高中数学探究性试题经典汇编（50题）--数列与不等式

高中数学探究性试题经典汇编（50题）--数列与不等式

高中数学探究性试题汇编 课堂教学改革的目的，一是要打破传统教学束缚学生手脚的陈旧做法；二是要遵循现代教育以人为本的的观念，给学生发展以最大的空间；三是能根据教材提供的基本知识，把培养学生创新精神和实践能力作为教学的重点。数学探究性学习是以学生探究为基本牲的一种教学活动形式。具体是指在教师的启发诱导下，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以学生已有知识经验和生活经验为基础，以现行教材为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的一种教学活动形式。它可使学生学会学习和掌握科学方法，为学生终身学习和发展奠定基础。‎ 探究性试题有助于数学思维的提高。‎ ‎1．已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立。‎ ‎ （Ⅰ）函数是否属于集合？说明理由；‎ ‎ （Ⅱ）设函数，求的取值范围；‎ ‎ （Ⅲ）设函数图象与函数的图象有交点，证明：函数。‎ 解：（Ⅰ）若，在定义域内存在，则，‎ ‎ ∵方程无解，∴。‎ ‎ （Ⅱ），‎ ‎ 时，；时，由，得。‎ ‎ ∴。 ‎ ‎ （Ⅲ）∵‎ ‎，‎ 又∵函数图象与函数的图象有交点，设交点的横坐标为，‎ 则，其中。‎ ‎∴，即。‎ ‎2．已知是定义在上的恒不为零的函数，且对于任意的、都满足：‎ ‎（1）求的值，并证明对任意的，都有；‎ ‎（2）设当时，都有，证明在上是减函数；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求集合中的最大元素和最小元素。‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ （2）∵当时，都有…………6分 ‎ ∴当，即时，有，‎ ‎ 即 ‎ ‎∴在上是减函数。‎ ‎（3）∵在上是减函数，{}是递增数列∴数列是递减数列。‎ ‎∴集合中的最大元素为，最小元素为 。‎ ‎3．已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足，‎ ‎ （1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）通过构造一个新的数列，是否存在一个非零常数，使也为等差数列；‎ ‎ （3）求的最大值。‎ ‎ 解：（1）∵等差数列中，公差，‎ ‎∴。‎ ‎ （2），，令，即得，‎ ‎ 数列为等差数列，∴存在一个非零常数，使也为等差数列。‎ ‎ （3），‎ ‎ ∵，‎ 即， ∴时，有最大值。‎ ‎4．已知数列中，且点在直线上.‎ ‎ （1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）若函数求函数 的最小值；‎ ‎ （3）设表示数列的前项和。试问：是否存在关于的整式，使得 对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。‎ ‎5．设函数，函数，其中为常数且，令函数为函数和 的积函数。‎ ‎ （1）求函数的表达式，并求其定义域；‎ ‎ （2）当时，求函数的值域；‎ ‎ （3）是否存在自然数，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由。‎ 解：（1），。‎ ‎ （2）∵，∴函数的定义域为，令，则，，‎ ‎ ∴，‎ ‎∵时，，又时，递减，∴单调递增，‎ ‎ ∴，即函数的值域为。‎ ‎ （3）假设存在这样的自然数满足条件，令，则，‎ ‎ ∵，则，要满足值域为，则要满足，‎ ‎ 由于当且仅当时，有中的等号成立，且此时恰为最大值，‎ ‎ ∴，‎ ‎ 又在上是增函数，在上是减函数，∴，‎ ‎ 综上，得 。‎ ‎6、已知二次函数同时满足：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立。‎ ‎ 设数列的前项和，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）试构造一个数列，（写出的一个通项公式）满足：对任意的正整数都有，且，并说明理由；‎ ‎（3）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数。令（为正整数），求数列的变号数。‎ 解：（1）∵的解集有且只有一个元素，∴，‎ ‎ 当时，函数在上递增，故不存在，使得不等式成立。‎ ‎ 当时，函数在上递减，故存在，使得不等式成立。