安徽省池州市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

安徽省池州市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

‎2018-2019学年第二学期期末考试卷 高二理科数学 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1.复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数除法运算，化简复数，再根据共轭复数概念得结果 ‎【详解】，故共轭复数.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查复数除法运算以及共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎2.已知线性回归方程相应于点的残差为，则的值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线性回归方程估计y，再根据残差定义列方程，解得结果 ‎【详解】因为相对于点的残差为，所以，所以，解得，故选B ‎【点睛】本题考查利用线性回归方程估值以及残差概念，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎3.由命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最大”可猜想：在表面积为定值的长方体中（ ）‎ A. 正方体的体积取得最大 B. 正方体的体积取得最小 C. 正方体的各棱长之和取得最大 D. 正方体的各棱长之和取得最小 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据类比规律进行判定选择 ‎【详解】根据平面几何与立体几何对应类比关系：周长类比表面积，长方形类比长方体，正方形类比正方体，面积类比体积，因此命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最大”，类比猜想得：在表面积为定值的长方体中，正方体的体积取得最大，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查平面几何与立体几何对应类比，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎4.在一次调查中，根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图，则（ ）‎ A. 两个分类变量关系较强 B. 两个分类变量关系较弱 C. 两个分类变量无关系 ^‎ D. 两个分类变量关系难以判断 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：利用等高条形图中两个分类变量所占比重进行推理即可.‎ 详解：从等高条形图中可以看出2，在中的比重明显大于中的比重，所以两个分类变量的关系较强.‎ 故选：A 点睛：等高条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确的给出所得结论的可靠程度，考查识图用图的能力.‎ ‎5.独立性检验显示：在犯错误的概率不超过0. 1的前提下认为性别与是否喜爱喝酒有关，那么下列说法中正确的是（ ）‎ A. 在100个男性中约有90人喜爱喝酒 B. 若某人喜爱喝酒，那么此人为女性的可能性为10%‎ C. 认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错的可能性至少为10%‎ D. 认为性別与是否喜爱喝酒有关判断正确的可能性至少为90%‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据独立性检验的含义只能得到出错的可能率或正确的可靠率 ‎【详解】独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断，而不是因果关系，故A，B错误.由已知得，认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错概率的可能性至多为10%，故C错误，D正确.选D.‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验的含义，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎6.将6位女生和2位男生平分为两组，参加不同两个兴趣小组，则2位男生在同一组的不同的选法数为（ ）‎ A. 70 B. 40 C. 30 D. 20‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定与2位男生同组的女生，再进行分组排列，即得结果 ‎【详解】2位男生在同一组的不同的选法数为，选C.‎ ‎【点睛】本题考查分组排列问题，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎7.函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数几何意义，结合图象确定选择 ‎【详解】、是分别为1、2时对应图像上点的切线斜率，，为图像上为2和1对应两点连线的斜率，由图可知，，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查导数几何意义，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎8.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项分布求对应概率 ‎【详解】，所以选C.‎ ‎【点睛】本题考查二项分布，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎9.若，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用特殊值排除A,B,C，再根据组合数公式以及二项式定理论证D成立.‎ ‎【详解】令得，，在选择项中，令排除A，C；在选择项中，令，排除B，‎ ‎,故选D ‎【点睛】本题考查组合数公式以及二项式定理应用，考查基本分析化简能力，属中档题.‎ ‎10.某人射击一次命中目标的概率为，且每次射击相互独立，则此人射击 7次，有4次命中且恰有3次连续命中的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于射击一次命中目标的概率为，所以关键先求出射击7次有4次命中且恰有3次连续命中的所有可能数，即根据独立事件概率公式得结果.‎ ‎【详解】因为射击7次有4次命中且恰有3次连续命中有种情况，‎ 所以所求概率为.选B.‎ ‎【点睛】本题考查排列组合以及独立事件概率公式，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎11.