2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书:第七章 1 第1讲 不等关系与不等式

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2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书:第七章 1 第1讲 不等关系与不等式

知识点 最新考纲 不等关系与不等式 了解不等关系,掌握不等式的基本性质.‎ 一元二次不等式及其解法 了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系,会解一元二次不等式.‎ 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 了解二元一次不等式的几何意义,掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系,并会求解简单的二元线性规划问题.‎ 基本不等式 ≤(a,b>0)‎ 掌握基本不等式≤(a,b>0)及其应用.‎ 绝对值不等式 ‎ 会解|x+b|≤c,|x+b|≥c,|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c型不等式.‎ ‎ 了解不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.‎ 第1讲 不等关系与不等式 ‎1.实数大小顺序与运算性质之间的关系 a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔ab,ab>0⇒<.‎ ‎②a<0b>0,0.‎ ‎④0b>0,m>0,则 ‎①<;>(b-m>0).‎ ‎②>;<(b-m>0).‎ ‎[疑误辨析]‎ 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a1,则a>b.(  )‎ ‎(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.(  )‎ ‎(4)一个非零实数越大,则其倒数就越小.(  )‎ ‎(5)同向不等式具有可加性和可乘性.(  )‎ ‎(6)两个数的比值大于1,则分子不一定大于分母.(  )‎ 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√‎ ‎[教材衍化]‎ ‎1.(必修5P74练习T3改编)若a,b都是实数,则“->0”是“a2-b2>0”的(  )‎ A.充分不必要条件     ‎ B.必要不充分条件 C.充要条件 ‎ D.既不充分也不必要条件 解析:选A.->0⇒>⇒a>b⇒a2>b2,‎ 但由a2-b2>0⇒/ ->0.‎ ‎2.(必修5P75A组T2改编)______(填“>”“<”或“=”).‎ 解析:分母有理化有=+2,=+,显然+2<+,所以<.‎ 答案:<‎ ‎3.(必修5P75B组T1改编)若0b>0,c0 B.-<0‎ C.> D.< 解析:选D.因为cac,‎ 又因为cd>0,所以>,即>.‎ ‎2.设a,b∈R,则“a>2且b>1”是“a+b>3且ab>2”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”).‎ 解析:若a>2且b>1,则由不等式的同向可加性可得a+b>2+1=3,由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1=2.即“a>2且b>1”是“a+b>3且ab>2”的充分条件;反之,若“a+b>3且ab>2”,则“a>2且b>1”不一定成立,如a=6,b=.所以“a>2且b>1”是“a+b>3且ab>2”的充分不必要条件.‎ 答案:充分不必要 ‎3.若-<α<β<,则α-β的取值范围是________.‎ 解析:由-<α<,-<-β<,α<β,‎ 得-π<α-β<0.‎ 答案:(-π,0)‎ ‎       用不等式(组)表示不等关系 ‎ 某厂拟生产甲、乙两种适销产品,甲、乙产品都需要在A,B两台设备上加工,在A,B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时,加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时,A,B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式.‎ ‎【解】 设甲、乙两种产品的月产量分别为x,y,则由题意可知 用不等式(组)表示不等关系 ‎(1)分析题中有哪些未知量.‎ ‎(2)选择其中起关键作用的未知量,设为x或x,y,再用x或x,y来表示其他未知量.‎ ‎(3)根据题目中的不等关系列出不等式(组).‎ ‎[提醒] 在列不等式(组)时要注意变量自身的范围.  ‎ ‎ 某汽车公司因发展需要需购进一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式.‎ 解:设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆,‎ 则即 ‎      不等式的性质及应用(高频考点)‎ 不等式的性质及其应用是高考命题的热点.