜率写出直线AB的方程即可．‎ ‎【解答】解：设过点M的直线与椭圆相交于两点，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则有+=1①，+=1②，‎ ‎①﹣②式可得： +=0，‎ 又点M为弦AB的中点，且M（1，1），由+＜1，可得M在椭圆内，‎ ‎∴x1+x2=2，y1+y2=2，‎ 即得kAB==﹣，‎ ‎∴过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y﹣1=﹣（x﹣1），即x+4y﹣5=0．‎ 故答案为：x+4y﹣5=0．‎ ‎　‎ ‎10．已知点P是椭圆+=1（a＞b＞0）上的动点，F1，F2为椭圆的左右焦点，焦距为2c，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且MF1⊥MP，则OM的取值范围为　（0，c）　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用M是∠F1PF2平分线上的一点，且F1M⊥MP，判断OM是三角形F1F2N的中位线，把OM用PF1，PF2表示，再利用椭圆的焦半径公式，转化为用椭圆上点的横坐标表示，借助椭圆的范围即可求出OM的范围．‎ ‎【解答】解：如图，延长PF2，F1M，交与N点，∵PM是∠F1PF2平分线，且F1M⊥MP，‎ ‎∴|PN|=|PF1|，M为F1N中点，‎ 连接OM，∵O为F1F2中点，M为F1N中点 ‎∴|OM|=|F2N|=||PN|﹣|PF2||=||PF1|﹣|PF2||‎ ‎∵在椭圆+=1（a＞b＞0）中，设P点坐标为（x0，y0）‎ 则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a﹣ex0，‎ ‎∴||PF1|﹣|PF2||=|a+ex0﹣a+ex0|=|2ex0|=2e|x0|‎ ‎∵P点在椭圆+=1（a＞b＞0）上，‎ ‎∴|x0|∈（0，a]，‎ 又∵当|x0|=a时，F1M⊥MP不成立，∴|x0|∈（0，a）‎ ‎∴|OM|∈（0，c）．‎ 故答案为：（0，c）．‎ ‎　‎ ‎11．若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是　﹣1＜b≤1或b=﹣　．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】直线y=x+b是一条斜率为1，截距为b的直线；曲线x=是一个圆心为（0，0），半径为1的右半圆．它们有且有一个公共点，做出它们的图形，则易得b的取值范围．‎ ‎【解答】解：直线y=x+b是一条斜率为1，截距为b的直线；‎ 曲线x=变形为x2+y2=1且x≥0‎ 显然是一个圆心为（0，0），半径为1的右半圆．‎ 根据题意，直线y=x+b与曲线x=有且有一个公共点 做出它们的图形，则易得b的取值范围是：﹣1＜b≤1或b=﹣．‎ 故答案为：﹣1＜b≤1或b=﹣．‎ ‎　‎ ‎12．设F是椭圆+=1的右焦点，点A（1，2），M是椭圆上一动点，则MA+MF取值范围为　（6﹣2，6+2）　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】椭圆左焦点设为F1，连接MF1．利用椭圆的定义以及在三角形中，两边之差总小于第三边，当A、M、F1成一直线时，|MA|﹣|MF1|最大，求解即可．利用|MA|+|MF2|=|MA|+6﹣|MF1|=10﹣（|MF1|﹣|MA|）≥6﹣|AF1|，即可得出其最小值．‎ ‎【解答】解：由椭圆+=1的焦点在x轴上，a=3，b=2，c=1，‎ 左焦点为F1（﹣1，0），连接MF1．‎ 由椭圆的定义可知：|MF1|+|MF|=2a，‎ ‎|MA|+|MF|=|MA|+2a﹣|MF1|=6+|MA|﹣|MF1|．‎ 即|MA|﹣|MF1|最大时，|MA|+|MF2|最大．‎ 在△AMF1中，两边之差总小于第三边，所以当A、M、F1成一直线时，|MA|﹣|MF1|最大，‎ ‎|MA|﹣|MF1|=|AF1|==2．‎ ‎∴|MA|+|MF2|的最大值是6+2．‎ ‎∴|MA|+|MF2|=|MA|+6﹣|MF1|=6﹣（|MF1|﹣|MA|）≥10﹣|AF1|=6﹣2，‎ ‎∴|MA|+|MF|的取值范围（6﹣2，6+2），‎ 故答案为：（6﹣2，6+2）．‎ ‎　‎ ‎13．已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1•k2的值为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；直线的斜率．‎ ‎【分析】椭圆的离心率是，则椭圆的方程可化为：x2+2y2=2b2．设M（m，n），直线AB的方程为：y=kx，可设：A（x0，kx0），B（﹣x0，﹣kx0）．代入椭圆方程和利用斜率计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵椭圆的离心率是，∴，∴，‎ 于是椭圆的方程可化为：x2+2y2=2b2．