数学卷·2018届安徽省宣城市郎溪中学等四校联考高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届安徽省宣城市郎溪中学等四校联考高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年安徽省宣城市郎溪中学等四校联考高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卷的相应位置）‎ ‎1．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（　　）‎ A．P1=P2＜P3 B．P2=P3＜P1 C．P1=P3＜P2 D．P1=P2=P3‎ ‎2．有五组变量：‎ ‎①汽车的重量和汽车每消耗l升汽油所行驶的平均路程；‎ ‎②平均日学习时间和平均学习成绩；‎ ‎③某人每日吸烟量和其身体健康情况；‎ ‎④正方形的边长和面积；‎ ‎⑤汽车的重量和百公里耗油量；‎ 其中两个变量成正相关的是（　　）‎ A．①③ B．②④ C．②⑤ D．④⑤‎ ‎3．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（　　）‎ A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 ‎4．利用秦九韶算法求当x=2时，f（x）=5x6+4x5+x4+3x3﹣81x2+9x﹣1的值时，进行的加法、乘法运算的次数分别为（　　）‎ A．6，11 B．6，6 C．7，5 D．6，13‎ ‎5．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．将甲，乙两名同学5次物理测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲，乙两人成绩的中位数分别是x甲，x乙，下列说法正确的是（　　）‎ A．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定 B．x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定 C．x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定 D．x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定 ‎7．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）‎ A．至少有1个白球；都是白球 B．至少有1个白球；至少有1个红球 C．恰有1个白球；恰有2个白球 D．至少有一个白球；都是红球 ‎8．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A．08 B．07 C．02 D．01‎ ‎9．下列有关命题的说法错误的是（　　）‎ A．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题为：“两直线不平行，同位角不相等”‎ B．“若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题为真命题 C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题 D．对于命题p：∃x0∈R，，则¬p：∀x∈R，x2+2x+2＞0‎ ‎10．下列各数中最小的数是（　　）‎ A．85（9） B．210（6） C．1000（4） D．111111（2）‎ ‎11．椭圆的离心率为e，点（1，e）是圆x2+y2﹣4x﹣4y+4=0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是（　　）‎ A．3x+2y﹣4=0 B．4x+6y﹣7=0 C．3x﹣2y﹣2=0 D．4x﹣6y﹣1=0‎ ‎12．若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值是（　　）‎ A． B．﹣ C．﹣2 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置）‎ ‎13．已知x1，x2，x3，…xn的平均数为4，标准差为7，则3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的平均数是　　；标准差是　　．‎ ‎14．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表 广告费用x（万元）‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y（万元）‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为　　．‎ ‎15．命题p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0，q：实数x满足x2﹣x﹣6＜0，￢p是￢q的必要不充分条件，则a的范围是　　．‎ ‎16．2016年国庆节前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．分别求满足下列条件的椭圆方程 ‎（1）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点p1（，1），p2（﹣，﹣）；‎ ‎（2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0）．‎ ‎18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．‎ ‎（1）求直方图中x的值；‎ ‎（2）求月平均用电量的众数和中位数；‎ ‎（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？‎ ‎19．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：‎ ‎（1）两数中至少有一个奇数的概率；‎ ‎（2）以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点（x，y）在圆x2+y2=15的外部或圆上的概率．‎ ‎20．已知命题P：方程x2+kx+4=0有两个不相等的负实数根；命题q：过点（1，2）总可以作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0相切，若p∨q”为真，p∧q为假，求实数k的取值范围．‎ ‎21．已知椭圆G： =1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆G的方程；‎ ‎（Ⅱ）求△PAB的面积．