贵州省毕节市2020届高三诊断性考试（一）理科数学试题

贵州省毕节市2020届高三诊断性考试（一）理科数学试题

毕节市2020届高三年级诊断性考试（一）‎ 理科数学试卷 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共0分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元一次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.‎ ‎【详解】由得，，即，所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查集合的交集的概念和运算，考查一元一次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2.已知i为虚数单位，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数乘方和除法运算求得的表达式.‎ ‎【详解】由得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查复数乘方和除法的运算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎3.设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式、绝对值不等式，对已知进行化简，结合充分、必要条件的知识选出正确选项.‎ ‎【详解】由，解得；由得.由于，所以“”是“”的充分不必要条件.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题.‎ ‎4.已知m，n，p，q成等差数列，且函数（且）的图象过定点，则（ ）‎ A. -8 B. -7 C. -6 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质列方程，求得定点的具体值，进而求得的值.‎ ‎【详解】由于成等差数列，所以①，当，即时，，即的图像过定点，所以，代入①得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查指数型函数过定点问题，属于基础题.‎ ‎5.已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数运算求得的值，利用指数函数单调性比较的大小，利用对数函数单调性比较的大小，由此确定三者大小关系.‎ ‎【详解】，由于在上递减，故，即，而在上递减，故，所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查对数运算，考查利用指数函数、对数函数单调性比较大小，属于基础题.‎ ‎6.若变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ A. 1 B. -2 C. -5 D. -7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域，向上平移基准直线到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值.‎ ‎【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线 到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用线性规划求目标函数最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，如果输出则（ ）‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运行程序，当时，退出程序，根据输出的，求得的值.‎ ‎【详解】运行程序，，进入循环结构：，判断否；，判断否；；判断否；，判断否；，判断否；‎ ‎，判断是，输出，故.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图输出结果求参数，考查对数运算，属于基础题.‎ ‎8.某商店决定在国庆期间举行特大优惠活动，凡消费达到一定数量以上者，可获得一次抽奖机会.抽奖工具是如图所示的圆形转盘，区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的面积成公比为2的等比数列，指针箭头指在区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ时，分别表示中一等奖、二等奖、三等奖和不中奖，则一次抽奖中奖的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用几何概型的知识，结合等比数列前项和公式列方程，解方程求得等比数列的通项公式，由此求得中奖概率.‎ ‎【详解】根据几何概型的知识可知，中等奖以及不中奖的概率成公比为的等比数列，设一等奖概率为，，故，解得.故中奖的概率为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查几何概型，考查等比数列前项和公式，属于基础题.‎ ‎9.据《九章算术》记载，“鳖臑（biēnào）”为四个面都是直角三角形的三棱锥.现有一个“鳖臑”如图，底面ABC，，且，则异面直线PB与AC所成角的大小为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的结构，将其补形为正方体，作出异面直线所成角，由此求得异面直线PB与AC所成角的大小.‎ ‎【详解】依题意可知底面ABC，，且，故可将几何体补形为正方体如下图所示，由于所以是异面直线PB与AC所成角，而三角形是等边三角形，所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，考查中国古代数学文化，属于基础题.‎ ‎10.已知向量，，若，则向量与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得的坐标，根据列方程，解方程求得的值.求得，由此求得向量与的夹角.‎ ‎【详解】，由得解得，故，所以，故.