‎ 设M（m，n），直线AB的方程为：y=kx，可设：A（x0，kx0），B（﹣x0，﹣kx0）．‎ 则m2+2n2=2b2，，‎ ‎∴=．‎ ‎∴k1•k2===．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎14．椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，AF⊥BF，∠ABF=a，a∈[，]，则椭圆的离心率的取值范围为　[，]　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．‎ ‎【解答】解：∵B和A关于原点对称 ‎∴B也在椭圆上 设左焦点为F′‎ 根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a 又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …①‎ O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c 又|AF|=2csinα …②‎ ‎|BF|=2ccosα …③‎ ‎②③代入①2csinα+2ccosα=2a ‎∴=‎ 即e==‎ ‎∵a∈[，]，‎ ‎∴≤α+π/4≤‎ ‎∴≤sin（α+）≤1‎ ‎∴≤e≤‎ 故答案为[，]‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．已知命题p：实数m满足m2﹣7ma+12a2＜0（a＞0），命题q：满足方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据命题p、q分别求出m的范围，再根据p是q的充分不必要条件列出关于a的不等式组，解不等式组即可 ‎【解答】解：由m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），则3a＜m＜4a 即命题p：3a＜m＜4a，‎ 实数m满足方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，‎ 则，‎ 即，解得1＜m＜，‎ 因为￢p是￢q的必要而不充分条件，所以p是q的充分不必要条件，‎ 则，‎ 解得≤a≤，‎ 故实数a的取值范围为：[，]．‎ ‎　‎ ‎16．设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】先根据指数函数的单调性，对数函数的定义域，以及一元二次不等式解的情况和判别式△的关系求出命题p，q下的a的取值范围，再根据p∨q为真，p∧q为假得到p，q一真一假，所以分别求出p真q假，p假q真时的a的取值范围并求并集即可．‎ ‎【解答】解：命题p：|x﹣1|≥0，∴，∴a＞1；‎ 命题q：不等式的解集为R，∴，解得；‎ 若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；‎ p真q假时，，解得a≥8；‎ p假q真时，，解得；‎ ‎∴实数a的取值范围为：．‎ ‎　‎ ‎17．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）‎ ‎（Ⅰ）证明：无论m取什么实数，l与圆恒交于两点；‎ ‎（Ⅱ）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求得所给的直线经过x+y﹣4=0 和2x+y﹣7=0的交点M（3，1），而点M在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的内部，从而得到l与圆恒交于两点．‎ ‎（Ⅱ）弦长最小时，MC和弦垂直，再利用点斜式求得弦所在的直线的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，即 x+y﹣4+m（2x+y﹣7）=0，‎ 恒经过直线x+y﹣4=0 和2x+y﹣7=0的交点M（3，1），‎ 而点M到圆心C（1，2）的距离为MC==＜半径5，‎ 故点M在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的内部，故l与圆恒交于两点．‎ ‎（Ⅱ）弦长最小时，MC和弦垂直，故弦所在的直线l的斜率为==2，‎ 故直线l的方程为y﹣1=2（x﹣3），即 2x﹣y﹣5=0．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x=3上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为5，圆弧C2过点A（﹣1，0）．