‎ ‎ 综上，得，，∴，∴ ‎ ‎ （2）要使，可构造数列，∵对任意的正整数都有，‎ ‎ ∴当时，恒成立，即恒成立，即，‎ ‎ 又，∴，∴，等等。‎ ‎ （3）解法一：由题设，‎ ‎∵时，，∴时，数列递增，‎ ‎∵，由，可知，即时，有且只有个变号数；‎ 又∵，即，∴此处变号数有个。‎ 综上得 数列共有个变号数，即变号数为。‎ 解法二：由题设，‎ ‎ 时，令；‎ ‎ 又∵，∴时也有。‎ 综上得 数列共有个变号数，即变号数为。‎ ‎7．已知复数，‎ ‎ （1）当时，求的取值范围；‎ ‎ （2）是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。‎ ‎ ‎ 解：（1）∵，∴ 。‎ ‎ （2）（理）∵，∴为纯虚数，∴‎ ‎8．已知为正常数。‎ ‎ （1）可以证明：定理“若、，则（当且仅当时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；‎ ‎ （2）若在上恒成立，且函数的最大值大于，求实数的取值范围，并由此猜测的单调性（无需证明）；‎ ‎ （3）对满足（2）的条件的一个常数，设时，取得最大值。试构造一个定义在 ‎ 上的函数，使当时，，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。‎ 解：（1）若、、，则（当且仅当时取等号）。‎ ‎ （2）在上恒成立，即在上恒成立，‎ ‎∵，∴，即，‎ 又∵‎ ‎∴，即时，，‎ 又∵，∴。 综上，得 。‎ ‎ 易知，是奇函数，∵时，函数有最大值，∴时，函数有最小值。‎ 故猜测：时，单调递减；时，单调递增。‎ ‎（3）依题意，只需构造以为周期的周期函数即可。‎ ‎ 如对，，此时，‎ ‎ 即 。‎ ‎9．已知函数，，‎ ‎（Ⅰ）当时，若在上单调递增，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对：当是整数时，存在，使得是的最大值，是 的最小值；‎ ‎（Ⅲ）对满足（Ⅱ）的条件的一个实数对，试构造一个定义在，且上的函数，使当时，，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。‎ 解：（Ⅰ）当时，，‎ 若，，则在上单调递减，不符题意。‎ 故，要使在上单调递增，必须满足 ，∴ 。‎ ‎（Ⅱ）若，，则无最大值，故，∴为二次函数，‎ 要使有最大值，必须满足，即且，‎ 此时，时，有最大值。‎ 又取最小值时，，依题意，有，则，‎ ‎∵且，∴，得，此时或。‎ ‎∴满足条件的实数对是。‎ ‎（Ⅲ）当实数对是时，‎ 依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。‎ 如对，，‎ 此时，，‎ 故。‎ ‎10. 已知在数列中，，，(、Î,¹0)。‎ ‎ （1）若=2，=-1，求、，并猜测；‎ ‎ （2）若是等比数列，且是等比数列，求、满足的条件；‎ ‎ （3）一个质点从原点出发，依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地运动，第次 ‎ 运动的位移是，质点到达点。设点的横坐标为，若=0，若，‎ ‎ 求。‎ 解：（1）∵， (2¢)‎ ‎ ∴猜测: . (4¢)‎ ‎ （2）（理）由， 得，‎ ‎ 当时，，显然是等比数列，‎ ‎ 当时，因为，只有时，才是等比数列 ‎ ∴Þ，即，或 ‎ ‎ 由， 得(n≥2),‎ ‎ 当时，(n≥2)，显然是等差数列，‎ ‎ 当时，，只有时，才是等差数列，‎ ‎ ，即，或 ‎ ‎ 综上，、满足的条件是 ‎ ‎ （3）∵，∴ (12¢)‎ ‎ ∴,…,‎ ‎ ∴. ∵，∴‎ ‎11．已知函数，，‎ ‎ （1）若函数，求函数、的解析式；‎ ‎ （2）若函数，函数的定义域是[1,2]，‎ ‎ 求的值；‎ ‎ （3）设是定义在上的周期为4的奇函数，且函数的图像关于直线 ‎ 对称。当时，，求正数的最小值及函数在[-2,2]上 ‎ 的解析式。‎ 解：（1）∵ ， (1¢) ∴ ； ； . ‎ ‎（2）∵ ，∴, , ， ∴. ‎ ‎ 由题设，得. ‎ ‎ （3）∵是定义在R上的奇函数，∴ ①‎ ‎ ∵函数的图象关于直线对称，∴ ②‎ ‎ 在②式中以替换，得 ③‎ ‎ 由①式和③式，得 ④‎ ‎ 在④式中以替换，得 ⑤‎ ‎ 由④式和⑤式，得 (14¢)‎ ‎ ∵是定义在R上的周期为4的奇函数，∴正数的最小值是1. ‎ ‎ ∴当Î[0,1]时，，∴当Î[-1,0]时，Î[0,1]，‎ ‎ ，即.‎ ‎ ∵函数的图象关于直线对称，‎ ‎ ∴当Î(1,2]时，2-Î[0,1)，‎ ‎ 当Î[-2,-1)当，Î(1,2]，，即.‎ A1‎ O B3‎ B2‎ B1‎ A3‎ x y A2‎ ‎ ∴. ‎ ‎12. 