2017年高考数学（理科,江苏专版）二轮专题复习与策略（教师用书） 第1部分 专题5 第18讲 高考中的圆锥曲线

2017年高考数学（理科,江苏专版）二轮专题复习与策略（教师用书） 第1部分 专题5 第18讲 高考中的圆锥曲线

第18讲　高考中的圆锥曲线 题型一| 圆锥曲线中的最值(范围)问题 ‎　已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．‎ ‎(1)求E的方程；‎ ‎(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．‎ ‎[解]　(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.‎ 又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.‎ 故E的方程为＋y2＝1. 4分 ‎(2)当l⊥x轴时不合题意，‎ 故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 将y＝kx－2代入＋y2＝1得 ‎(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. 6分 当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x1,2＝.‎ 从而|PQ|＝|x1－x2|＝. 8分 又点O到直线PQ的距离d＝，‎ 所以△OPQ的面积S△OPQ＝d|PQ|＝. 10分 设＝t，‎ 则t>0，S△OPQ＝＝.‎ 因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ＞0， 14分 所以，当△OPQ的面积最大时l的方程为y＝x－2或y＝－x－2. 16分 ‎【名师点评】　与圆锥曲线有关的最值的两种解法 ‎1．数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．‎ ‎2．构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用均值不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)．‎ ‎(2016·南京盐城二模)在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)上．若点A(－a,0)，B，且＝.‎ ‎(1)求椭圆M的离心率；‎ ‎(2)设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点，线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线l不与y轴重合．‎ ‎①若点P(－3,0)，直线l过点，求直线l的方程；‎ ‎②若直线l过点(0，－1)，且与x轴的交点为D，求D点横坐标的取值范围．‎ ‎[解]　(1)设C(x0，y0)，则＝，＝. 2分 因为＝，所以＝＝，得4分 代入椭圆方程得a2＝b2.‎ 因为a2－b2＝c2，所以e＝＝. 6分 ‎(2)①因为c＝2，所以a2＝9，b2＝5，所以椭圆的方程为＋＝1，‎ 设Q(x0，y0)，则＋＝1.①‎ 因为点P(－3,0)，所以PQ中点为，‎ 因为直线l过点，直线l不与y轴重合，所以x0≠3，‎ 所以·＝－1， 10分 化简得x＝9－y－y0.②‎ 将②代入①化简得y－y0＝0，解得y0＝0(舍)或y0＝.‎ 将y0＝代入①得x0＝±，所以Q为，‎ 所以PQ斜率为1或，直线l的斜率为－1或－，‎ 所以直线l的方程为y＝－x－或y＝－x－. 12分 ‎②设PQ：y＝kx＋m，则直线l的方程为：y＝－x－1，所以xD＝－k.‎ 将直线PQ的方程代入椭圆的方程，消去y得(5＋9k2)x2＋18kmx＋9m2－45＝0.①‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中点为N，‎ xN＝＝－，代入直线PQ的方程得yN＝，‎ 代入直线l的方程得9k2＝4m－5.②‎ 又因为Δ＝(18km)2－4(5＋9k2)(9m2－45)＞0，‎ 化得m2－9k2－5＜0. 14分 将②代入上式得m2－4m＜0，解得0＜m＜4，‎ 所以－＜k＜，且k≠0，所以xD＝－k∈∪.‎ 综上所述，点D横坐标的取值范围为∪. 16分 题型二| 圆锥曲线中的定点问题 ‎　如图18－1所示，已知圆C：(x＋1)2＋y2＝8，定点A(1,0)，M为圆上一动点，点P是线段AM的垂直平分线与直线CM的交点．