专题13 导数与函数的极值、最值问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板
【高考地位】
导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.
【方法点评】
类型一 利用导数研究函数的极值
使用情景：一般函数类型
解题模板：第一步 计算函数的定义域并求出函数的导函数；
第二步 求方程的根；
第三步 判断在方程的根的左、右两侧值的符号；
第四步 利用结论写出极值.
例1 已知.
（1）若，求曲线的单调性；
（2）若在处取得极大值，求实数的取值范围.
【答案】（1）在上为减函数;（2）
③若，则当时，故在上单调递增；
当时， ，故在上单调递减，所以当时， ，
即，故在上点掉递减，不满足题意.
④若，则，当时， ，故在上单调递减，
且当时， ，即；当时， ，
即，又，所以在处取得极大值，满足题意，
综上，实数的取值范围是.
【变式演练1】已知函数在处有极值10，则等于（ ）
A．11或18 B．11 C．18 D．17或18
【答案】C
【解析】
试题分析：,或．当时,在处不存在极值．当时，，；,符合题意．所以．．故选C．
考点：函数的单调性与极值．
【变式演练2】设函数，若是的极大值点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
考点：函数的极值．
【变式演练3】函数在上无极值，则_____.
【答案】
【解析】
试题分析：因为，
所以，由得或，又因为函数在上无极值，而，所以只有，时，在上单调，才合题意，故答案为.
考点：1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究函数的单调性.
【变式演练4】已知等比数列的前项和为，则的极大值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
考点：1、等比数列的性质；2、利用导数研究函数的单调性及极值．
【变式演练5】设函数有两个不同的极值点，，且对不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：因为,故得不等式,即,
由于,令得方程,因
, 故，代入前面不等式,并化简得,解不等式得或，因此, 当或时, 不等式成立,故答案为.
考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.
【变式演练6】已知函数的极大值点和极小值点都在区间内, 则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：.
考点：导数与极值．
类型二 求函数在闭区间上的最值
使用情景：一般函数类型
解题模板：第一步 求出函数在开区间内所有极值点；
第二步 计算函数在极值点和端点的函数值；
第三步 比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
例2 已知函数， .
（1）求函数在上的最值；
（2）求函数的极值点.
【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）见解析.
（2）依题意， ， ，当时，令，则.因为，所以 ，其中， .因为，所以， ，所以当时， ，当时， ，所以函数在上是增函数，在上是减函数，故为函数的极大值点，函数无极小值点.
【变式演练7】已知.
（1）求函数最值；
（2）若，求证：.
【答案】（1） 取最大值，无最小值；（2）详见解析.
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
若，则，
欲证：，只需证：，
∵函数在单调递减，
只需证：，考虑到，即证，也即证
下证：，
设，
，
∴，故g（x）在上单调递增，
故时，g（x）
0，单调递增；（Ⅱ）.
【解析】
（II）令=，=.
则=.
而当时，>0，
所以在区间内单调递增.
又由=0，有>0，
从而当时，>0.
当，时，=.
故当>在区间内恒成立时，必有.
当时，>1.
由（I）有,从而，
所以此时>在区间内不恒成立.
当时，令，
当时，，
因此，在区间单调递增.
又因为，所以当时， ，即 恒成立.
综上，．
考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题.