已知等差数列的首项为，公差为.对于不同 的自然数n，直线与x轴和指数函数的图像分别交于点（如图所示），记的坐标为，直角梯形、的面积分别为和，一般地记直角梯形的面积为.‎ （1） 求证数列是公比绝对值小于1的等比数列；‎ （2） 设的公差，是否存在这样的正整数n，构成以为边长的三角形？并请说明理由；‎ （3） ‎（理）设的公差为已知常数，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列各项的和S>2010？并请说明理由.‎ ‎（文）设的公差，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列各项的和S>2010？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由.‎ 解．（1）， ‎ ‎，对于任意自然数n，=，所以数列是等比数列且公比，因为，所以 ‎ ‎（写成，得公比也可）‎ ‎（2），，对每个正整数n， ……6分 若以为边长能构成一个三角形，则，即，1+2>4，这是不可能的 ……9分 所以对每一个正整数n，以为边长不能构成三角形 ‎ ‎（3）（理）由（1）知，， ‎ 所以 ‎ 若 ‎ 两边取对数，知只要取值为小于的实数，就有S>2010‎ 说明：如果分别给出与d的具体值，说明清楚问题，也参照前面的评分标准酌情给分，但不得超过该部分分值的一半。‎ ‎（文）， ‎ 所以 ‎ 如果存在p使得，即 ‎ 两边取对数得：，‎ 因此符合条件的p值存在，，可取p= -11等 ‎ 说明：通过具体的p值，验证也可。‎ ‎13．函数f(x)=(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。‎ ‎(1)求a、b的值； ‎ ‎(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？‎ ‎(3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。‎ 解：(1)由f(2)=1得‎2a+b=2，又x=0一定是方程=x的解，‎ 所以=1无解或有解为0，‎ 若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，‎ 若有解为0，则b=1，所以a=。‎ ‎ (2)f(x)=，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，‎ 取x=0，则f(0)+f(m–0)=4，即=4，m= –4(必要性)‎ 又m= –4时，f(x)+f(–4–x)==……=4成立(充分性)‎ 所以存在常数m= –4，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，‎ ‎ (3)|AP|2=(x+3)2+()2，设x+2=t，t≠0，‎ 则|AP|2=(t+1)2+()2=t2+2t+2–+=(t2+)+2(t–)+2=(t–)2+2(t–)+10‎ ‎=( t–+1)2+9，‎ 所以当t–+1=0时即t=，也就是x=时，‎ ‎|AP| min = 3 ‎ ‎14.已知元素为实数的集合满足下列条件：①1、0；②若，则 若，求使元素个数最少的集合； ‎ 在上一小题求得的集合中，任取3个不同元素，求使的概率。‎ ‎（本小题选理科的学生做，选文科的学生不做）‎ ‎ 若非空集合为有限集，则你对集合的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确。‎ 解 ；‎ 使的元素个数最少的集合为 设是中三个不同元素，且使，由于 中仅有2个负数，故只有如下两种可能：‎ 所相对的概率为 非空有限集的元素个数是3的倍数 证明如下：‎ 设则且 ‎ ‎ 由于，但无实数根 故 同理 若存在，而，则 且 ‎（若中有元素，则利用前述的式可知）‎ 于是 上述推理还可继续，由于为有限集，故上述推理有限步可中止 的元素个数为的倍数。‎ ‎15.已知二次函数满足条件：=，且方程=有等根。‎ ‎(1)求的解析式；‎ ‎(2)是否存在实数m、n(mm时，an<2;当n≤m时，an>2?若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。‎ (3) 当n≥10时，证明＜an.‎ 解（1）a8=, a9=, a10=.‎ ‎(2)an-2=,‎ ‎∴当an-2＜2时，an＜2, 又a9=-8＜2,‎ 故当n＞8时an＜2。‎ 由an=得an-1=, an-1-2=.‎ ‎∴当an＞2时，an-1＞2。‎ 又a8=12＞2，‎ ‎∴当n≤8时，an＞2。‎ 综上所述，满足条件的m存在，且m=8.