‎ ‎22．已知椭圆=1（a＞b＞c＞0，a2=b2+c2）的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b﹣c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于（a﹣c）．‎ ‎（1）证明：椭圆上的点到点F2的最短距离为a﹣c；‎ ‎（2）求椭圆的离心率e的取值范围；‎ ‎（3）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长s的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年安徽省宣城市郎溪中学等四校联考高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卷的相应位置）‎ ‎1．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（　　）‎ A．P1=P2＜P3 B．P2=P3＜P1 C．P1=P3＜P2 D．P1=P2=P3‎ ‎【考点】简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法．‎ ‎【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，‎ 即P1=P2=P3．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．有五组变量：‎ ‎①汽车的重量和汽车每消耗l升汽油所行驶的平均路程；‎ ‎②平均日学习时间和平均学习成绩；‎ ‎③某人每日吸烟量和其身体健康情况；‎ ‎④正方形的边长和面积；‎ ‎⑤汽车的重量和百公里耗油量；‎ 其中两个变量成正相关的是（　　）‎ A．①③ B．②④ C．②⑤ D．④⑤‎ ‎【考点】变量间的相关关系；两个变量的线性相关．‎ ‎【分析】①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程是负相关的关系；②平均日学习时间和平均学习成绩的关系是一个正相关； ③某人每日吸烟量和其身体健康情况是负相关的关系；④正方形的边长和面积的倒数的关系是函数关系；⑤汽车的重量和百公里耗油量是正相关的；‎ ‎【解答】解：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程是负相关的关系；‎ ‎②平均日学习时间和平均学习成绩的关系是一个正相关； ‎ ‎③某人每日吸烟量和其身体健康情况是负相关的关系；‎ ‎④正方形的边长和面积的倒数的关系是函数关系；‎ ‎⑤汽车的重量和百公里耗油量是正相关的．‎ 故两个变量成正相关的是②⑤．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（　　）‎ A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 ‎【考点】极差、方差与标准差；分布的意义和作用；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】根据平均数公式分别求出甲与乙的平均数，然后利用方差公式求出甲与乙的方差，从而可得到结论．‎ ‎【解答】解： =×（4+5+6+7+8）=6，‎ ‎=×（5+5+5+6+9）=6，‎ 甲的成绩的方差为×（22×2+12×2）=2，‎ 以的成绩的方差为×（12×3+32×1）=2.4．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．利用秦九韶算法求当x=2时，f（x）=5x6+4x5+x4+3x3﹣81x2+9x﹣1的值时，进行的加法、乘法运算的次数分别为（　　）‎ A．6，11 B．6，6 C．7，5 D．6，13‎ ‎【考点】秦九韶算法．‎ ‎【分析】利用“秦九韶算法”即可得出．‎ ‎【解答】解：f（x）=5x6+4x5+x4+3x3﹣81x2+9x﹣1=（（（（（5x+4）x+1）x+3）x﹣81）x+9）x﹣1，‎ 因此利用“秦九韶算法”计算多项式f（x）当x=2的值的时候需要做乘法和加法的次数分别是：6，6．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．‎ ‎【解答】解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，‎ 两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，‎ 故前者是后者的充分条件，‎ ‎∵当两条直线平行时，得到，‎ 解得a=﹣2，a=1，‎ ‎∴后者不能推出前者，‎ ‎∴前者是后者的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．将甲，乙两名同学5次物理测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲，乙两人成绩的中位数分别是x甲，x乙，下列说法正确的是（　　）‎ A．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定 B．x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定 C．x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定 D．x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定 ‎【考点】茎叶图．‎ ‎【分析】利用茎叶图的性质和中位数定义求解．‎ ‎【解答】解：∵x甲=79，x乙=82，‎ 且在茎叶图中，乙的数据更集中，‎ ‎∴x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）‎ A．至少有1个白球；都是白球 B．至少有1个白球；至少有1个红球 C．恰有1个白球；恰有2个白球 D．至少有一个白球；都是红球 ‎【考点】互斥事件与对立事件．‎ ‎【分析】由题意知所有的实验结果为：“都是白球”，“1个白球，1个红球”，“都是红球”，再根据互斥事件的定义判断．‎ ‎【解答】解：A、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，故A不对；‎ B、“至少有1个红球”包含“1个白球，1个红球”和“都是红球”，故B不对；‎ C、“恰有1个白球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，故C对；‎ D、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，与都是红球，是对立事件，故D不对；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A．