‎ ‎(1)求点P的轨迹曲线E的方程；‎ ‎(2)设点P(x0，y0)是曲线E上任意一点，写出曲线E在点P(x0，y0)处的切线l的方程；(不要求证明)‎ ‎(3)直线m过切点P(x0，y0)与直线l垂直，点C关于直线m的对称点为D，证明：直线PD恒过一定点，并求定点的坐标．‎ 图18－1‎ ‎[解]　(1)∵点P是线段AM的垂直平分线与直线CM的交点，‎ ‎∴PA＝PM，‎ PA＋PC＝PM＋PC＝2>AC＝2，‎ ‎∴动点N的轨迹是以点C(－1,0)，A(1,0)为焦点的椭圆. 3分 椭圆的长轴长为2a＝2，焦距2c＝2.‎ ‎∴a＝，c＝1，b2＝1.‎ ‎∴曲线E的方程为＋y2＝1. 5分 ‎(2)曲线E在点P(x0，y0)处的切线l的方程是＋y0y＝1. 7分 ‎(3)证明：直线m的方程为x0(y－y0)＝2y0(x－x0)，即2y0x－x0y－x0y0＝0.‎ 设点C关于直线m的对称点的坐标为D(m，n)，‎ 则 ‎ 解得 10分 ‎∴直线PD的斜率为k＝＝， 12分 从而直线PD的方程为 y－y0＝(x－x0)， 14分 即x＝y＋1，从而直线PD恒过定点A(1,0). 16分 ‎【名师点评】　1.动直线l过定点问题解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．‎ ‎2．动曲线C过定点问题解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．‎ ‎(2016·苏北四市期末)如图18－2，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，左顶点为A(－4,0)，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.‎ 图18－2‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎(3)若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．‎ ‎[解]　(1)因为左顶点为A(－4,0)，所以a＝4，2分 又e＝，所以c＝2，b2＝a2－c2＝12，‎ 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. 5分 ‎(2)直线l的方程为y＝k(x＋4)，由消元得，＋＝1.‎ 化简得(x＋4)[(4k2＋3)x＋16k2－12]＝0，所以x1＝－4，x2＝. 10分 当x＝时，y＝k＝，所以D.‎ 因为P为AB的中点，‎ 所以P的坐标为，kOP＝－(k≠0)，‎ 直线l的方程为y＝k(x＋4)，令x＝0得E点坐标为(0,4k)，‎ 假设存在定点Q(m，n)(m≠0)，使得OP⊥EQ，则kOPkEQ＝－1，即－·＝－1恒成立，‎ 所以(4m＋12)k－3n＝0恒成立，所以即 所以定点Q的坐标为(－3,0). 12分 ‎(3)因为OM∥l，所以OM的方程可设为y＝kx，‎ 由得M点的横坐标为x＝±，‎ 由OM∥l，得＝＝ ‎＝＝· ‎＝≥2，‎ 当且仅当＝即k＝±时取等号，‎ 所以当k＝±时，的最小值为2. 16分 题型三| 圆锥曲线中的定值问题 ‎　(2016·苏锡常镇调研一)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点．‎ ‎①若直线l过椭圆C的右焦点，记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值；‎ ‎②若直线l的斜率为，试探究OA2＋OB2是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)＋＝1，＝，得a2＝4，b2＝3. 2分 所以椭圆C：＋＝1. 3分 ‎(2)①设直线l的方程为x＝my＋1，直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由化简得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，易知Δ>0， 5分 所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，‎ 所以kAP·kBP＝·＝·＝· ‎＝－－， 7分 所以t＝kAB·kAP·kBP＝－－＝－2＋， 9分 所以当m＝－时，t有最大值. 10分 ‎②设直线l的方程为y＝x＋n，直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，得3x2＋2nx＋2n2－6＝0，‎ Δ＝(2n)2－4×3(2n2－6)>0，即－b>0)的离心率e ‎＝，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．‎ ‎【导学号：19592054】‎ ‎[解]　(1)设椭圆的半焦距为c，‎ 圆心O到直线l的距离d＝＝，‎ ‎∴b＝＝. 