‎ ‎(3)an-1+an+1-2an = ( -an)+()‎ ‎=.‎ a10=-∈（-3，2）。‎ 下面证明，当n≥10时，-3＜an＜2，其中当n≥10时，an＜2已证，只需证当n≥10时， an＞-3。‎ an+3=+3= ‎ 当an-1∈（-3，2）时，＞0，即an＞-3.‎ ‎∴当n≥10时，-3＜an＜2。‎ 因此，当n≥10时，an-1+an+1-2an ＜0，‎ 即＜an.‎ ‎27．设数列｛an｝的首项为1，前n项和为Sn，且对任意大于或等于2的自然数n，等式3tSn－(2t+3)Sn-1=3t成立。‎ ‎(1）若t为正常数，证明数列{an}成等比数列，并求数列的公比q及前n项和；‎ ‎（2）对（1）中求得的q，若t为变量，令f(t)=q,设函数g(t)=3t3f(t),且设t∈R，求g(t)的单调区间和极值；‎ ‎（3）研究g(t)－k=0的解的个数. ‎ 解：(1)由题可知，当n＝2时，3tS2-(2t+3)S1=3ta2= ,又a1=1,所以 = ,‎ 当n≥2时。由3tSn-(2t+3)Sn-1=3t 与3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t两式相减可得3tan-(2t+3)an-1=0=,由上可知，对于自然数n都有 =式子成立，故｛an｝成等比数列，且公比q = 若t=3时，q=1,此时Sn=n 若t>0,t≠3时，则Sn=　=　.‎ ‎(2)由题可知：q=f(t)=,⇒g(t)=3t3⇒g(t)=2t3+3t2,⇒g'(t)=6t2+6t=6t(t+1)；所以 t ‎（-∞，1）‎ ‎－1‎ ‎（－1,0）‎ ‎0‎ ‎（0，＋∞）‎ g(t)‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ g(t)‎ 增 ‎1‎ 减 ‎0‎ 增 ‎　　当t=-1时，g(t)有极大值1‎ ‎　　当t=0时，g(t)有极小值0‎ ‎(3)画出y=g(t)及y=k的图象可得：‎ 当k>1或k<0时，有一解 当k=1或k=0时，有二解 当00，即 解得（9分）‎ ‎∵若以AB为直径的圆过D（0，－2），则AD⊥BD，∴，‎ 即，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 解得，故存在k值……，所求k值为.‎ ‎30．已知数列的前项和满足 ‎ （Ⅰ）求k的值；‎ ‎ （Ⅱ）求；‎ ‎ （Ⅲ）是否存在正整数使成立？若存在求出这样的正整数；若不存在，说明理由 解：（I）‎ ‎ 又………………2分 ‎（Ⅱ）由（I）知 ①‎ 当时， ②‎ ‎①－②，得………………4分 又，易见 于是是等比数列，公比为，所以 ‎………………6分 ‎（Ⅲ）不等式，即 整理得…………8分 假设存在正整数使得上面的不等式成立，由于2n为偶数，为整数，则只能是 ‎………………10分 因此，存在正整数…………12‎ ‎31．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点、，若点满足（），点的轨迹与抛物线：交于 、两点.‎ ‎（Ⅰ）求证：⊥；‎ ‎（Ⅱ）在轴上是否存在一点，使得过点直线交抛物线于D、E两点，并以该弦DE为直径的圆都过原点。若存在，请求出的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.‎ 解：1）解：由（）知点的轨迹是、两点所在的直线，故 点的轨迹方程是：即………… ….2分 由 ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴ 故 ⊥. ……………………………………6分 ‎ 2）解：存在点，使得过点任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点 ‎ 由题意知：弦所在的直线的斜率不为零 …………………………………7分 故 设弦所在的直线方程为： 代入 得 ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 故以为直径的圆都过原点 …………………………..10分 设弦的中点为 则 ‎ ‎∴弦的中点的轨迹方程为：‎ ‎ 消去得 . ……………………14分 ‎32．设函数R.‎ ‎ （I）求函数的最值；‎ ‎ （Ⅱ）给出定理：如果函数在区间[]上连续，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在.‎ ‎ 运用上述定理判断，当时，函数在区间内是否存在零点.‎ 解：（I）‎ ‎ 令 ……………………2分 ‎①‎ ‎ ‎ ‎ 由①知f（x）无最大值. ……………………6分 ‎ （Ⅱ）函数f（x）在[m，‎2m]上连续.