高考文科数学复习：夯基提能作业本 (25)

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第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数 A组　基础题组 ‎1.给出下列四个命题:‎ ‎①角-‎3π‎4‎是第二象限角;②角‎4π‎3‎是第三象限角;③角-400°是第四象限角;④角-315°是第一象限角.其中正确的命题有(　　) ‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎2.若sin αtan α<0,且cosαtanα<0,则角α是(　　)‎ A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 ‎3.设α是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且cos α=‎1‎‎5‎x,则tan α=(　　)‎ A.‎4‎‎3‎ B.‎3‎‎4‎ C.-‎3‎‎4‎ D.-‎‎4‎‎3‎ ‎4.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为(　　)‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎5.角α的终边与直线y=3x重合,且sin α<0,又P(m,n)是角α终边上一点,且|OP|=‎10‎,则m-n等于(　　)‎ A.2 B.-2 C.4 D.-4‎ ‎6.设角α是第三象限角,且sinα‎2‎=-sinα‎2‎,则角α‎2‎是第　　　　象限角. ‎ ‎7.(2016江苏连云港质检)已知角α的终边上一点的坐标为sin‎2π‎3‎,cos‎2π‎3‎,则角α的最小正值为　　　　. ‎ ‎8.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为　　　　. ‎ ‎9.已知sin α<0,tan α>0.‎ ‎(1)求角α的集合;‎ ‎(2)求α‎2‎终边所在的象限;‎ ‎(3)试判断tanα‎2‎sinα‎2‎cosα‎2‎的符号.‎ ‎10.已知扇形AOB的周长为8.‎ ‎(1)若这个扇形的面积为3,求圆心角的大小;‎ ‎(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.‎ B组　提升题组 ‎11.已知角θ是第四象限角,则sin(sin θ)(　　)‎ A.大于0 B.大于或等于0‎ C.小于0 D.小于或等于0‎ ‎12.已知角α=2kπ-π‎5‎(k∈Z),若角θ与角α的终边相同,则y=sinθ‎|sinθ|‎+cosθ‎|cosθ|‎+tanθ‎|tanθ|‎的值为(　　)‎ A.1 B.-1 C.3 D.-3‎ ‎13.已知sin θ-cos θ>1,则角θ的终边在(　　)‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎14.一扇形的圆心角为120°,则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为　　　　　　　. ‎ ‎15.角α的终边上的点P与点A(a,b)关于x轴对称(a≠0,b≠0),角β的终边上的点Q与点A关于直线y=x对称,求sinαcosβ+tanαtanβ+‎1‎cosαsinβ的值.‎ ‎16.如图所示,动点P,Q从点A(4,0)出发沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转π‎3‎弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转π‎6‎弧度,求点P,Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及点P,Q各自走过的弧长.‎ 答案全解全析 A组　基础题组 ‎1.C　角-‎3π‎4‎是第三象限角,故①错误;‎4π‎3‎=π+π‎3‎,从而角‎4π‎3‎是第三象限角,故②正确;-400°=-360°-40°,从而③正确;-315°=-360°+45°,从而④正确.故选C.