【数学】江西省南昌市第二中学2019-2020学年高二下学期第二次月考（理）（解析版）

【数学】江西省南昌市第二中学2019-2020学年高二下学期第二次月考（理）（解析版）

江西省南昌市第二中学2019-2020学年 高二下学期第二次月考（理）‎ 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，，，    ‎ A. (3,5] B. [4,5] C. {4,5} D. [1,3]‎ ‎2.若是非零向量，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎3.从编号为1，2，3，…，100（编号为连续整数）的100个个体中随机抽取得到编号为10，30，50，70，90的样本，得到这个样本的抽样方法最有可能是( )‎ A. 系统抽样 B. 分层抽样 C. 简单随机抽样 D. 先分层再简单随机抽样 ‎4.某学生5次考试的成绩(单位：分)分别为85，67，m，80，93，其中m>0，若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则得分的平均数不可能为( )‎ A. 70 B. 75 C. 80 D. 85‎ ‎5.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )‎ A. 若m∥a,n∥a, 则m∥n B. 若，m，，则 C. 若，，，则 ‎ D. 若，，则 ‎6.某城市关系要好的， ， ， 四个家庭各有两个小孩共人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐名（乘同一辆车的名小孩不考虑位置），其中户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的名小孩恰有名来自于同一个家庭的乘坐方式共有 ( )‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎7.中国武汉于2019年10月18日至2019年10月27日成功举办了第七届世界军人运动会．来自109个国家的9300余名运动员同台竞技．经过激烈的角逐，奖牌榜的前3名如下：‎ 国家 金牌 银牌 铜牌 奖牌总数 中国 ‎133‎ ‎64‎ ‎42‎ ‎239‎ 俄罗斯 ‎51‎ ‎53‎ ‎57‎ ‎161‎ 巴西 ‎21‎ ‎31‎ ‎36‎ ‎88‎ 某数学爱好者采用分层抽样的方式，从中国和巴西获得金牌选手中抽取了22名获奖代表．从这22名中随机抽取3人，则这3人中中国选手恰好1人的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.则a3=( )‎ A. －40 B. 40 C. -80 D.80 ‎ ‎9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何 体的三视图，其中俯视图是等边三角形，则该几何体的外接球 的表面积为( )‎ A. 10 B. C. 9 D. ‎ ‎10.篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事件A为“取 ‎ 出的两个球颜色不同”，事件B为“取出一个红球，一个白球”，则P(B|A)等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.总体由编号为01，02，，19，20的20个个体组成利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为( ) A. 07 B. 06 C. 02 D. 01‎ ‎12.定义在R上的函数满足，且当时，‎ ‎，对任意，存在，使得，则正实数a的取值范围为( )‎ A.[ ,+∞) B. (0,8] C.(0, ] D. [8,+ ∞)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知，则的展开式中的系数为________．‎ ‎14.函数的值域为________．‎ ‎15.若命题“，使得成立．”为假命题，则实数a的最大值为________．‎ ‎16.正方体的棱长为， 为的中点， 为线段的动点，过 的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的序号是________．‎ ‎①当时， 的面积为； ‎ ‎②当时， 为六边形；‎ ‎③当时， 与的交点满足； ‎ ‎④当时， 为等腰梯形； ‎ ‎⑤当时， 为四边形.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.(10分)设命题对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立．‎ ‎(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎(2)若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎18.(12分)已知函数 (1)解不等式； (2)若函数最小值为a，且，求的最小值．‎ ‎19.(12分)函数是定义在上的奇函数，且．‎ ‎(1)确定的解析式；‎ ‎(2)判断在上的单调性，并用定义证明；‎ ‎(3)解关于t的不等式 ‎20．(12分)在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的33表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X元．‎ ‎（1）求概率；‎ ‎（2）求的概率分布及数学期望．‎ ‎21.(12分)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，且PA⊥底面ABCD． (1)证明：平面PBD⊥平面PAC． (2)若∠BAD=60°,且平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为，求∠PCA的大小． ‎ ‎22.(12分)为促进农业发展，加快农村建设，某地政府扶持兴建了一批“超级蔬菜大棚”为了解大棚的面积与年利润之间的关系，随机抽取了其中的7个大棚，并对当年的利润进行统计整理后得到了如下数据对比表：‎ 大棚面积亩 年利润万元 ‎6‎ ‎7‎ 由所给数据的散点图可以看出，各样本点都分布在一条直线附近，并且y与x有很强的线性相关关系． (1)求y关于x的线性回归方程； (2)小明家的“超级蔬菜大棚”面积为亩，估计小明家的大棚当年的利润为多少； (3)另外调查了近5年的不同蔬菜亩平均利润单位：万元，其中无丝豆为：1.5，1.7，2.1，2.2，2.5；彩椒为：1.8，1.9，1.9，2.2，2.2，请分析种植哪种蔬菜比较好？ 参考数据：，． 参考公式：，．