‎ ‎ ‎ ‎ 上递增. ……………………8分 ‎ 由 ……………………10分 ‎ 又 ‎ 根据定理，可判断函数f（x）在区间（m，‎2m）上存在零点. ……………………12分 ‎33．已知数列{an}有a1=a，a2=p (常数p>0)，对任意的正整数n，Sn=a1+a2+…+an，并有Sn满足。‎ ‎ (1) 求a的值；‎ ‎ (2) 试确定数列{an}是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；‎ ‎ (3) 对于数列{bn}，假如存在一个常数b使得对任意的正整数n都有bn0，可得 由于 不妨设 ‎ 由①和②可得 ‎ 利用比例性质得 ‎ 即 …………（13分）‎ 由于上的恒正增函数，且 ‎ 又由于 上的恒正减函数，且 ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 这与（*）式矛盾。‎ 因此满足条件的正数k不存在 ……………………（14分）‎ ‎41．数列，‎ ⑴是否存在常数、，使得数列是等比数列，若存在，求出、的值，若不存在，说明理由。‎ ⑵设，证明：当时，.‎ ‎ ⑴解:设 ，‎ ‎ 即 …………………………… (2分)‎ ‎ 故 …………………………… (4分)‎ ‎∴ ………(5分)‎ 又 ……………………………………………………………………(6分)‎ 故存在是等比数列 ……………(7分)‎ ⑵证明：由⑴得 ∴，‎ 故 ……………………………………………… (8分)‎ ‎∵ ………………………… (9分)‎ ‎∴‎ ‎ ……………………………………（11分）‎ 现证.‎ 当，‎ 故时不等式成立 ………………………………………………（12分）‎ 当得 ‎，且由，‎ ‎∴ …………………………………… （14分）‎ ‎42．已知函数（a为常数）.‎ ‎（1）如果对任意恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）设实数满足：中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程 的两实根，判断①，②，③是否为定值？若是定值请求出：若不是定值，请把不是定值的表示为函数，并求的最小值；‎ ‎（3）对于（2）中的，设，数列满足 ，且，试判断与的大小，并证明.‎ 解：（1）‎ 对恒成立，‎ 又恒成立，对恒成立，‎ 又，‎ ‎（2）由得：，‎ 不妨设，则q，r恰为方程两根，由韦达定理得：‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③而 ‎ ‎ ‎ ‎ 设，求导得：‎ 当时，递增；当时，递减；‎ 当时，递增，‎ 在上的最小值为 ‎（3）‎ 如果，则 在为递增函数，‎ 又 ‎43．设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N+，都有，记Sn为数列{an}的前n项和.‎ ‎ （1）求证：=2Sn－an；‎ ‎ （2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎ （3）若（为非零常数，n∈N+），问是否存在整数，使得对任意 n∈N+，都有bn+1>bn.‎ 解：（1）在已知式中，当n=1时，‎ ‎ ∵a1>0 ∴a1=1……………………………………1分 ‎ 当n≥2时， ①‎ ‎ ②‎ ‎ ①－②得，…………………………3分 ‎ ∵an>0 ∴=‎2a1+‎2a2+…+2an－1+an，‎ ‎ 即=2Sn－an ∵a1=1适合上式 ‎ ∴=2Sn－an(n∈N+)……………………5分 ‎ （2）由（1）知=2Sn－an(∈N+) ③‎ ‎ 当n≥2时， =2Sn－1－an－1 ④‎ ‎ ③－④得－=2(Sn－Sn－1)－an+an－1=2an－an+ an－1= an+ an－1‎ ‎ ∵an+an－1>0 ∴an－an－1=1……………………8分 ‎∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，可得an=n………………9分 ‎ （3）∵‎ ‎ ‎ ‎∴ ⑤……………………11分 当n=2k－1，k=1，2，3，……时，⑤式即为 ⑥‎ 依题意，⑥式对k=1，2，3……都成立，∴λ<1………………12分 当n=2k，k=1，2，3，…时，⑤式即为 ⑦‎ 依题意，⑦式对k=1，2，3，……都成立，‎ ‎∴……………………13分 ‎∴‎ ‎∴存在整数λ=－1，使得对任意n∈N，都有bn+1>bn……………‎ ‎44设关于x的方程有两个实根、，且.