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查平面向量减法、数量积和模的坐标运算，考查两个向量夹角的计算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎11.已知抛物线的焦点为F，Q为抛物线上一点，连接并延长交抛物线的准线于点P，且点P的纵坐标为负数，若，则直线PF的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. 或 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的纵坐标为负数，判断出直线斜率大于零，设直线的倾斜角为，根据抛物线的定义，求得的值，进而求得，从而求得也即直线的斜率，利用点斜式求得直线的方程.‎ ‎【详解】由于的纵坐标为负数，所以直线斜率大于零，由此排除B,C选项.设直线的倾斜角为.作出抛物线和准线的图像如下图所示.作，交准线于点.根据抛物线的定义可知，且.依题意，故在直角三角形中，所以 ‎，故直线的斜率为，所以直线的方程为，化简得.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎12.已知，，则方程的实数根个数为（ ）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分段函数表示出，画出的图像，根据图像与的交点个数，求得方程的实数根个数.‎ ‎【详解】，而.‎ 所以.令，当时，，递减；当时，递增.由此画出图像下图所示.由于可知，图像与的交点个数为个.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13.已知的展开式中的系数为5，则________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用乘法分配律，结合二项式展开式的通项公式，利用展开式中的系数为列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】依题意可知，展开式中的项为，所以，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查乘法分配律，属于基础题.‎ ‎14.设数列满足，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得的值，然后利用退作差法，求得，由此求得的值.‎ ‎【详解】由①得：‎ 当时，；‎ 当时，②， ①-②得.‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，属于基础题.‎ ‎15.关于函数有下列命题，其中正确的是________.‎ ‎①的表达式可改写为；‎ ‎②是以π为最小正周期的周期函数；‎ ‎③的图象关于点对称 ‎④的图象关于直线对称 ‎【答案】②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式、三角函数的最小正周期公式、正弦型三角函数的对称性对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的序号.‎ ‎【详解】对于①，由诱导公式得.故①错误.‎ 对于②，的最小正周期为，故②正确.‎ 由于，所以是的对称轴，故③错误、④正确.‎ 故答案为：②④‎ ‎【点睛】本小题主要考查诱导公式的运用，考查三角函数的最小正周期、对称性等知识，属于基础题.‎ ‎16.已知圆上有且仅有三个点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得圆心和半径，根据圆上有且仅有三个点到双曲线渐近线的距离为，判断出渐近线和圆的位置关系，根据点到直线距离公式列方程，由此求得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】圆方程可化为，故圆心为，半径.由于圆上有且仅有三个点到双曲线一条渐近线的距离为，所以圆心到渐近线的距离为 ‎.不妨设双曲线的一条渐近线为，即，由点到直线距离公式得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查双曲线的渐近线和离心率 三、解答题：本大题共7小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况，将所得数据绘制成如图的频率分布直方图.‎ ‎（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该市企业年上缴税收的平均值；‎ ‎（Ⅱ）以直方图中的频率作为概率，从该市企业中任选4个，这4个企业年上缴税收位于（单位：万元）的个数记为X，求X的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（Ⅰ）33.6；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）先求得的频率，利用每组中点值作为代表，成立各自的频率然后相加，求得该市企业年上缴税收的平均值.‎ ‎（II）利用二项分布概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.‎ ‎【详解】（Ⅰ）根据频率分布直方图得：‎ ‎∴该市企业年上缴税收平均值估计为：‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎∵‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本小题主要考查补全频率分布直方图，考查根据频率分布直方图估计平均数，考查二项分布的识别和分布列、数学期望的计算，属于中档题.‎ ‎18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，．‎ ‎（Ⅰ）求a；‎ ‎（Ⅱ）设D为BC边上一点，且，求的面积 ‎【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）先求得的值，由此求得的大小，利用列方程，求得的值，由此利用余弦定理求得的值.‎ ‎（II）求得，求得和的面积比，结合的面积，求得的面积.‎ ‎【详解】（Ⅰ）得 ‎∵，∴‎ 又，∴，∵，∴‎ 由余弦定理得，∴ ‎ ‎（Ⅱ）由题设可得，∴，‎ 故面积与面积比值为.‎ 又的面积为.