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段。下表为10名学生的预赛成绩，其中有些数据漏记了（见表中空白处）‎ 学生序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 立定跳远 ‎（单位：米）‎ ‎1. 96‎ ‎1. 68‎ ‎1. 82‎ ‎1. 80‎ ‎1. 60‎ ‎1. 76‎ ‎1. 74‎ ‎1. 72‎ ‎1. 92‎ ‎1. 78‎ ‎30秒跳绳 ‎（单位：次）‎ ‎63‎ ‎75‎ ‎60‎ ‎62‎ ‎72‎ ‎70‎ ‎63‎ 在这10名学生中进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6 人，则以下判断正确的为（ ）‎ A. 4号学生一定进入30秒跳绳决赛 B. 5号学生一定进入30秒跳绳决赛 C. 9号学生一定进入30秒跳绳决赛 D. 10号学生一定进入30秒眺绳决赛 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定立定跳远决赛的学生，再讨论去掉两个的可能情况即得结果 ‎【详解】进入立定跳远决赛的学生是1，3，4，6，7，8，9，10号的8个学生，由同时进入两项决赛的有6人可知，1，3，4，6，7，8，9，10号有6个学生进入30秒跳绳决赛，在这8个学生的30秒跳绳决赛成绩中，3，6，7号学生的成绩依次排名为1，2，3名，1号和10号成绩相同，若1号和10号不进入30秒跳绳决赛，则4号肯定也不进入，这样同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的只有5人，矛盾，所以1，3，6，7，10号学生必进入30秒跳绳决赛.选D.‎ ‎【点睛】本题考查合情推理，考查基本分析判断能力，属中档题.‎ ‎12.已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ）‎ 附：若随机变量，则，.‎ A. 0.1359 B. 0.7282 C. 0.8641 D. 0.93205‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正态分布密度曲线的对称性和性质，再利用面积比的几何概型求解概率，即可得到答案．‎ ‎【详解】由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：‎ ‎，‎ 故所求的概率为.故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了几何概型中概率的计算，以及正态分布密度曲线的应用，其中解答中熟记正态分布密度曲线的对称性是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ 二、填空题。‎ ‎13.由曲线，坐标轴及直线围成的图形的面积等于______。‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定积分求面积 ‎【详解】.‎ ‎【点睛】本题考查利用定积分求面积，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎14.的展开式中的常数项为______。‎ ‎【答案】240‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数，再代入得结果 ‎【详解】，‎ 令得，，‎ 所以的展开式中的常数项为.‎ ‎【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎15.在如图的数表中，仅列出了前6行，照此排列规律还可以继续排列下去，则数表中第（）行左起第3个数为_______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意先确定每行最后一个数，再求结果 ‎【详解】依排列规律得，数表中第行最后一个数为 第行左起第3个数为.‎ ‎【点睛】本题考查归纳推理，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎16.若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点，设函数（为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，，若存在，且为函数一个不动点，则实数的最小值为________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先构造函数，研究其单调性与奇偶性，再化简不等式，解得取值范围，最后根据不动点定义，利用导数求出的范围，即得最小值.‎ ‎【详解】由，令，‎ 则为奇函数，当时，，‎ 所以在上单调递减，‎ 所以在上单调递减，‎ 因为存在，‎ 所以，‎ 所以，即.‎ 因为为函数一个不动点，‎ 所以在时有解，‎ 令，‎ 因为当时，，‎ 所以函数在时单调递减，且时，，‎ 所以只需，得.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用导数研究方程有解问题，考查综合分析求解能力，属难题.‎ 三、解答题（解答应写出文字说明、解答过稃或演算步骤。）‎ ‎17.在复平面内，复数 （其中）. ‎ ‎（1）若复数为实数，求的值；‎ ‎（2）若复数为纯虚数，求的值；‎ ‎（3）对应的点在第四象限，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】（1）或4；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据复数为实数条件列方程解得结果，（2）根据纯虚数定义列式求解，（3）根据复数几何意义列不等式解得结果 ‎【详解】（1）因为复数为实数，所以，‎ 所以或4；‎ ‎（2）因为复数为纯虚数，所以，‎ 所以 ‎（3）因为对应的点在第四象限，所以 解不等式组得，，‎ 即取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查复数相关概念以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎18.为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访男性、女性各50名，其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”，否则称其为"非健身族”，调查结果如下：‎ 健身族 非健身族 合计 男性 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 女性 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎（1）若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟，则称该社区为“健身社区”. 