08 B．07 C．02 D．01‎ ‎【考点】简单随机抽样．‎ ‎【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．‎ ‎【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，‎ 第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，‎ 第三个数为08，符合条件，‎ 以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，‎ 故第5个数为01．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．下列有关命题的说法错误的是（　　）‎ A．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题为：“两直线不平行，同位角不相等”‎ B．“若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题为真命题 C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题 D．对于命题p：∃x0∈R，，则¬p：∀x∈R，x2+2x+2＞0‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】A，原命题的逆否命题命题是交换条件和结论，并同时否定，所以“同位角相等，两直线平行”的逆否命题为：“两直线不平行，同位角不相等“；‎ B，若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题为“若实数x，y满足x2+y2≠0，则x，y不全为0“，是真命题；‎ C，若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题；‎ D，特称命题的否定要换量词，再否定结论；对于命题p：∃x0∈R，，则¬p：∀x∈R，x2+2x+2＞0．‎ ‎【解答】对于A，原命题的逆否命题命题是交换条件和结论，并同时否定，所以“同位角相等，两直线平行”的逆否命题为：“两直线不平行，同位角不相等“，故A正确；‎ 对于B，若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题为“若实数x，y满足x2+y2≠0，则x，y不全为0“，是真命题，故B正确；‎ C，若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，故C错；‎ D，特称命题的否定要换量词，再否定结论；对于命题p：∃x0∈R，，则¬p：∀x∈R，x2+2x+2＞0，故D正确；‎ ‎ 故答案为C．‎ ‎　‎ ‎10．下列各数中最小的数是（　　）‎ A．85（9） B．210（6） C．1000（4） D．111111（2）‎ ‎【考点】进位制．‎ ‎【分析】将四个答案中的数都转化为十进制的数，进而可以比较其大小．‎ ‎【解答】解：85（9）=8×9+5=77，‎ ‎210（6）=2×62+1×6=78，‎ ‎1000（4）=1×43=64，‎ ‎111111（2）=1×26﹣1=63，‎ 故最小的数是111111（2）‎ 故选：D ‎　‎ ‎11．椭圆的离心率为e，点（1，e）是圆x2+y2﹣4x﹣4y+4=0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是（　　）‎ A．3x+2y﹣4=0 B．4x+6y﹣7=0 C．3x﹣2y﹣2=0 D．4x﹣6y﹣1=0‎ ‎【考点】直线的一般式方程；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】求出椭圆的离心率，然后求出（1，e）圆心的斜率，即可得到弦的斜率，求出直线方程．‎ ‎【解答】解：椭圆的离心率为：，圆的圆心坐标（2，2），所以弦的斜率为： =，‎ 所以过点（1，）的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是y﹣=（x﹣1）‎ 即：4x+6y﹣7=0．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值是（　　）‎ A． B．﹣ C．﹣2 D．4‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由题意可得2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆心，可得a+b=1，则=+=2++，再利用基本不等式求得它的最小值．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+1=0，即（x+1）2+（y﹣2）2 =4，表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于2的圆．‎ 再根据弦长为4，可得2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2=0，‎ 求得a+b=1，则=+=2++≥4，当且仅当a=b=时，取等号，‎ 故则的最小值为4，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置）‎ ‎13．已知x1，x2，x3，…xn的平均数为4，标准差为7，则3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的平均数是　14　；标准差是　21　．‎ ‎【考点】极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】根据x1，x2，x3，…，xn的平均数与标准差，把这组数据做相同的变化，数据的倍数影响平均数与方差、标准差，从而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵样本x1，x2，…，xn的平均数为4，标准差为7，∴方差是72=49；‎ ‎∴3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3xn+2的平均数是3×4+2=14，‎ 方差是32×72，‎ 标准差是3×7=21．‎ 故答案为：14，21．‎ ‎　‎ ‎14．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表 广告费用x（万元）‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y（万元）‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为　65.5万元　．‎ ‎【考点】回归分析的初步应用．