3分 由题意得 ‎∴a2＝3，b2＝2.‎ ‎∴椭圆E的方程为＋＝1. 6分 ‎(2)设点P(x0，y0)，过点P的椭圆E的切线l0的方程为y－y0＝k(x－x0)，‎ 联立直线l0与椭圆E的方程得 消去y得(3＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(kx0－y0)2－6＝0，‎ ‎∴Δ＝[4k(y0－kx0)]2－4(3＋2k2)[2(kx0－y0)2－6]＝0，‎ 整理得，(2－x)k2＋2kx0y0－(y－3)＝0， 10分 设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1，k2，‎ 则k1·k2＝－.‎ ‎∵点P在圆O上，∴x＋y＝5，‎ ‎∴k1·k2＝－＝－1.‎ ‎∴两条切线的斜率之积为常数－1. 16分 命题展望 圆锥曲线中的定点、定值与最值问题反映了动点、动直线在运动变化过程中的不变性与有界性，是高考考查的热点，在复习备考时，应掌握解决此类问题的一般思路及求解策略．‎ ‎　在平面直角坐标系xOy中，动点P在椭圆C1：＋y2＝1上，且到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x＝2的距离之比等于椭圆的离心率．动点Q是动圆C2：x2＋y2＝r2(1b>0)过点A(2,1)，离心率为.‎ 图18－3‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程．‎ ‎[解]　(1)由条件知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝＝，‎ 所以b2＝a2－c2＝a2. 3分 又点A(2,1)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，‎ 所以＋＝1，‎ 解得 所以，所求椭圆的方程为＋＝1. 6分 ‎(2)将y＝kx＋m(k≠0)代入椭圆方程，得x2＋4(kx＋m)2－8＝0，‎ 整理得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－8＝0.　①‎ 由线段BC被y轴平分，得xB＋xC＝－＝0，‎ 因为k≠0，所以m＝0. 10分 因为当m＝0时，B，C关于原点对称，设B(x，kx)，C(－x，－kx)，‎ 由方程①，得x2＝，‎ 又因为AB⊥AC，A(2,1)，‎ 所以·＝(x－2)(－x－2)＋(kx－1)(－kx－1)＝5－(1＋k2)x2＝5－＝0，‎ 所以k＝±. 14分 由于k＝时，直线y＝x过点A(2,1)，故k＝不符合题设．‎ 所以，此时直线l的方程为y＝－x. 16分 ‎2.如图18－4，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．已知点(1，e)和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．‎ 图18－4‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.‎ ‎(ⅰ)若AF1－BF2＝，求直线AF1的斜率；‎ ‎(ⅱ)求证：PF1＋PF2是定值．‎ ‎[解]　(1)由题设知a2＝b2＋c2，e＝.‎ 由点(1，e)在椭圆上，得＋＝1，‎ 解得b2＝1，于是c2＝a2－1. 3分 又点在椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1，解得a2＝2.‎ 因此，所求椭圆的方程是＋y2＝1. 6分 ‎(2)由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，又直线AF1与BF2平行，所以可设直线AF1的方程为x＋1＝my，直线BF2的方程为x－1＝my.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1>0，y2>0.‎ 由 得(m2＋2)y－2my1－1＝0，‎ 解得y1＝， 10分 故AF1＝ ‎＝＝，①‎ 同理BF2＝，②‎ ‎(ⅰ)由①②得AF1－BF2＝，‎ 解＝，得m2＝2，注意到m>0， 12分 故m＝.所以直线AF1的斜率为＝.‎ ‎(ⅱ)因为直线AF1与BF2平行，所以＝，‎ 于是＝，‎ 故PF1＝BF1.由B点在椭圆上知BF1＋BF2＝2， 14分 从而PF1＝(2－BF2)．‎ 同理PF2＝(2－AF1)．‎ 因此，PF1＋PF2＝(2－BF2)＋(2－AF1)‎ ‎＝2－.‎ 又由①②知AF1＋BF2＝，AF1·BF2＝，‎ 所以PF1＋PF2＝2－＝.‎ 因此，PF1＋PF2是定值. 16分