山西省吕梁市孝义市实验中学2019届高三第一次模拟考试数学（理）试卷

山西省吕梁市孝义市实验中学2019届高三第一次模拟考试数学（理）试卷

山西省吕梁市孝义市实验中学2019届高三第一次模拟考试数学(理)试卷 注意事项：‎ ‎1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 1. 已知集合，，则（ ）‎ A． B． C．D．‎ ‎2．复数满足，则复数等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.等差数列中，,则数列前6项和为（ ）‎ A.18 B. 24 C. 36 D. 72‎ 4. 已知菱形的边长为，,则（ ）‎ A. 4 B. 6 C. D. ‎ ‎5．已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（）‎ A. B. C.D.‎ ‎6.定义在R上的函数f(x)满足 ,则＝(　　)‎ A. －1 B. 0C.1D.2‎ ‎7．我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽的弦图．弦图是一个以勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股+(股－勾)2=4×朱实十黄实=弦实=弦2，化简得：勾2+股2=弦2．设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷l 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为（）‎ A.866 B. 500 C.300 D.134 ‎ ‎8．函数的图象向右平移个单位后关于原点对称，则函数在上的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.过抛物线的焦点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于A、B两点，以AF、BF为直径的圆分别与y轴相切于点M，N，则|MN| =（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10. 已知函数，则的图象大致为（ ）‎ A. B. C.D.‎ ‎11.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥外接球表面积是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知，则不可能满足的关系是（）‎ A． B．C． D．‎ 一、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.二项式的展开式中，常数项的值为________．　　　　 ‎ ‎14．若满足则目标函数的最大值为________．‎ ‎15．学校艺术节对同一类的  四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：‎ ‎ 甲说：“ 或  作品获得一等奖”； 乙说：“ 作品获得一等奖”；‎ ‎ 丙说：“， 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“作品获得一等奖”。‎ ‎ 若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是　　　　　.‎ 16. 数列=的前n项和为,若,成等比数列（m）则正整数n值为　　.‎ 三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.（本小题12分）如图：在△ABC中，‎ ‎＝，c＝4，.‎ ‎（1）求角A ； ‎ ‎（2）设D为AB的中点，求中线CD的长.‎ ‎18.（本小题12分）如图.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E、F、G分别是 中点，且,.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎19.（本小题12分）‎ 诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：‎ 第一周 ‎ ‎ 第二周 第三周 ‎ ‎ 第四周 ‎ 第一个周期 ‎ 95%‎ ‎ 98%‎ ‎ 92%‎ ‎ 88%‎ ‎ 第二个周期 ‎ 94%‎ ‎ 94%‎ ‎ 83%‎ ‎ 80%‎ ‎ 第三个周期 ‎ 85%‎ ‎92% ‎ ‎ 95%‎ ‎96% ‎ ‎（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数；‎ ‎（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X的分布列和期望；‎ ‎（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．‎ ‎20.（本小题12分）已知椭圆C:+ =1(>b>0)离心率为，直线=1被椭圆截得的弦长为.‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）设直线交椭圆C于A.B两点，且线段AB的中点M在直线 =1上，求证：线段AB的中垂线恒过定点.‎ ‎21.（本题满分12分）已知函数 ， .‎ ‎（1）求g(x)在区间上的值域；‎ ‎（2）是否存在实数，对任意给定的,在存在两个不同的(i=1,2)使得=，若存在，求出的范围，若不存在，说出理由.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4—4：坐标系与参数方程](10分）‎ 在直角坐标系中，圆C的参数方程为： ，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同.‎ ‎（1）求圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线： （t为参数）被圆C截得的弦长为，求直线的倾斜角.