已知被随机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健分时间分別是1.2小时，0.8小时，1.5小时，0.7小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？‎ ‎（2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关？‎ 参考公式： ，其中. ‎ 参考数据：‎ ‎0. 50‎ ‎0. 40‎ ‎0. 25‎ ‎0. 05‎ ‎0. 025‎ ‎0. 010‎ ‎0. 455‎ ‎0. 708‎ ‎1. 321‎ ‎3. 840‎ ‎5. 024‎ ‎6. 635‎ ‎【答案】（1）该社区不可称为“健身社区”；（2）能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算平均数，再比较数据大小作出判断（2）先求卡方，再对照参考数据作出判断 ‎【详解】（1）随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为 小时， ‎ 由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时，‎ 因为1.15小时小时=70分钟，所以该社区不可称为“健身社区”；‎ ‎（2）由联立表可得，‎ ‎， ‎ 所以能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.‎ ‎【点睛】本题考查计算平均数以及卡方计算，考查基本分析求解判断能力，属基础题.‎ ‎19.现将甲、乙两个学生在高二的6次数学测试的成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图，进人高三后，由于改进了学习方法，甲、乙这两个学生的考试数学成绩预计同时有了大的提升.若甲（乙）的高二任意一次考试成绩为，则甲（乙）的高三对应的考试成绩预计为（若>100.则取 为100）.若已知甲、乙两个学生的高二6次考试成绩分别都是由低到高进步的，定义为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值.‎ ‎ ‎ ‎（I）试预测：在将要进行的高三6次测试中，甲、乙两个学生的平均成绩分别为多少？（计算结果四舍五入，取整数值）‎ ‎（Ⅱ）求分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）先依题意预测出高三的6次考试成绩，由平均数的公式，分别计算即可;‎ ‎（Ⅱ）由题意先写出随机变量的取值，以及对应的概率，即可求出分布列和期望.‎ ‎【详解】（I）由已知，预测高三的6次考试成绩如下：‎ 第1次考试 第2次考试 第3次考试 第4次考试 第5次考试 第6次考试 甲 ‎78‎ ‎86‎ ‎89‎ ‎96‎ ‎98‎ ‎100‎ 乙 ‎81‎ ‎85‎ ‎92‎ ‎94‎ ‎96‎ ‎100‎ 甲高三的6次考试平均成绩为 ‎，‎ 乙高三的6次考试平均成绩为 所以预测：在将要进行的高三6次测试中，甲、乙两个学生的平均成绩分别约为91，91.‎ ‎（Ⅱ）因为为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值，‎ 所以=0，1，2，3‎ 所以，，，.‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以 ‎【点睛】本题主要考查平均数的计算以及离散型随机变量的分布列与期望，属于基础题型.‎ ‎20.已知函数，其中为常数. ‎ ‎（1）证明：函数的图象经过一个定点，并求图象在点处的切线方程； ‎ ‎（2）若，求函数在上的值域.‎ ‎【答案】（1）证明见解析，；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将函数解析式重新整理，解得定点，再求导数，根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得切线方程，（2）先解出，再利用导数求函数值域.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以，‎ 所以函数的图像经过一个定点， ‎ 因为，‎ 所以切线的斜率，.‎ 所以在点处的切线方程为，‎ 即；‎ ‎（2）因为，，所以，‎ 故，‎ 则，‎ 由得或， ‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ 单调减 单调增 从而在上有最小值，且最小值为， ‎ 因为，，‎ 所以，‎ 因为在上单调减，，‎ 所以，‎ 所以，所以最大值为，‎ 所以函数在上的值域为.‎ ‎【点睛】本题考查导数几何意义以及利用导数求函数值域，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎21.（1）求方程的非负整数解的个数；‎ ‎（2）某火车站共设有4个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客求—个小组4人进站的不同方案种数，要求写出计算过程.‎ ‎【答案】（1）56；（2）840种，计算过程见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用隔板法求结果（2）将问题转化为不定方程非负整数解问题，再利用隔板法求结果 详解】（1）若定义，其中，‎ 则是从方程的非负整数解集到方程的正整数解集的映射，利用隔板法得，方程正整数解得个数是 从而方程的非负整数解得个数也是56；‎ ‎（2）设4名旅客中分别有个人在第1号，第2号，第3号，第4号安检口通过，则，由（1）的思路得，此不定方程非负整数的个数为，‎ 所以不同的进站方法数为.‎ ‎【点睛】本题考查利用隔板法解决不定方程非负整数解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎22.已知函数. ‎ ‎（1）证明：函数在内存在唯一零点；‎ ‎（2）已知，若函数有两个相异零点，且（为与无关的常数），证明：.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先利用导数确定单调性，再利用零点存在定理证明结论，（2）先求 ‎，再结合恒成立转化证明，即需证，根据条件消，令，转化证，即需证， 这个不等式利用导数易证.‎ ‎【详解】（1），令，则在上恒成立，‎ 所以，在上单调递减， ‎ ‎，，‎ 根据零点存在定理得，函数在存在唯一零点， ‎ 当时，，‎ 所以在存在唯一零点；‎ ‎（2）因为，，‎ 所以， ‎ 不妨设，因为，‎ 所以，，‎ 所以，，‎ 因为，，而要求满足的b的最大值，所以只需证明.‎ 所以 ‎（*）‎ 令，则，‎ 所以（*），‎ 令，‎ 则， ‎ 所以在上单调递增，‎ 即 综上，.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数零点以及利用导数证明不等式，考查综合分析论证能力，属难题.‎ ‎ ‎