不等式性质的应用是高考的常考点,常以选择题、填空题的形式出现.主要命题角度有:‎ ‎(1)判断命题的真假;‎ ‎(2)与充要条件相结合命题的判断;‎ ‎(3)求代数式的取值范围.‎ 角度一 判断命题的真假 ‎ (1)设a,b,c∈R,且a>b,则(  )‎ A.ac>bc          B.< C.a2>b2 D.a3>b3‎ ‎(2)下列命题中,正确的是(  )‎ A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若ac>bc,则a>b C.若<,则ab,c>d,则a-c>b-d ‎【解析】 (1)A项,c≤0时,由a>b不能得到ac>bc,故不正确;‎ B项,当a>0,b<0(如a=1,b=-2)时,由a>b不能得到<,故不正确;‎ C项,由a2-b2=(a+b)(a-b)及a>b可知当a+b<0时(如a=-2,b=-3或a=2,b=-3)均不能得到a2>b2,故不正确;‎ D项,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)·,因为+b2 >0,所以可由a>b知a3-b3>0,即a3>b3,故正确.‎ ‎(2)A:取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;B:当c<0时,ac>bc⇒a0,所以ab”是“a|a|>b|b|”的(  )‎ A.充分不必要条件    ‎ B.必要不充分条件 C.充要条件 ‎ D.既不充分又不必要条件 ‎【解析】 (1)(a-b)·a2<0,则必有a-b<0,即ab⇔a|a|>b|b|;‎ 当b=0时,显然有a>b⇔a|a|>b|b|;‎ 当b>0时,由a>b有|a|>|b|,‎ 所以a>b⇔a|a|>b|b|.‎ 综上可知a>b⇔a|a|>b|b|,故选C.‎ ‎【答案】 (1)A (2)C 角度三 求代数式的取值范围 ‎ (2020·台州高三模拟)若α,β满足则α+3β的取值范围为________.‎ ‎【解析】 设α+3β=x(α+β)+y(α+2β)=(x+y)α+(x+2y)β.‎ 则解得 因为-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6,‎ 两式相加,得1≤α+3β≤7.‎ 所以α+3β的取值范围是[1,7].‎ ‎【答案】 [1,7]‎ ‎(1)判断不等式命题真假的方法 ‎①判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式性质.‎ ‎②在判断一个关于不等式的命题真假时,先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假.‎ ‎(2)充要条件的判断方法 利用两命题间的关系,看p能否推出q,再看q能否推出p,充分利用不等式性质或特值求解.‎ ‎(3)求代数式的取值范围 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时,多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围,解决此类问题,一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围,是避免错误的有效途径.  ‎ ‎ 已知△ABC的三边长a,b,c满足b+c≤2a,c+a≤2b,则的取值范围是________.‎ 解析:因为b+c≤2a,c+a≤2b,c>a-b,c>b-a,‎ 所以问题等价于不等式组有解,‎ 所以⇒<<,‎ 即的取值范围是.‎ 答案: ‎      比较两个数(式)的大小 ‎ (1)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1].证明:f(x)≥1-x+x2;‎ ‎(2)若a=,b=,比较a与b的大小.‎ ‎【解】 (1)证明:因为1-x+x2-x3==,由于x∈[0,1],有≤,‎ 即1-x+x2-x3≤,‎ 所以f(x)≥1-x+x2.‎ ‎(2)因为a=>0,b=>0,‎ 所以=·===log8 9>1,所以a>b.‎ ‎  ‎ ‎1.设m=(x+2)(x+3),n=2x2+5x+9,则m与n的大小关系为(  )‎ A.m>n B.m0,b>0)两个代数式的大小.‎ 解:因为+-(a+b)= ‎== ‎=.‎ 又因为a>0,b>0,所以≥0,‎ 故+≥a+b.‎ ‎[基础题组练]‎ ‎1.(2020·嘉兴期中)若x>y,m>n,下列不等式正确的是(  )‎ A.m-y>n-x       B.xm>yn C.> D.x-m>y-n 解析:选A.对于B,x=1,y=-2,m=-1,n=-2时不成立,‎ 对于C,x=1,y=-2,m=-1,n=-2时不成立,‎ 因为x>y,m>n,所以x+m>y+n,所以m-y>n-x.A正确,‎ 易知D不成立,故选A.‎ ‎2.(2020·义乌质检)设α∈,β∈,那么2α-的取值范围是(  )‎ A. B. C.(0,π) D. 解析:选D.由题设得0<2α<π,0≤≤,‎ 所以-≤-≤0,所以-<2α-<π.‎ ‎3.设实数x,y满足0<xy<1且0<x+y<1+xy,那么x,y的取值范围是(  )‎ A.x>1且y>1 B.0<x<1且y<1‎ C.0<x<1且0<y<1 D.x>1且0<y<1‎ 解析:选C.