定义函数 ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）判断在区间上的单调性，并加以证明；‎ ‎（Ⅲ）若为正实数，证明不等式：‎ ‎（Ⅰ）解：∵是方程的两个实根 ‎ ∴ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 同理 ‎ ‎ ∴ ‎ ‎（Ⅱ）∵‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 当时， ‎ 而 ‎∴在上为增函数 ‎ ‎（Ⅲ）∵且 ‎ ∴‎ ‎ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 由（Ⅱ）可知 ‎ 同理可得 ‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 又由（Ⅰ）知 ‎ ∴‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎45已知数列{a n}前n项的和为S n，前n项的积为，且满足。‎ ‎①求； ②求证：数列{a n}是等比数列；‎ ‎③是否存在常数a，使得对都成立？‎ ‎ 若存在，求出a，若不存在，说明理由。‎ 解、①；③‎ ‎46．已知集合，。‎ ‎ （1）判断与的关系，并说明理由；‎ ‎ （2）中的元素是否都是周期函数，证明你的结论；‎ ‎（3）中的元素是否都是奇函数，证明你的结论。‎ 解（1）∵‎ ‎= ∴‎ ‎（2）因是周期为6的周期函数，猜测也是周期为6的周期函数 ‎ 由，得，‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴， ∴，‎ ‎ ∴，得证是周期为6的周期函数，‎ 故中的元素都是周期为6的周期函数。‎ （1） 令，可证得 （2） ‎ ∴，但是偶函数，不是奇函数， ‎ ‎ ∴中的元素不都是奇函数。… ‎ ‎47设函数的定义域为R，当 时，，且对任意的实数R，有 成立 数列满足，且(N) ‎ ‎（1）证明在R上为减函数；‎ ‎（2）求的值；‎ ‎（3）若不等式对一切N均成立，求的最大值 解:(1)令,，得,,故 ‎ 当时,,,进而得 ‎ 设R，且,‎ 则,,‎ ‎ ‎ 故,函数在R上是单调递减函数 ‎ ‎（2）由,得 ‎ 故,,(N)‎ 因此,是首项为1,公差为2的等差数列 由此得, ‎ ‎(3) 由恒成立,‎ 知恒成立 ‎ 设,则,‎ 且 ‎ 又,即,故为关于的单调增函数, 所以,,即的最大值为 ‎48．已知函数 ‎(1) 若在上单调递增，求的取值范围；‎ ‎(2) 若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值 总有以下不等式成立，则称函数为区间D上的“凹函数”.‎ 试判断当时，是否为“凹函数”，并对你的判断加以证明. ‎ 解：（Ⅰ）由，得 ‎ 欲使函数为上单调增函数，则在上恒成立，即不等式在上恒成立.也即在上恒成立.‎ 令，上述问题等价于，而为在上的减函数，则，于是为所求. ‎ ‎（Ⅱ）证明：由 得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 而 ① ‎ ‎ 又， ∴ ② ‎ ‎∵ ∴，‎ ‎∵ ∴ ③‎ 由①、②、③得 即，‎ 从而由凹函数的定义可知函数为凹函数. ‎ ‎49．设函数的定义域与值域均为R，的反函数为，定义数列{中，，……。‎ 若对于任意实数x，均有+=2.5x，求证：①，……。‎ ②设……，求{的通项公式。‎ 若对于任意实数x，均有+<2.5x，是否存在常数A、B同时满足：‎ ①当n=0.or.n=1时，有成立；②当n=2、3、4、……，时，成立。‎ 如果存在，求出A、B的值；如果不存在，说明理由。‎ 解：（1）由，又在等式+=2.5x中令，‎ 从而有………………（1）成立。‎ 又及（1）式有：，所以{，‎ ‎。‎ ‎（2）由n=0.or.n=1时，有成立，可求得A=B=4,‎ 由对于任意实数x，均有+<2.5x,可得………………（2）‎ 下面利用（2）和A=B=4，用数学归纳法证明：‎ 当n=2、3、4、……，时，成立即可，证明过程容易，略去。‎ 所以存在实数A=B=4，使结论成立。‎ ‎50．已知椭圆的右准线与轴相交于点，右焦点到上顶点的距离为，点是线段上的一个动点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于、两点,使得,并说明理由.‎ 解 (1)由题意可知，又，解得，‎ 椭圆的方程为；‎ ‎（2）由（1）得，所以.假设存在满足题意的直线，设的方程为 ‎，代入，得，‎ 设，则 ①‎ ‎，‎ ‎，‎ 而的方向向量为,‎ ‎;‎ 当时,,即存在这样的直线;‎ 当时,不存在,即不存在这样的直线 .‎