‎ 所以的面积为 ‎【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查平面向量数量积运算，考查三角形面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎19.已知四棱锥的底面ABCD是菱形，且，是等边三角形.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若平面平面ABCD，求二面的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）取AB的中点O，连接OP，OD，BD，利用等比三角形的性质得到，利用有一个角是的菱形的几何性质，证得，由此证得平面，从而证得.‎ ‎（II）证得，结合，以为原点，建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面的法向量，求得二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）证明：取AB的中点O，连接OP，OD，BD ‎∵是等边三角形，∴‎ 又∵四边形ABCD是菱形， ‎ ‎∴是等边三角形 ‎∴‎ ‎∵，PO，平面POD ‎∴平面POD ‎∵平面POD ‎∴ ‎ ‎（Ⅱ）∵平面平面ABCD，平面平面，∴平面ABCD，∴‎ 以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，‎ 设 平面PAB的一个法向量为，，，‎ ‎∴，‎ 设平面PBC的一个法向量为，则 令，得，‎ ‎∴‎ 设二面角平面角为，为钝角 ‎∴‎ ‎【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明线线垂直，考查面面垂直的性质定理，考查空间向量法计算二面角的余弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）若关于x的不等式在上有解，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）极大值为，无极小值；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）求得函数的定义域和导函数，对分成两种情况分类讨论，求得函数的极值.‎ ‎（II）对不等式分离常数，即在上有解，构造函数，利用导数求得在区间上的最大值，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，，‎ 当时，恒成立，∴在上为增函数，此时无极值 当时，‎ 令得 令得 ‎∴在是增函数，在是减函数.‎ ‎∴的极大值为，无极小值 ‎ ‎（Ⅱ）由得 ‎∵，∴在上有解，令，，‎ 令得，令得 ‎∴在上是增函数，在上是减函数 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值和最值，考查不等式在给定区间上有解的问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎21.已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为B、A，，是椭圆内一点，直线AM、BM分别与椭圆C交于P、Q两点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若的面积是的面积的5倍，求实数m的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据椭圆的长轴长、离心率，求得的值，进而求得的值，由此求得椭圆的标准方程.‎ ‎（II）求得直线的方程，代入椭圆方程，求得两点的纵坐标.根据已知得到，将其转化为，由此列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由，得，又因为，得，所以，‎ 所以椭圆的标准方程为 ‎ ‎（Ⅱ）因为，，，‎ 所以，所以，由，解得，同理可得，又因为，即 所以，所以，因为 所以，因为点M在椭圆内，所以，‎ 所以 ‎【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中三角形面积计算有关问题，考查直线方程，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.‎ ‎22.将圆上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得曲线C.‎ ‎（Ⅰ）写出曲线C的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与曲线C的交点为、，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（为参数）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据变换前后坐标的对应关系，利用代入法，求得曲线的直角坐标方程，进而求得其参数方程.‎ ‎（II）联立直线和曲线的直角坐标方程，求得交点的坐标，由此求得线段中点坐标，结合所求直线的斜率，求得其直角坐标方程，再转化为极坐标方程.‎ ‎【详解】（Ⅰ）设圆上的一点，在已知变换下变为点，依题意，得 由得 即曲线C的方程为，‎ 所以曲线C参数方程为（为参数） ‎ ‎（Ⅱ）由，解得或 不妨设，，则线段的中点坐标为，‎ 所求直线斜率，所以所求直线方程为 转化为极坐标方程为，即 ‎【点睛】本小题主要考查坐标变换，考查椭圆参数方程，考查直线和椭圆相交交点坐标的求法，考查两条直线垂直时斜率的关系，考查直线的极坐标方程的求法，属于中档题.‎ ‎23.（Ⅰ）解不等式 ‎（Ⅱ）已知，，且，求的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）利用零点分段法，将表示为分段的形式，由此求得不等式的解集.‎ ‎（II）由转化为，利用“乘法”，结合基本不等式，求得的最小值.‎ ‎【详解】（I）解：因为 所以由，解得 所以原不等式的解集是 ‎ ‎（II）解：由，∴，∴‎ 当且仅当时，取最小值，即，时，的最小值是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查“乘法”解与基本不等式的运用有关问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