⇒又x+y<1+xy,所以1+xy-x-y>0,即(x-1)(y-1)>0,‎ 所以或(舍去),所以 ‎4.(2020·温州校级月考)下列不等式成立的是(  )‎ A.若|a|<b,则a2>b2‎ B.若|a|>b,则a2>b2‎ C.若a>b,则a2>b2‎ D.若a>|b|,则a2>b2‎ 解析:选D.若|a|<b,则a2<b2,故A错误;若a=b<0,则|a|>b,则a2=b2,故B错误;‎ 若-a=b<0,则a>b,则a2=b2,故C错误;‎ 若a>|b|,则a2>b2,故D正确.故选D.‎ ‎5.已知a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是(  )‎ A.若a>b,则ac2>bc2‎ B.若>,则a>b C.若a3>b3且ab<0,则> D.若a2>b2且ab>0,则< 解析:选C.当c=0时,可知A不正确;当c<0时,可知B不正确;由a3>b3且ab<0知a>0且b<0,所以>成立,C正确;当a<0且b<0时,可知D不正确.‎ ‎6.已知实数a,b,c.(  )‎ A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100‎ B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100‎ C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100‎ D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100‎ 解析:选D.取a=10,b=10,c=-110,可排除选项A;取a=10,b=-100,c=0,可排除选项B;取a=10,b=-10,c=0,可排除选项C.故选D.‎ ‎7.(2020·严州模拟)若a10,‎ 即a1b1+a2b2>a1b2+a2b1.‎ 答案:a1b1+a2b2>a1b2+a2b1‎ ‎8.a,b∈R,a<b和<同时成立的条件是________.‎ 解析:若ab<0,由a<b两边同除以ab得,>,‎ 即<;若ab>0,则>.‎ 所以a<b和<同时成立的条件是a<0<b.‎ 答案:a<0<b ‎9.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 cm,要求菜园的面积不小于216 m2,靠墙的一边长为x m,其中的不等关系可用不等式(组)表示为________.‎ 解析:矩形靠墙的一边长为x m,则另一边长为 m,即 m,根据题意知 答案: ‎10.已知二次函数y=f(x)的图象过原点,且1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,则f(-2)的取值范围是________.‎ 解析:因为f(x)过原点,所以设f(x)=ax2+bx(a≠0).‎ 由得 所以f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).‎ 又 所以6≤3f(-1)+f(1)≤10,‎ 即f(-2)的取值范围是[6,10].‎ 答案:[6,10]‎ ‎11.(2020·嘉兴期中)已知a,b是正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.‎ 解:(a3+b3)-(a2b+ab2)‎ ‎=(a3-a2b)+(b3-ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)‎ ‎=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),‎ 因为a≠b,a>0,b>0,‎ 所以(a-b)2(a+b)>0,‎ 所以a3+b3>a2b+ab2.‎ ‎12.已知a>b>0,m>0且m≠a.试比较:与的大小.‎ 解:-==.‎ 因为a>b>0,m>0.‎ 所以a-b>0,m(a-b)>0.‎ ‎(1)当a>m时,a(a-m)>0,‎ 所以>0,‎ 即->0,‎ 故>.‎ ‎(2)当a0且a≠1,则“ab>1”是“(a-1)b>0”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选C.由ab>1⇒或由(a-1)b>0⇒或又a>0且a≠1,所以“ab>1”是“(a-1)b>0”的充要条件.‎ ‎2.若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是(  )‎ A.a+<a>ab,则实数b的取值范围是________.‎ 解析:因为ab2>a>ab,‎ 所以a≠0,‎ 当a>0时,b2>1>b,‎ 即解得b<-1;‎ 当a<0时,b2<15时,y1y2.‎ 因此当单位去的人数为5人时,两车队收费相同;多于5人时,选甲车队更优惠;少于5人时,选乙车队更优惠.‎ ‎6.设不等式+≤a对一切x>0,y>0恒成立,求实数a的最小值.‎ 解:原题即a≥对一切x>0,y>0恒成立,‎ 设A=,‎ A2==1+≤2,‎ 当x=y时等号成立,因为A>0,‎ 所以0<A≤ ,即A有最大值.‎ 所以当a≥ 时,+≤a对一切x>0,y>0恒成立.‎ 所以a的最小值为.‎
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