‎ 23. ‎[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知，且的解集为 ‎（1）求实数；‎ ‎（2）若的图像与直线及（m<3）围成的四边形的面积不小于14，求实数m取值范围.‎ 数 学 (理工类)‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 一． 选择题： ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 D B C B A C D B D A D C 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13． 240 14．-1 15.B 16. 8‎ 三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.如图：在△ABC中，＝，c＝4，‎ ‎. 求角A ‎ 设D为AB的中点，求中线CD的长.‎ 解.==..........2分 由正弦定理即 得=C为钝角，A为锐角，....5分（理由不充分扣一分）‎ 故A= .........6分 ‎ ‎.解法（一）‎ ‎=+‎ ‎= .......8分 由正弦定理 即得b= ..........10分 ‎ 在中由余弦定理得=-=2 . ....12分 ‎ 解法（二）参照评分 在中由余弦定理得： ‎ ‎10= 即 则或 而b=‎ ‎18如.图.在直三棱柱中，D、E、F、G,分别是中点，且,‎ ‎.求证： ‎ ‎.求二面角的余弦值。‎ 解..‎ 为直三棱柱，D.E为 ‎........4分 ‎.由知建系如图，且.,‎ 设平面的法向量为 由 得 取，同理得平面EFG的法向量........9分 ‎，而二面角为钝二面角，‎ 二面角的余弦值为........12分 ‎19．（本小题12分）‎ 诚信是立身之本，道德之基，我校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：‎ 第一周 ‎ ‎ 第二周 第三周 ‎ ‎ 第四周 ‎ 第一个周期 ‎ 95%‎ ‎ 98%‎ ‎ 92%‎ ‎ 88%‎ ‎ 第二个周期 ‎ 94%‎ ‎ 94%‎ ‎ 83%‎ ‎ 80%‎ ‎ 第三个周期 ‎ 85%‎ ‎92% ‎ ‎ 95%‎ ‎96% ‎ ‎（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数；‎ ‎（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X的分布列和期望；‎ ‎（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．‎ 解：（1）表中十二周“水站诚信度”的平均数：‎ ‎=×=91%．-----3分 ‎（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，‎ P（X=0）==，‎ P（X=1）==，‎ P（X=2）=，‎ P（X=3）=，‎ ‎∴X的分布列为：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P EX==2．-----9分 ‎（3）两次活动效果均好．‎ 理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%到85%看出，后继一周都有提升．----12分 ‎20.已知椭圆C:+ =1(离心率为，直线=1被椭圆截得的弦长为 ‎．求椭圆方程 ‎．设直线交椭圆C于A.B两点，若线段AB的中点M在直线 =1上，求证线段AB的中垂线恒过定点.‎ 解：（1）由直线=1被椭圆截得的弦长为，得椭圆过点，即 又，得 所以，即椭圆方程为。.........4分 ‎ （2） 由得（1+4）+8km+4-4=0‎ 由 得 .........7分 ‎ 由=—‎ 设AB的中点M为 得-=1 即1+4=—4km ‎=- .........10分 ‎ AB的中垂线方程为 =-‎ 即故AB的中垂线恒过点N（） .........12分 ‎ ‎21.（本题满分12分）已知函数f(x)=(1-a)(x-1)-lnx+1. g(x)=xe1-x ‎(1)求g(x)在区间上的值域。‎ ‎(2)是否存在实数a，对任意给定的x0∈（0，e],在[1,e]存在两个不同的xi(i=1,2)使得f(xi)=g(x0)，若存在求出a的范围，若不存在说出理由。‎ 解：‎ ‎。‎ ‎∴g(x)在(0,e]上值域为（0,1]........4分 ‎(2)‎ 由已知得，且 当时，在上单调递增，不合题意。‎ 当时，在上单调递减，不合题意。 ........6分 当时，得。‎ 当时单调递减 当时,单调递增，∴........7分 由（1）知g(x)在(0,e]上值域为（0,1]，而f(1)=1，‎ 所以对任意x0∈（0，e],在区间[1,e]上总有两个不同的xi(i=1,2) 使得f(xi)=g(x0)，‎ 当且仅当 即 ........9分 由（1）得。‎ 设，h(a)>‎ 当，单调递减，∴‎ ‎∴无解 综上，满足条件的不存在。........12分 ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.【选修4—4：坐标系与参数方程】 (10分）‎ ‎22.在直角坐标系中，圆C的参数方程为： ‎ ‎，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同。‎ ‎.求圆C的极坐标方程 ‎.若直线： （t为参数）被圆C截得的弦长为，求直线的倾斜角。解：圆C： 消去参数得：‎ 即： ‎ ‎ ‎ ‎ .........5分 ‎ ‎.直线： 的极坐标方程为= ‎ ‎ 当时 ‎ 即:, 或 ‎ ‎ 或 直线的倾斜角为。 .........10分 ‎ 23. ‎【选修4—5：不等式选讲】（10分）‎ 已知 ，且的解集为 ‎.求实数.‎ ‎.若的图像与直线及（m<3）围成的四边形的面积小于14，求实数m取值范围 解：由：，‎ ‎ 即 解得 .........5分 ‎ ‎.的图像与直线及围成的四边形ABCD,,,，，‎ 过A点向y=m引垂线，垂足为则=‎ 化简得：，或 故的取值范围为 .........10分 ‎