‎ ‎【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．‎ ‎【解答】解：∵=3.5，‎ ‎=42，‎ ‎∵数据的样本中心点在线性回归直线上，‎ 回归方程中的为9.4，‎ ‎∴42=9.4×3.5+a，‎ ‎∴=9.1，‎ ‎∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，‎ ‎∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，‎ 故答案为：65.5万元．‎ ‎　‎ ‎15．命题p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0，q：实数x满足x2﹣x﹣6＜0，￢p是￢q的必要不充分条件，则a的范围是　[﹣，0）　．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】解关于q的不等式，根据若￢p是￢q的必要不充分条件，得到（3a，a）⊊（﹣2，3），从而求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0，‎ q：实数x满足x2﹣x﹣6＜0，解得：﹣2＜x＜3，‎ 若￢p是￢q的必要不充分条件，‎ 即q是p的必要不充分条件，‎ 故（3a，a）⊊（﹣2，3），‎ 故，解得：﹣≤a＜0，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．2016年国庆节前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，要满足条件须|x﹣y|≤2，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案 ‎【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，‎ 由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，‎ 它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，‎ 由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，‎ 由图可知所求的概率为：；‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．分别求满足下列条件的椭圆方程 ‎（1）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点p1（，1），p2（﹣，﹣）；‎ ‎（2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0）．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0且m≠n），把P1，P2代入椭圆方程求得m，n的值，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）分焦点在x轴上和焦点在y轴上设出椭圆的标准方程，结合已知条件列式求得a，b的值，则椭圆方程可求．‎ ‎【解答】解：（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0且m≠n）．‎ ‎∵椭圆经过点P1，P2，∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程．‎ 则，解得．‎ ‎∴所求椭圆方程为；‎ ‎（2）若焦点在x轴上，设方程为（a＞b＞0），‎ ‎∵椭圆过P（3，0），∴，即a=3，‎ 又2a=3×2b，∴b=1，‎ 则椭圆方程为+y2=1．‎ 若焦点在y轴上，设方程为（a＞b＞0）．‎ ‎∵椭圆过点P（3，0）．∴，即b=3．‎ 又2a=3×2b，∴a=9，‎ 则椭圆方程为．‎ ‎∴所求椭圆的方程为+y2=1或．‎ ‎　‎ ‎18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．‎ ‎（1）求直方图中x的值；‎ ‎（2）求月平均用电量的众数和中位数；‎ ‎（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；‎ ‎（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；‎ ‎（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．‎ ‎【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，‎ 解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；‎ ‎（2）月平均用电量的众数是=230，‎ ‎∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，‎ ‎∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，‎ 设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，‎ ‎∴月平均用电量的中位数为224；‎ ‎（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，‎ 月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，‎ 月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，‎ 月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，‎ ‎∴抽取比例为=，‎ ‎∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户 ‎　‎ ‎19．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：‎ ‎（1）两数中至少有一个奇数的概率；‎ ‎（2）以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点（x，y）在圆x2+y2=15的外部或圆上的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（1）由题意，先后抛掷2次，向上的点（x，y）共有n=6×6=36种等可能结果，为古典概型，利用对立事件概率计算公式能求出两数中至少有一个奇数的概率．