‎ 参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ 题号 ‎11‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎34‎ ‎45‎ ‎46‎ ‎77‎ ‎88‎ ‎99‎ ‎110‎ ‎111‎ ‎112‎ 答案 CC DD AA BD CC CB BC BD BB DB AD AA 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．‎ ‎13． 14. 15. 16. ①③④⑤ ‎ 小题详解：‎ ‎1.C解： 或，，故选C． 2. D解：由向量加法的平行四边形法则知：平行四边形是菱形， 推不出两条对角线相等，即推不出；平行四边形是矩形，推不出；“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D．‎ ‎3.A 解：根据题意，抽取的样本间隔相等，为20； 则这个样本的抽样方法最有可能是系统抽样．故选：A．‎ ‎4.D 解：某学生5次考试的成绩单位：分分别为85，67，m，80，93，其中， 该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，， 得分的平均数：，得分的平均数不可能为85．故选D．‎ ‎5.C 解：同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面，故A错误； B.两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面，故B错误； C.一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交，故C错误； D.由，得，又，所以，即，故D正确．故选D．‎ ‎6.B 若A户家庭的李生姐妹乘坐甲车,即剩下的两个小孩来自其他的2个家庭,有种方法. 若A户家庭的李生姐妹乘坐乙车,那来自同一家庭的2名小孩来自剩下的3个家庭中的一个,有. 所以共有12+12=24种方法. ‎ ‎7. C解：中国和巴西获得金牌总数为154，按照分层抽样方法，22名获奖代表中有中国选手19个，巴西选手3个．故从这22名中随机抽取3人，则这3人中中国选手恰好1人的概率为故选：C．‎ ‎8.D 解：，‎ 令，则， 展开式的通项为：，令，， 所以，所以．故选：D．‎ ‎9.B解：由三视图可知，原几何体为四棱锥，其中平面平面ACDE，该几何体可补形为棱长均是2的正三棱柱， 设等边的中心为，几何体外接球的球心为O，半径为R，则， 在等边中，，，外接球的表面积 ‎．故选：B． 10.B 解：事件A为“取出的两个球颜色不同”，事件B为“取出一个红球，一个白球”， 篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球， 取出的两个球颜色不同的概率为． 又取出两个球的颜色不同，且一个红球、一个白球的概率为， ．故选B．‎ ‎11.D 解：从第1行的第3列和第4列组成的数16开始，由左到右依次选出的数为16，08，02，14，07，01，所以第6个个体的编号为01．故选D．‎ ‎12.A解：由题意可知在上单调递减，在上单调递增， 在上的值域为，在上的值域为， 在上的值域为，，， 在上的值域为，为正实数，为增函数， 在上的值域为，，解得， 故a的取值范围是．故选A．‎ ‎13． 解：因为 则 其中中的系数为 其中不存在项 其中中的系数为 所以展开式中的系数为. 14． 解：由，得到 即， 当时，，适合题意； 当时，方程有解需满足，，即，， 解得：；故函数的值域为，故答案为.‎ ‎15. 解：由题意，转化为，使得成立为真命题，求实数a的最大值，当时，显然成立，当时，分离变量得成立， 令，则 ‎， 当时，恒成立，单调递减， 在上的最小值为，实数a的最大值为．‎ ‎16.①③④⑤ 如图，当时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1=，故可得截面APQD1为等腰梯形，故④正确；‎ 由上图当点Q向C移动时，满足，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故⑤正确；‎ ‎③当CQ=时，如图， 延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确；‎ ‎②由③可知当时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；‎ 当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，‎ 可知截面为APC1F为菱形，故其面积为，故正确． ‎ 故答案为：①③④⑤．‎ ‎17.解：对于命题p：对任意，不等式恒成立成立， 而，有，   ， ， 命题q：存在，使得不等式成立， 只需，而，；， 若p为真，则； 若为假命题，为真命题，则p、q一真一假． 若p为假命题，为q真命题，则所以； 若q为假命题，为p真命题，则所以 综上，或 ‎ ‎18．解：当时，，无解； 当时，，得； 当时，，得，所以不等式解集为；‎ 当且仅当时取等号 ．当且仅当 时取等号， 所以当时，最小值为4，即，所以， 所以 ， 当且仅当且即时取“”，‎ ‎ 所以最小值为 ‎19.解：函数是定义在的奇函数，，， 经检验，当时，是的奇函数，满足题意．‎ 又，解得，故，；‎ 是上的增函数，证明如下：设任意，，且，‎ 则，，，， ，， 函数在上为增函数； 因为是上的奇函数， 所以由得，， 又是上的增函数，所以，解得． 所以原不等式的解集为．‎ ‎20．（1）从33表格中随机不重复地点击3格，共有种不同情形，则事件：“”包含两类情形：第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含种情形，第二类包含种情形．‎ ‎∴．‎ ‎（2）的所有可能值为300，400，500，600，700．‎ 则， ，‎ ‎， ．‎ ‎∴的概率分布列为：‎ X ‎300‎ ‎400‎ ‎500‎ ‎600‎ ‎700‎ P ‎∴（元）．‎ ‎21．证明：因为底面ABCD为菱形，所以．因为底面ABCD， 所以．又，所以平面PAC ‎． 因为平面PBD，所以平面平面PAC． 解：设AC与BD交于点O，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设，， 则， 则． 设平面PAB的法向量为，则 令，得． 设平面PCD的法向量为，则． 令，得． 设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为，则， 解得，则，故．‎ ‎22.解：1根据题意，，，则， ， ， 那么回归方程为：； 2将代入方程得， 即小明家的“超级大棚”当年的利润大约为万元； 3近5年来，无丝豆亩平均利润的平均数为， 方差， 彩椒亩平均利润的平均数为， 方差为， 因为，，种植彩椒比较好．‎