‎ ‎（1）求圆弧C2的方程；‎ ‎（2）曲线C上是否存在点P，满足PA=PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）由圆弧C1所在圆的方程求出M、N的坐标，求出直线AM的中垂线方程与直线MN中垂线方程，再求出圆弧C2所在圆的圆心和半径，即可求出圆弧C2所在圆的方程；‎ ‎（2）先假设存在这样的点P（x，y），根据条件和两点的距离公式列出方程化简，求出点P的轨迹方程，分别与圆弧C1的方程、圆弧C2的方程联立后求出P的坐标即可得到答案．‎ ‎【解答】解：（1）圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=25，‎ 令x=3，解得M（3，4），N（3，﹣4），‎ ‎∵圆弧C2过点A（﹣1，0），‎ ‎∴直线AM的中垂线方程为y﹣2=﹣（x﹣1），‎ ‎∵直线MN的中垂线方程y=0上，‎ ‎∴令y=0，得圆弧C2所在圆的圆心为O2（3，0），‎ ‎∴圆弧C2所在圆的半径为r2=|O2A|=4，‎ ‎∴圆弧C2的方程为（x﹣3）2+y2=16（﹣1≤x≤3）；‎ ‎（2）假设存在这样的点P（x，y），‎ 由得，，‎ 化简得，x2+y2+4x+2=0，‎ ‎∴点P的轨迹方程是x2+y2+4x+2=0，‎ 由，‎ 解得（舍去），‎ 由，‎ 解得，‎ 综上知的，这样的点P存在2个．‎ ‎　‎ ‎19．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M（1，），N（﹣，）两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）在椭圆上是否存在点P（x，y）到定点A（a，0）（其中0＜a＜3）的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及点P的坐标；若不存在，请给予证明．‎ ‎【考点】椭圆的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，且m≠n），由椭圆过M，N两点得，求出m，n后就得到椭圆的方程．‎ ‎（2）设存在点P（x，y）满足题设条件，由+=1，得y2=4（1﹣），结合题设条件能够推导出|AP|2=（x﹣a）2+4﹣a2（|x|≤3），由此可以求出a的值及点P的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，且m≠n）‎ ‎∵椭圆过M，N两点 ‎∴⇒，即椭圆方程为+=1．‎ ‎（2）设存在点P（x，y）满足题设条件，由+=1，得y2=4（1﹣）‎ ‎∴|AP|2=（x﹣a）2+y2=（x﹣a）2+4（1﹣）=（x﹣a）2+4﹣a2（|x|≤3），‎ 当||≤3即0＜a≤时，|AP|2的最小值为4﹣a2‎ ‎∴4﹣a2=1⇒a=±∉（0，]‎ ‎∴a＞3即＜a＜3，此时当x=3时，|AP|2的最小值为（3﹣a）2‎ ‎∴（3﹣a）2=1，即a=2，此时点P的坐标是（3，0）‎ 故当a=2时，存在这样的点P满足条件，P点的坐标是（3，0）．‎ ‎　‎ ‎20．已知平面直角坐标系xOy中，已知椭圆=1（a＞0，b＞0）的右顶点和上顶点分别为A，B，椭圆的离心率为，且过点（1，）．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）如图，若直线l与该椭圆交于点P，Q两点，直线BQ，AP的斜率互为相反数．‎ ‎①求证：直线l的斜率为定值；‎ ‎②若点P在第一象限，设△ABP与△ABQ的面积分别为S1，S2，求的最大值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）通过将点（1，）代入椭圆方程，结合离心率为计算即得结论；‎ ‎（2）通过（1）可知A（2，0）、B（0，1）．①通过设直线AP的方程为x=my+2、直线BQ的方程为x=﹣my+m，分别与椭圆方程联立，计算可知P（，﹣）、Q（，），利用斜率计算公式计算即可；②通过（1）可知直线AB的方程为x+2y﹣2=0，|AB|=，通过①可知P（，﹣）、Q（，），利用点P在第一象限可知﹣2＜m＜0，分别计算出点P、Q到直线AB的距离，利用三角形面积公式计算、结合基本不等式化简即得结论．‎ ‎【解答】（1）解：依题意，，‎ 化简得：，‎ 解得：，‎ ‎∴椭圆的标准方程为：；‎ ‎（2）由（1）可知，A（2，0），B（0，1），直线BQ，AP的斜率均存在且不为0．‎ ‎①证明：设直线AP的方程为：x=my+2，则直线BQ的方程为：x=﹣my+m，‎ 联立，消去x整理得：（4+m2）y2+4my=0，‎ ‎∴P（，﹣），‎ 联立，消去x整理得：（4+m2）y2﹣2m2y+m2﹣4=0，‎ ‎∴Q（，），‎ ‎∴直线l的斜率为==；‎ ‎②解：由（1）可知直线AB的方程为：x+2y﹣2=0，|AB|==，‎ 由①可知：P（，﹣），Q（，），‎ ‎∵点P在第一象限，‎ ‎∴＜﹣，即﹣2＜m＜0，‎ ‎∴点P到直线AB的距离dP==﹣，‎ 点Q到直线AB的距离dQ==，‎ ‎∴=== [（m﹣4）++10]，‎ ‎∵（4﹣m）+≥2=4，当且仅当4﹣m=即m=4﹣2时取等号，‎ ‎∴（m﹣4）+≤﹣4，‎ ‎∴的最大值为（10﹣4）=5﹣2．‎ ‎　‎