‎ ‎（2）点（x，y）在圆x2+y2=15的内部记为事件C，则表示“点（x，y）在圆x2+y2=15上或圆的外部”，由此利用对立事件概率计算公式能求出点（x，y）在圆x2+y2=15的外部或圆上的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，先后抛掷2次，‎ 向上的点（x，y）共有n=6×6=36种等可能结果，为古典概型．‎ 记“两数中至少有一个奇数”为事件B，‎ 则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，记为．‎ ‎∵事件包含的基本事件数m=3×3=9．‎ ‎∴P（）==，则P（B）=1﹣P（）=，‎ 因此，两数中至少有一个奇数的概率为．‎ ‎（2）点（x，y）在圆x2+y2=15的内部记为事件C，‎ 则表示“点（x，y）在圆x2+y2=15上或圆的外部”．‎ 又事件C包含基本事件：‎ ‎（11），（1，2），（1，3），（2，1），‎ ‎（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8种．‎ ‎∴P（C）==，从而P（）=1﹣P（C）=1﹣=．‎ ‎∴点（x，y）在圆x2+y2=15的外部或圆上的概率为．‎ ‎　‎ ‎20．已知命题P：方程x2+kx+4=0有两个不相等的负实数根；命题q：过点（1，2）总可以作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0相切，若p∨q”为真，p∧q为假，求实数k的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】若p∨q”为真，p∧q为假，则p，q一真一假，进而答案．‎ ‎【解答】解：对于P：，则得k＞4‎ 对于q：把圆的方程化为标准方程得（x+）2+（y+1）2=16﹣‎ 所以16﹣＞0，解得﹣＜k＜．‎ 由题意知点（1，2）应在已知圆的外部，‎ 把点代入圆的方程得1+4+k+4+k2﹣15＞0，‎ 即（k﹣2）（k+3）＞0，解得k＞2或k＜﹣3，‎ 则实数k的取值范围是﹣＜k＜﹣3，或2＜k＜．‎ 若p∨q”为真，p∧q为假，则p，q一真一假 ‎（1）p为真，q为假时，易得k∈（4，+∞）．‎ ‎（2）p为假，q为真时，易得 所以所求实数m的取值范围是 ‎　‎ ‎21．已知椭圆G： =1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆G的方程；‎ ‎（Ⅱ）求△PAB的面积．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据椭圆离心率为，右焦点为（，0），可知c=，可求出a的值，再根据b2=a2﹣c2求出b的值，即可求出椭圆G的方程；‎ ‎（Ⅱ）设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程和点A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出△PAB的面积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知得，c=，，‎ 解得a=，又b2=a2﹣c2=4，‎ 所以椭圆G的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，‎ 由得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①‎ 设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），‎ 则x0==﹣，‎ y0=x0+m=，‎ 因为AB是等腰△PAB的底边，‎ 所以PE⊥AB，‎ 所以PE的斜率k=，‎ 解得m=2．‎ 此时方程①为4x2+12x=0．‎ 解得x1=﹣3，x2=0，‎ 所以y1=﹣1，y2=2，‎ 所以|AB|=3，此时，点P（﹣3，2）．‎ 到直线AB：y=x+2距离d=，‎ 所以△PAB的面积s=|AB|d=．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆=1（a＞b＞c＞0，a2=b2+c2）的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b﹣c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于（a﹣c）．‎ ‎（1）证明：椭圆上的点到点F2的最短距离为a﹣c；‎ ‎（2）求椭圆的离心率e的取值范围；‎ ‎（3）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长s的最大值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；椭圆的应用．‎ ‎【分析】（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），根据Q点到右准线的距离和椭圆的第二定义，求得x0的范围，进而求得椭圆上的点到点F2的最短距离 ‎（2）可先表示出|PT|，进而可知当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，根据≥（a﹣c）求得e的范围．‎ ‎（3）设直线的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联立方程组消去y得，根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，代入直线方程求得y1y2，根据OA⊥OB，可知=0，∴k=a，直线的方程为ax﹣y﹣a=0根据圆心F2（c，0）到直线l的距离，进而求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），‎ Q点到右准线的距离为d=﹣x0，‎ 则由椭圆的第二定义知： =，‎ ‎∴|QF2|=a﹣，又﹣a≤x0≤a，‎ ‎∴当x0=a时，‎ ‎∴|QF2|min=a﹣c．‎ ‎（2）依题意设切线长|PT|=‎ ‎∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，‎ ‎∴≥（a﹣c），‎ ‎∴0＜≤，从而解得≤e＜，‎ 故离心率e的取值范围是解得≤e＜，‎ ‎（3）依题意Q点的坐标为（1，0），‎ 则直线的方程为y=k（x﹣1），‎ 与抛物线方程联立方程组消去y得（a2k2+1）x2﹣2a2k2x+a2k2﹣a2=0得，‎ 设A（x1，y1）（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=，‎ 代入直线方程得y1y2=，‎ x1x2=﹣y1y2=，又OA⊥OB，‎ ‎∴=0，‎ ‎∴k=a，‎ 直线的方程为ax﹣y﹣a=0，‎ 圆心F2（c，0）到直线l的距离d=，‎ ‎∴≤e＜•，∴≤c＜1，≤2c+1＜3，‎ ‎∴s∈（0，），所以弦长s的最大值为．‎ ‎　‎