‎ ‎2.C　由sin αtan α<0可知sin α,tan α异号,‎ 则α为第二或第三象限角.‎ 由cosαtanα<0可知cos α,tan α异号,‎ 则α为第三或第四象限角.‎ 综上可知,α为第三象限角.‎ ‎3.D　∵α是第二象限角,∴x<0.‎ 由题意知xx‎2‎‎+16‎=‎1‎‎5‎x,解得x=-3.‎ ‎∴tan α=‎4‎x=-‎4‎‎3‎.‎ ‎4.C　设扇形所在圆的半径为R,则2=‎1‎‎2‎×4×R2,∴R2=1,∴R=1,∴扇形的弧长为4×1=4,则扇形的周长为2+4=6.‎ ‎5.A　∵角α的终边与直线y=3x重合,且sin α<0,‎ ‎∴角α的终边在第三象限.又P(m,n)是角α终边上一点,故m<0,n<0.又|OP|=‎10‎,‎ ‎∴n=3m,‎m‎2‎‎+‎n‎2‎‎=‎10‎,‎解得m=-1,n=-3,故m-n=2.‎ ‎6.答案　四 解析　由角α是第三象限角,知2kπ+π<α<2kπ+‎3π‎2‎(k∈Z),得kπ+π‎2‎<α‎2‎0,知α的终边在第一、三象限,故角α的终边在第三象限.‎ 其集合为α|2kπ+π<α<2kπ+‎3π‎2‎,k∈Z.‎ ‎(2)由2kπ+π<α<2kπ+‎3π‎2‎,k∈Z,‎ 得kπ+π‎2‎<α‎2‎0,cosα‎2‎<0,‎ 所以tanα‎2‎sinα‎2‎cosα‎2‎>0;‎ 当α‎2‎终边在第四象限时,‎ tanα‎2‎<0,sinα‎2‎<0,cosα‎2‎>0,‎ 所以tanα‎2‎sinα‎2‎cosα‎2‎>0.‎ 因此,tanα‎2‎sinα‎2‎cosα‎2‎的符号为正.‎ ‎10.解析　设扇形AOB的圆心角为α,半径为r,弧长为l.‎ ‎(1)由题意可得‎2r+l=8,‎‎1‎‎2‎lr=3,‎ 解得r=3,‎l=2‎或r=1,‎l=6,‎ ‎∴α=lr=‎2‎‎3‎或α=lr=6.‎ ‎(2)解法一:∵2r+l=8,‎ ‎∴S扇=‎1‎‎2‎lr=‎1‎‎4‎l·2r≤‎1‎‎4‎l+2r‎2‎‎2‎=‎1‎‎4‎×‎8‎‎2‎‎2‎=4,‎ 当且仅当2r=l,即α=lr=2时,扇形的面积取得最大值4,‎ ‎∴当这个扇形的面积取得最大值时,圆心角α=2,r=2,弦长AB=2×2sin 1=4sin 1.‎ 解法二:∵2r+l=8,‎ ‎∴S扇=‎1‎‎2‎lr=‎1‎‎2‎r(8-2r)=r(4-r)=-(r-2)2+4≤4,‎ 当且仅当r=2,即α=lr=2时,扇形面积取得最大值4.‎ ‎∴当这个扇形的面积取得最大值时,圆心角α=2,弦长AB=2×2sin 1=4sin 1.‎ B组　提升题组 ‎11.C　∵角θ为第四象限角,∴-10,tan θ<0.所以y=-1+1-1=-1.‎ ‎13.B　由已知得(sin θ-cos θ)2>1,即1-2sin θcos θ>1,sin θcos θ<0,又sin θ>cos θ,所以sin θ>0>cos θ,所以角θ的终边在第二象限.‎ ‎14.答案　(7+4‎3‎)∶9‎ 解析　设扇形的半径为R,其内切圆的半径为r.‎ 则(R-r)sin 60°=r,‎ 即R=‎1+‎‎2‎‎3‎‎3‎r.‎ 又S扇=‎1‎‎2‎|α|R2=‎1‎‎2‎×‎2π‎3‎×R2=π‎3‎R2=‎7+4‎‎3‎‎9‎πr2,‎ ‎∴S扇πr‎2‎=‎7+4‎‎3‎‎9‎.‎ ‎15.解析　由题意可知点P(a,-b),‎ 则sin α=‎-ba‎2‎‎+‎b‎2‎,cos α=aa‎2‎‎+‎b‎2‎,tan α=-ba,‎ 由题意可知点Q(b,a),‎ 则sin β=aa‎2‎‎+‎b‎2‎,cos β=ba‎2‎‎+‎b‎2‎,tan β=ab,‎ ‎∴sinαcosβ+tanαtanβ+‎1‎cosαsinβ=-1-b‎2‎a‎2‎+a‎2‎‎+‎b‎2‎a‎2‎=0.‎ ‎16.解析　设P,Q第一次相遇时所用的时间是t秒,‎ 则t·π‎3‎+t·‎-‎π‎6‎=2π.‎ 所以t=4,即第一次相遇时所用的时间为4秒.‎ 设第一次相遇时,相遇点为C,则∠COx=π‎3‎·4=‎4π‎3‎,‎ 则P点走过的弧长为‎4‎‎3‎π·4=‎16‎‎3‎π,‎ Q点走过的弧长为‎2‎‎3‎π·4=‎8‎‎3‎π;‎ xC=-cos π‎3‎·4=-2,‎ yC=-sin π‎3‎·4=-2‎3‎.‎ 所以C点的坐标为(-2,-2‎3‎).‎