【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求，解方程，再通过的正负确定的单调性；要证明函数不等式，一般证明的最小值大于0，为此要研究函数的单调性．本题中注意由于函数有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到．有一定的难度．
【反馈练习】
1．【辽宁省鞍山市第一中学2018届高三上学期第一次模拟考试数学（文）试题】已知函数f(x)=x2-3x-1,在区间[-3，2]上最大值为M，最小值为N，则M-N=（ ）
A. 20 B. 18 C. 3 D. 0
【答案】A
2．【华大新高考联盟2018届11月教学质量测评文科数学试卷】若函数满足，则当时， （ ）
A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值
C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值又无极小值
【答案】C
3．【河南省漯河市高级中学2018届高三上学期第三次模拟考试数学（文）试题】正项等比数列中的是函数的极值点，则的值为（ ）
A. B. C. D. 与的值有关
【答案】C
【解析】，则， ， ，
，故选C。
4．【辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学2018届高三上学期第一次联考数学（理）试题】函数的导函数为，满足，且，则的极值情况为（ ）
A. 有极大值无极小值 B. 有极小值无极大值
C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值
【答案】D
5．【辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学2018届高三上学期第一次联考数学（理）试题】函数的导函数为，满足，且，则的极值情况为（ ）
A. 有极大值无极小值 B. 有极小值无极大值
C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】
将代入可得：
则
=
令则，当时， ，当时， ，故当时， 取最大值0，故恒成立，故恒成立，故既无极大值也无极小值，故选
点睛：根据已知条件要先构造出的解析式的形式，再根据求出，当一阶导数不能判定时可以求二阶导数，利用二阶导数反应一阶导数的单调性，从而反应出原函数的性质。
6．【河南省洛阳市2018届高三上学期尖子生第一次联考数学（理）试题】已知函数有三个不同的零点， ， （其中），则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
点睛：先分离变量得到a=，令g（x）=．求导后得其极值点，求得函数极值，则使g（x）恰有三个零点的实数a的取值范围由g（x）==，再令μ=，转化为关于μ的方程后由根与系数关系得到μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，再结合着μ=的图象可得到（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1．
7．【河南省天一大联考2018届高三上学期阶段性测试（二）（10月） 数学（理）试题】若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________．
【答案】
8．【山西省45校2018届高三第一次联考理数试卷】已知函数满足，当时，，设，若方程在上有且仅有个实数解，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】当时， ， 当时， ，从而，故有，由，可得，在同一坐标系内画出与的图象如图所示：
设为的切线， 为切点， ，由图可知，当位于切线
和割线之间时， 图象与的图象有三个交点，设，由，可得切线，又过，解得，故，又， 当方程在上有且仅有个实数解时，实数的取值范围为，故答案为.
【方法点睛】判断方程 根的个数 的常用方法：① 直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数 零点个数就是方程 根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法： 一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .本题就利用了方法③.
9．【北京市大兴区2016~2017学年度第一次综合练习数学理科试题】已知函数，且．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数有最值，写出的取值范围．（只需写出结论）
【答案】(1) ;(2)详见解析;(3)
当时，定义域为. 当变化时， ， ：
x
—
0
+
0
—
单调减
极小值
单调增
极大值
单调减
故的单调递减区间为， ，
单调递增区间为．
综上所述，
当时， 的单调递减区间为；
当时，故的单调递减区间为， ，
单调递增区间为．
（Ⅲ）
10．【河北省衡水中学2018届高三9月大联考数学（文）试题】已知函数， .
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；(2) .
当时， ，即函数在区间上单调递减，
而， ，
所以函数存在零点；
当时， ， 随的变化情况如表：
极小值
11．【山西实验中学、南海桂城中学2018届高三上学期联考理数试题】已知.
（1）当时，判断函数在区间上的单调性；
（2）求证：曲线不存在两条互相平行且倾斜角为锐角的切线.
【答案】（1）详见解析；（2）证明见解析.
（2）证明：因为
所以要证曲线不存在两条互相平行且倾斜角为锐角的切线，
只需证明：当时,且时函数是单调函数即可.
由（1）可知，当时, 在上递减；在上递增.
因为， .
所以,使得.
所以在区间上， 单调递减，且,在上.
又因为时， ， ，
所以在上.
综上可知，曲线不存在两条互相平行且倾斜角为锐角的切线.
点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.
12．【广西柳州市2018届高三毕业班上学期摸底联考数学（理）试题】已知函数在处取得极小值.
（1）求实数的值；
（2）设，其导函数为，若的图象交轴于两点且，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由.
【答案】（1）（2）不是的根.
所以，即，
所以，
所以，
当时， ，当 时，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以在处取得极小值，符合题意.
所以.
